2012年高考数学按章节分类汇编（文 新人教A版选修1-1第三章 理 新人教A版选修2-2 第一章） 导数及其应用

1、2012年高考数学按章节分类汇编（人教A文：选修1-1第三章理：选修2-2第一章）导数及其应用一、选择题1 （2012陕西文）设函数f(x)=+lnx 则（）Ax=为f(x)的极大值点B x=为f(x)的极小值点 Cx=2为 f(x)的极大值点Dx=2为 f(x)的极小值点2 （2012陕西理）设函数,则（）A为的极大值点B为的极小值点 C为的极大值点D为的极小值点3 （2012辽宁文）函数y=x2x的单调递减区间为（）A(1,1B(0,1C1,+)D(0,+)4 （2012浙江文）设a>0,b>0,e是自然对数的底数（）A若ea+2a=eb+3b,则a>b B若ea+2a=

2、eb+3b,则a<b C若ea-2a=eb-3b,则a>b D若ea-2a=eb-3b,则a<b5 （2012浙江理）设a>0,b>0.（）A若,则a>bB若,则a<b C若,则a>bD若,则a<b6 （2012重庆文）设函数在上可导,其导函数,且函数在处取得极小值,则函数的图象可能是7 （2012山东文）设函数,.若的图象与的图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是（）AB CD8 （2012湖北文）如图,在圆心角为直角的扇形中,分别以为直径作两个半圆. 在扇形内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是（）A BCD9 （2012福

3、建文）已知,且.现给出如下结论:;.其中正确结论的序号是（）ABCD10 （2012新课标理）已知函数;则的图像大致为 11 （2012重庆理）设函数在R上可导,其导函数为,且函数的图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是（）A函数有极大值和极小值 B函数有极大值和极小值 C函数有极大值和极小值 D函数有极大值和极小值12 （2012山东理）设且,则“函数在上是减函数 ”,是“函数在上是增函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件yxO第3题图13 （2012湖北理）已知二次函数的图象如图所示,则它与轴所围图形的面积为（）ABCD 14 （2012

4、福建理）如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为（）ABCD15 （2012大纲理）已知函数的图像与轴恰有两个公共点,则（）A或2B或3C或1D或1二、填空题16 （2012上海文）已知函数的图像是折线段ABC,若中A(0,0),B(,1),C(1,0).函数的图像与x轴围成的图形的面积为_ .17 （2012课标文）曲线在点(1,1)处的切线方程为_18 （2012上海理）已知函数的图像是折线段ABC,若中A(0,0),B(,5),C(1,0).函数的图像与x轴围成的图形的面积为_ .19（2012山东理）设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为,则_.

5、20（2012江西理）计算定积分_.21（2012广东理）曲线在点处的切线方程为_.三、解答题22（2012重庆文）已知函数在处取得极值为(1)求a、b的值;(2)若有极大值28,求在上的最大值. 23（2012浙江文）已知aR,函数(1)求f(x)的单调区间(2)证明:当0x1时,f(x)+ >0.24（2012天津文）已知函数(I)求函数的单调区间; (II)若函数在区间内恰有两个零点,求的取值范围;(III)当时,设函数在区间上的最大值为,最小值为,记,求函数在区间上的最小值.25（2012陕西文）设函数(1)设,证明:在区间内存在唯一的零点;(2)设n为偶数,求b+3c的最小值和

6、最大值;(3)设,若对任意,有,求的取值范围;26（2012山东文）已知函数为常数,e=2.71828是自然对数的底数),曲线在点处的切线与x轴平行.()求k的值;()求的单调区间;()设,其中为的导函数.证明:对任意. 27（2012辽宁文）设,证明:()当x1时, ( )()当时,28（2012课标文）设函数f(x)= ex-ax-2()求f(x)的单调区间()若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k) f´(x)+x+1>0,求k的最大值29（2012江西文）已知函数在上单调递减且满足.(1)求的取值范围;(2)设,求在上的最大值和最小值.30（2012湖南文）已

7、知函数f(x)=ex-ax,其中a>0.(1)若对一切xR,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;z(2)在函数f(x)的图像上去定点A(x1, f(x1),B(x2, f(x2)(x1<x2),记直线AB的斜率为k,证明:存在x0(x1,x2),使恒成立.31（2012湖北文）设函数,为正整数,为常数,曲线在处的切线方程为.(1)求的值; (2)求函数的最大值; (3)证明:.32（2012广东文）(不等式、导数)设,集合,.()求集合(用区间表示);()求函数在内的极值点.33（2012福建文）已知函数且在上的最大值为,(1)求函数的解析式;(2)判断函数在内的零点个数,并加以证

