高考数学复习点拨 命题的若干否定

1、命题的若干否定在形式逻辑中，我们把反映事物具有或不具有某种属性或关系的思维形式叫做判断表达判断的语句叫命题在数学中，用语言、符号或式子表示的并且能区别真假的语句叫数学命题命题按能否分解可分为简单命题和复合命题，按其所判断的是事物的性质或存在的关系可分为性质命题和关系命题在数学证明中，准确无误地写出一个命题的否定式是十分重要的一、简单命题的否定1性质命题的否定每一个性质命题都由主项、谓项、量项、联项四部分组成，其中立项表示被判断的对象；谓项表示主项的性质；量项表示主项的数量，分为全称量项和特称量项，全称量项常用“一切”、“所有”、“每一个”、“任意一个”等词语表达，特称量项常用“有些”、“存在”

2、、“至少有一个”等词语表达；联项表示主项与谓项的联系，分为肯定联项与否定联项，前者常用“是”、“有”表示，后者常用“不是”。“没有”表示如命题“至少有一个质数不是奇数”中，“质数”为主项，“奇数”为谓项，“至少有一个”为量项，“不是”为联项性质命题除全称命题和特称命题外，还有一种命题叫做单称命题，它的主项的外延不是一类事物，而是单独的个体单称命题的否定极为简单，只要否定“联项”即可例如“2是偶数”的否定为“二不是偶数”；“小王不是团员”的否定为“小王是团员”而全称命题和特称命题的否定，一般要对“量项”和“联项”同时进行否定，全称与特称互为否定，肯定与否定互为否定例如，命题“一切矩形是平行四边形

3、”的否定为“存在一个矩形不是平行四边形”；命题“至少有一个质数不是奇数”的否定为“所有的质数都是奇数”特别要注意的是，由于全称量项表示主项的全部外延，往往可以省略不写，从而在作命题否定时易将全称命题误当为单称命题处理而出错，如将命题p“实数的绝对值是正数”否定 写成“实数的绝对值不是正数”这就错了很显然，这里的“p”与“ ”都是假命题，“ ”复合命题的真值表相矛盾究其原因，命题p为全称命题而不是单称命题，省略了量词“所有”，正确的否定形式是“存在一个实数的绝对值不是正数”事实上由于实数是一个全称概念，命题p应为“实数的绝对值（都）是正数”故其否定形式亦可写成“实数的绝对值不都是正数”另外，我们

4、常用“都是”表示全称肯定，用“不都是”表示特称否定，这两者互为否定；而用“都不是”表示全称否定，它的否定形式应特称肯定，可用“至少有一个是”来表达2关系命题的否定关系命题由主项、谓项和量项三部分组成，主项是存在某种关系的对象，谓项是对象之间的某种关系，量项表示主项的数量（用全称量词和特称量词表示）关系命题的否定与性质命题的否定相似，需要对“谓项”和“量项”同时进行否定，例如命题“对任意实数x，都有”的否定是“存在一个实数x，使得”；命题“至少有一个锐角，使”的否定是“对所有的锐角，都有”和性质命题类似，作命题否定时，不能把省略量词的全称命题当作单称命题去做，例如命题“自然数的平方大于零”的否定

5、不是“自然数的平方不大于零”，而是“存在一个自然数的平方不大于零”二、复合命题的否定复合命题有五种基本形式，分别用五个逻辑联结词“非”、“且”、“或”、“若则”、“等值”（ ）由命题p或q组成1非命题的否定“”是对命题“p”的否定，命题“”与命题“p”的真假正好相反对“”的否定，就是对命题“p”的否定之否定，因此，命题“p”与命题“”具有相同的真值，逻辑学上称为逻辑等价或等价命题故“p”可作为“”的否定（有特殊要求的除外）例如命题“不是有理数”的否定是“是有理数”，命题“不是每个人都会开车”的否定是“并非不是每个人都会开车”即“每个人都会开车”2联言命题的否定用联结词“且（）”联结两个命题p、

6、q构成的复合命题“”称为联言命题当且仅当p、q，p、q皆真时为真联言命题的否定可根据德摩根律“”来写，例如命题“2是质数且是偶数”的否定为“2不是质数或不是偶数”；命题“某班至少有一个同学既不会唱歌又不会跳舞”的否定为“某班所有的同学或者会唱歌或者会跳舞”，即“某班没有一个同学既不会唱歌又不会跳舞”3选言命题（）的否定用联结词“或（）”联结两个命题p、q，构成的复合命题“”称为选言命题当且仅当p、q皆假时为假与联言命题类似，选言命题的否定可根据德摩根律“”来写，例如，命题“123是2的倍数或是3的倍数”的否定为“123不是2的倍数且不是3的倍数”；命题“全班同学都是三好生或共青团员”的否定是“

7、全班同学中至少有一个同学不是三好生且不是共青团员”必须说明的是，日常生活中的“或”有两种意义：可兼的和不可兼的而在命题中的“或”是可兼的4假言命题（）的否定用联结词“若则”联结两个命题p、q，构成的复合命题“若p则 ”称为p、q的蕴含式或称假言命题当且仅当p真q假时 为假由命题演算定律：，可写出假言命题（）的否定例如，命题“若，则”（省略量词的全称命题）的否定是“有在实数x和y，使且；命题“若a和b是偶数，则 是偶数”的否定是“存在数a和b是偶数，且不是偶数”必须注意，假言命题的否命题与该命题的否定是两个不同的概念首先，对象不同，否命题仅针对假言命题而言，而任一命题都可以写出它的否定其次，命题的否定式是原命题的矛盾命题，两者一真一假，而假言命题的否命题则木然，与原命题的真假可能相反也可能相同如上述命题“若a和b是偶数，则是偶数”的否命题是“若a或b不是偶数，则不是偶数”，仍是全称命题，而其否定式“存在数a和b是偶数，且不是偶数”是一个特称命题5等值式命题（）的否定用联结词“等值”联结两个命题p、q，构成的复合命题“p等值”称为p、q的等值式当且仅当p、q具有相同的真假值时为真等值式“”的语言表达也有多种形式，如p当且仅当q；p是q的充分必要条件；若p则q并且若q则p等值式命题（）的否定比较简单，只要否定“联项”即可例如命题是实数一元二次方程有实根的充分必要