8、明.34（2012大纲文）已知函数.()讨论的单调性;()设有两个极值点,若过两点,的直线与轴的交点在曲线上,求的值.35（2012北京文）已知函数(),.(1)若曲线与曲线在它们的交点(1,)处具有公共切线,求的值;(2)当时,求函数在区间上的最大值为28,求的取值范围.36（2012安徽文）设定义在(0,+)上的函数()求的最小值;(II)若曲线在点处的切线方程为,求的值.37（2012天津理）已知函数的最小值为,其中.()求的值;()若对任意的,有成立,求实数的最小值;()证明.38（2012新课标理）已知函数满足满足;(1)求的解析式及单调区间;(2)若,求的最大值.39（2012浙江

9、理）已知a>0,bR,函数.()证明:当0x1时,()函数的最大值为|2a-b|a;() +|2a-b|a0;() 若11对x0,1恒成立,求a+b的取值范围.40（2012重庆理）(本小题满分13分,()小问6分,()小问7分.)设其中,曲线在点处的切线垂直于轴.() 求的值;() 求函数的极值.41（2012陕西理）设函数(1)设,证明:在区间内存在唯一的零点;(2)设,若对任意,有,求的取值范围;(3)在(1)的条件下,设是在内的零点,判断数列的增减性.42（2012山东理）已知函数(为常数,是自然对数的底数),曲线在点处的切线与轴平行.()求的值;()求的单调区间;()设,其中为

10、的导函数.证明:对任意.43（2012辽宁理）设,曲线与直线在(0,0)点相切.()求的值.()证明:当时,.44（2012江苏）若函数在处取得极大值或极小值,则称为函数的极值点.已知是实数,1和是函数的两个极值点.(1)求和的值;(2)设函数的导函数,求的极值点;(3)设,其中,求函数的零点个数.45（2012湖南理）已知函数=,其中a0.(1)若对一切xR,1恒成立,求a的取值集合.(2)在函数的图像上取定两点,记直线AB的斜率为K,问:是否存在x0(x1,x2),使成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.46（2012湖北理）()已知函数,其中为有理数,且. 求的最小值;()试

11、用()的结果证明如下命题:设,为正有理数. 若,则;()请将()中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题.注:当为正有理数时,有求导公式.47（2012广东理）(不等式、导数)设,集合,.()求集合(用区间表示);()求函数在内的极值点.48（2012福建理）已知函数. ()若曲线在点处的切线平行于轴,求函数的单调区间;()试确定的取值范围,使得曲线上存在唯一的点,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点.49（2012大纲理）(注意:在试题卷上作答无效)设函数.(1)讨论的单调性;(2)设,求的取值范围.50（2012北京理）已知函数(),.(1)若曲线与曲线在它们的交点(1,

12、)处具有公共切线,求的值;(2)当时,求函数的单调区间,并求其在区间上的最大值.51（2012安徽理）(本小题满分13分)设(I)求在上的最小值;(II)设曲线在点的切线方程为;求的值.参考答案一、选择题1. 解析:,令得,时,为减函数;时,为增函数,所以为的极小值点,选D. 2. 解析:,令得,时,为减函数;时,为增函数,所以为的极小值点,选D. 3. 【答案】B 【解析】故选B 【点评】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间,属于中档题. 4. 【答案】A 【命题意图】本题主要考查了函数复合单调性的综合应用,通过构造法技巧性方法确定函数的单调性. 【解析】若,必有.构造函数:,则

13、恒成立,故有函数在x>0上单调递增,即a>b成立.其余选项用同样方法排除. 5. 【答案】A 【解析】若,必有.构造函数:,则恒成立,故有函数在x>0上单调递增,即a>b成立.其余选项用同样方法排除. 6. 【答案】:C 【解析】:由函数在处取得极小值可知,则;,则时,时 【考点定位】本题考查函数的图象,函数单调性与导数的关系,属于基础题. 7. 解析:设,则方程与同解,故其有且仅有两个不同零点.由得或.这样,必须且只须或,因为,故必有由此得.不妨设,则.所以,比较系数得,故.,由此知,故答案应选B. 另解:令可得. 设 不妨设,结合图形可知, 即,此时,即.答案应选B

14、. 8. C 【解析】如图,不妨设扇形的半径为2a,如图,记两块白色区域的面积分别为S1,S2,两块阴影部分的面积分别为S3,S4, 则S1+S2+S3+S4=S扇形OAB=, 而S1+S3 与S2+S3的和恰好为一个半径为a的圆,即S1+S3 +S2+S3. -得S3=S4,由图可知S3=,所以. . 由几何概型概率公式可得,此点取自阴影部分的概率 P=. 【点评】本题考查古典概型的应用以及观察推理的能力.本题难在如何求解阴影部分的面积,即如何巧妙地将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解.来年需注意几何概型在实际生活中的应用. 9. 【答案】C 【解析】, 又,所以在和上单调增加,在上单

15、调递减,故, 【考点定位】本题考查函数的零点,函数的单调性极值,考查分析判断能力、必然与或然的思想. 10. 【解析】选 得:或均有 排除 11. 【答案】D 【解析】,由,函数为增; ,由,函数为减; ,由,函数为减; ,由,函数为增. 【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号,当导函数大于0,则函数为增,当导函数小于0则函数递减. 12. 【解析】若函数在R上为减函数,则有.函数为增函数,则有,所以,所以“函数在R上为减函数”是“函数为增函数”的充分不必要条件,选A. 13. 考点分析:本题考察利用定积分求面积. 解析:根据图像可得: ,再由定积分的几何意义,可求得面积为. 14.

16、 【答案】C 【解析】,故,答案C 【考点定位】本题主要考查几何概型的概率和定积分,考查推理能力、计算求解能力. 15. 答案A 【命题意图】本试题主要考查了导数在研究三次函数中的极值的运用.要是函数图像与轴有两个不同的交点,则需要满足极佳中一个为零即可. 【解析】因为三次函数的图像与轴恰有两个公共点,结合该函数的图像,可得极大值或者极小值为零即可满足要求.而,当时取得极值 由或可得或,即. 二、填空题16. xyABC11图1(O)NxyODM1P图2解析 如图1, 所以, 易知,y=xf(x)的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同,只是开口方向及顶点位置不同,如图2,封闭图形MND与OM

17、P全等,面积相等,故所求面积即为矩形ODMP的面积S=. 17. 【命题意图】本题主要考查导数的几何意义与直线方程,是简单题. 【解析】,切线斜率为4,则切线方程为:. 18. NxyODM15P图2xyABC15图1解析如图1, 所以, 易知,y=xf(x)的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同,只是开口方向及顶点位置不同,如图2,封闭图形MNO与OMP全等,面积相等,故所求面积即为矩形ODMP的面积S=. 评注对于曲边图形,上海现行教材中不出微积分,能用微积分求此面积的考生恐是极少的,而对于极大部分考生,等积变换是唯一的出路. 19. 【解析】由已知得,所以,所以. 20. 【解析】本题

18、考查有关多项式函数,三角函数定积分的应用. . 【点评】这里,许多学生容易把原函数写成,主要是把三角函数的导数公式记混而引起的.体现考纲中要求了解定积分的概念.来年需要注意定积分的几何意义求曲面面积等. 21.解析:.,所以切线方程为,即. 三、解答题22. 【答案】:()() 【解析】:()因 故 由于 在点 处取得极值 故有即 ,化简得解得 ()由()知 , 令 ,得当时,故在上为增函数; 当 时, 故在 上为减函数 当 时 ,故在 上为增函数. 由此可知 在 处取得极大值, 在 处取得极小值由题设条件知 得此时,因此 上的最小值为 【考点定位】本题主要考查函数的导数与极值,最值之间的关系

19、,属于导数的应用.(1)先对函数进行求导,根据=0,求出a,b的值.(1)根据函数=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1先求出函数中的参数a,b的值,再令导数等于0,求出极值点,判断极值点左右两侧导数的正负,当左正右负时有极大值,当左负右正时有极小值.再代入原函数求出极大值和极小值.(2)列表比较函数的极值与端点函数值的大小,端点函数值与极大值中最大的为函数的最大值,端点函数值与极小值中最小的为函数的最小值. 23. 【命题意图】本题是导数中常规的考查类型主要利用三次函数的求导判定函数的单调区间,并综合绝对值不等式考查了学生的综合分析问题的能力. 【解析】(1)由题意得, 当时,恒成立

20、,此时的单调递增区间为. 当时,此时函数的单调递增区间为. (2)由于,当时,. 当时,. 设,则. 则有01-0+1减极小值增1 所以. 当时,. 故. 24.解:(1),由,得 25. 26.解:(I),由已知,. (II)由(I)知,. 设,则,即在上是减函数, 由知,当时,从而, 当时,从而. 综上可知,的单调递增区间是,单调递减区间是. (III)证明:由(II)可知,当时,0<1+,故只需证明在时成立. 当时,>1,且,. 设,则, 当时,当时, 所以当时,取得最大值. 所以. 综上,对任意,. 另证:因为, 设,则,令, 当时,单调递增;当时,单调递减.所以当时, 而

21、当时, 所以当时,综上可知结论成立. 27. 【答案与解析】 【点评】本题主要考查导数公式,以及利用导数,通过函数的单调性与最值来证明不等式,考查转化思想、推理论证能力、运算能力、应用所学知识解决问题的能力,难度较大. 28. () 解:的定义域为,; 若,则恒成立,所以在总是增函数 若,令,求得,所以的单增区间是; 令, 求得 ,所以的单减区间是 () 把 代入得:, 因为,所以,所以:, ,所以: 令,则,由()知:在 单调递增,而 ,所以在上存在唯一零点,且; 故在上也存在唯一零点且为,当时, ,当时,所以在上,;由得:,所以,所以, 由于(*)式等价于,所以整数的最大值为2 29. 【

22、解析】(1)由,则,依题意须对于任意,有,当时,因为二次函数的图像开口向上,而,所以须,即,当时,对任意,有,符合条件;当时,对任意,符合要求,当时,因,不符合条件,故的取值范围为. (2)因 当时,在上取得最小值,在上取得最大值; 当时,对于任意,有,在上取得最大值,在上取得最小值; 当时,由, 30. 【解析】解:令.当时单调递减;当时单调递增,故当时,取最小值 于是对一切恒成立,当且仅当 . 令则 当时,单调递增;当时,单调递减. 故当时,取最大值.因此,当且仅当时,式成立. 综上所述,的取值集合为. ()由题意知, 令则 令,则. 当时,单调递减;当时,单调递增. 故当,即 从而,又

23、所以 因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在 使即成立. 【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切xR,f(x) 1恒成立转化为从而得出求a的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题,通过构造函数,研究这个函数的性质进行分析判断. 31. 【解析】(1)因为,由点在上,可得 因为,所以 又因为切线的斜率为,所以,所以 (2)由(1)可知, 令,即在上有唯一的零点. 在上,故单调递增;而在上,单调递减,故在的最大值为.

24、 (3)令,则 在上,故单调递减,而在上,单调递增, 故在上的最小值为,所以 即,令,得,即 所以,即 由(2)知,故所证不等式成立. 【点评】本题考查多项式函数的求导,导数的几何意义,导数判断函数的单调性,求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归,分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程,导数的应用一般用来求解函数的极值,最值,证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值,最值等;另外,要注意含有等的函数求导的运算及其应用考查. 32.解析:()考虑不等式的解. 因为,且,所以可分以下三种情况: 当时,此时,. 当时,此时

25、,. 当时,此时有两根,设为、,且,则,于是 . 当时,所以,此时;当时,所以,此时. 综上所述,当时,;当时,;当时,;当时,.其中,. (),令可得.因为,所以有两根和,且. 当时,此时在内有两根和,列表可得1+0-0+递增极小值递减极大值递增所以在内有极大值点1,极小值点. 当时,此时在内只有一根,列表可得+0-+递增极小值递减递增所以在内只有极小值点,没有极大值点. 当时,此时(可用分析法证明),于是在内只有一根,列表可得+0-+递增极小值递减递增所以在内只有极小值点,没有极大值点. 当时,此时,于是在内恒大于0,在内没有极值点. 综上所述,当时,在内有极大值点1,极小值点;当时,在内

26、只有极小值点,没有极大值点.当时,在内没有极值点. 33. 【考点定位】本题主要考查函数的最值、零点、单调性等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想.解: 当时,不合题意; 当时,单调递减,不合题意; 当时,单调递增, ,所以综上 (2)在上有两个零点.证明如下: 由(1)知, 在上至少有一个零点,又由(1)知在上单调递增, 故在上只有一个零点,当时,令, ,在上连续, ,在上递减,当时, , ,递增,当时, 在上递增, 在上只有一个零点,综上在上有两个零点. 34. 【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用.第一问就是三次

27、函数,通过求解导数求解单调区间.另外就是运用极值概念,求解参数值的运用. 解:(1)依题意可得 当即时,恒成立,故,所以函数在上单调递增; 当即时, 有两个相异实根且 故由或,此时单调递增 由,此时此时单调递增递减 综上可知 当时,在上单调递增;当时,在上单调递增,在单调递增,在单调递减. (2)由题设知,为方程的两个根,故有 因此 同理 因此直线的方程为 设与轴的交点为,得 而 由题设知,点在曲线的上,故,解得或或 所以所求的值为或或. 【点评】试题分为两问,题面比较简单,给出的函数比较常规,这一点对于同学们来说没有难度,但是解决的关键还是要看导数的符号对函数单调性的影响,求解函数的单调区间

28、.第二问中,运用极值的问题,和直线方程的知识求解交点,得到参数的值. 35. 【考点定位】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目,考醒的切线、单调性、极值以及最值问题都是果本中要求的重点内容.也是学生掌握比较好的知识点,在题目占能够发现和分析出区间包含极大值点,比较重要. 解:(1),.因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线,所以,.即且.解得 (2)记 当时, 令,解得:,; 与在上的情况如下:1(1,2)2+00+28-43由此可知: 当时,函数在区间上的最大值为; 当时,函数在区间上的最大值小于28. 因此,的取值范围是 36. 【解析】(I) 当且仅当时,的最小值为 (II)由题意

29、得: 由得: 37. 【命题意图】本试题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、不等式等基础知识,考查函数思想、分类讨论思想、考查综合分析和解决问题的能力. (1)的定义域为得：时，（2）设则在上恒成立（*）当时，与（*）矛盾当时，符合（*）得：实数的最小值为(lfxlby)（3）由（2）得：对任意的值恒成立取：当时， 得：（lb ylfx）当时，得：【点评】试题分为三问,题面比较简单,给出的函数比较常规,因此入手对于同学们来说没有难度,第二问中,解含参数的不等式时,要注意题中参数的讨论所有的限制条件,从而做到不重不漏;第三问中,证明不等式,应借助于导数证不等式的方法进行. 38. 【解

30、析】(1) 令得: 得: 在上单调递增 得:的解析式为 且单调递增区间为,单调递减区间为 (2)得 当时,在上单调递增 时,与矛盾 当时, 得:当时, 令;则 当时, 当时,的最大值为 39. 【解析】本题主要考察不等式,导数,单调性,线性规划等知识点及综合运用能力. () (). 当b0时,>0在0x1上恒成立, 此时的最大值为:=|2a-b|a; 当b>0时,在0x1上的正负性不能判断, 此时的最大值为: =|2a-b|a; 综上所述:函数在0x1上的最大值为|2a-b|a; () 要证+|2a-b|a0,即证=|2a-b|a. 亦即证在0x1上的最大值小于(或等于)|2a-b

31、|a, ,令. 当b0时,<0在0x1上恒成立, 此时的最大值为:=|2a-b|a; 当b<0时,在0x1上的正负性不能判断, |2a-b|a; 综上所述:函数在0x1上的最大值小于(或等于)|2a-b|a. 即+|2a-b|a0在0x1上恒成立. ()由()知:函数在0x1上的最大值为|2a-b|a, 且函数在0x1上的最小值比(|2a-b|a)要大. 11对x0,1恒成立, |2a-b|a1. 取b为纵轴,a为横轴. 则可行域为:和,目标函数为z=a+b. 作图如下: 由图易得:当目标函数为z=a+b过P(1,2)时,有,. 所求a+b的取值范围为:. 【答案】() 见解析;(

32、) . 40. 【考点定位】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义,两条直线平行的判定等基础知识,考查运算求解能力. 解:(1)因,故 由于曲线在点处的切线垂直于轴,故该切线斜率为0,即, 从而,解得 (2)由(1)知, 令,解得(因不在定义域内,舍去), 当时,故在上为减函数;当时,故在上为增函数; 故在处取得极小值. 41.解析:(1),时, ,在内存在零点. 又当时, 在上是单调递增的,所以在内存在唯一零点. (2)当时, 对任意都有等价于在上最大值与最小值之差,据此分类讨论如下:()当,即时, ,与题设矛盾 ()当,即时, 恒成立 ()当,即时, 恒成立.

33、 综上可知, 注:()()也可合并证明如下: 用表示中的较大者.当,即时, 恒成立 (3)证法一 设是在内的唯一零点 , 于是有 又由(1)知在上是递增的,故, 所以,数列是递增数列. 证法二 设是在内的唯一零点 则的零点在内,故, 所以,数列是递增数列. 42.解析:由f(x) = 可得,而,即,解得; (),令可得, 当时,;当时,. 于是在区间内为增函数;在内为减函数. (), (1)当时, ,. (2)当时,要证. 只需证即可 设函数. 则, 则当时, 令解得, 当时;当时, 则当时,且, 则,于是可知当时成立 综合(1)(2)可知对任意x>0,恒成立. 另证1:设函数,则, 则

34、当时, 于是当时,要证, 只需证即可, 设, 令解得, 当时;当时, 则当时, 于是可知当时成立 综合(1)(2)可知对任意x>0,恒成立. 另证2:根据重要不等式当时,即, 于是不等式, 设, 令解得, 当时;当时, 则当时, 于是可知当时成立. 43. 【答案及解析】 【点评】本题综合考查导数的概念、几何意义、导数在判断函数单调性与最值中的运用.本题容易忽略函数的定义域,根据条件曲线与直线在(0,0)点相切,求出的值,然后,利用函数的单调性或者均值不等式证明即可.从近几年的高考命题趋势看,此类型题目几乎年年都有涉及,因此,在平时要加强训练.本题属于中档题. 44. 【答案】解:(1)

35、由,得. 1和是函数的两个极值点, ,解得. (2) 由(1)得, , ,解得. 当时,;当时, 是的极值点. 当或时, 不是的极值点. 的极值点是-2. (3)令,则. 先讨论关于 的方程 根的情况: 当时,由(2 )可知,的两个不同的根为I 和一2 ,注意到是奇函数,的两个不同的根为一和2. 当时, , 一2 , -1,1 ,2 都不是的根. 由(1)知. 当时, ,于是是单调增函数,从而. 此时在无实根. 当时.,于是是单调增函数. 又,的图象不间断, 在(1 , 2 )内有唯一实根. 同理,在(一2 ,一I )内有唯一实根. 当时,于是是单调减两数. 又, ,的图象不间断, 在(一1,

36、1 )内有唯一实根. 因此,当时,有两个不同的根满足;当 时 有三个不同的根,满足. 现考虑函数的零点: ( i )当时,有两个根,满足. 而有三个不同的根,有两个不同的根,故有5 个零点. ( 11 )当时,有三个不同的根,满足. 而有三个不同的根,故有9 个零点. 综上所述,当时,函数有5 个零点;当时,函数有9 个零点. 【考点】函数的概念和性质,导数的应用. 【解析】(1)求出的导数,根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可. (2)由(1)得,求出,令,求解讨论即可. (3)比较复杂,先分和讨论关于 的方程 根的情况;再考虑函数的零点. 45. 【解析】()若,则对一切,这与题

37、设矛盾,又, 故. 而令 当时,单调递减;当时,单调递增,故当时,取最小值 于是对一切恒成立,当且仅当 . 令则 当时,单调递增;当时,单调递减. 故当时,取最大值.因此,当且仅当即时,式成立. 综上所述,的取值集合为. ()由题意知, 令则 令,则. 当时,单调递减;当时,单调递增. 故当,即 从而,又 所以 因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在使单调递增,故这样的是唯一的,且.故当且仅当时, . 综上所述,存在使成立.且的取值范围为 . 【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想,转化与划归思想等数学思

38、想方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切xR,f(x) 1恒成立转化为,从而得出a的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,通过构造函数,研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断. 46.考点分析:本题主要考察利用导数求函数的最值,并结合推理,考察数学归纳法,对考生的归纳推理能力有较高要求. 解析:(),令,解得. 当时,所以在内是减函数; 当 时,所以在内是增函数. 故函数在处取得最小值. ()由()知,当时,有,即 若,中有一个为0,则成立; 若,均不为0,又,可得,于是在中令,可得, 即,亦即. 综上,对,为正有理数且,总有. ()()中命题的推广形式为: 设为非负实数,为正有理数. 若,则. 用数学归纳法证明如下: (1)当时,有,成立. (2)假设当时,成立,即若为非负实数,为正有理数, 且,则. 当时,已知为非负实数,为正有理数, 且,此时,即,于是 =. 因,由归纳假设可得 , 从而. 又因,由得 , 从而. 故当时,成立. 由(1)(2)可知,对一切正整数,所推广的命题成立. 说明:()中如果推广形式中指出式对成立,则后续证明中不需讨论的情况. 47.解析:()考虑不等式的解. 因为,且,所以可分以下三种情况: 当时,此时,. 当时,此时,. 当时,此时有两根,设为、,且,则,于是 . 当时,所以,此