《学案与测评》2011年高考数学总复习 第五单元第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式精品课件 苏教版

1、第二节第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式同角三角函数的基本关系与诱导公式基础梳理基础梳理1. 同角三角函数基本关系式（1）平方关系： ;(2)商数关系：即同一个角的正弦、余弦的 等于1， 等于角的正切.2. 商数关系 成立的角的取值范围是tancossincossintan.Zk,2k|平方和商sin2+cos2=13. 诱导公式(1)公式一sin(+k2)= sin ,cos(+k2)= cos ,tan(+k2)= tan , 其中kZ.(2)公式二sin(-)= -sin ,cos(-)= cos ,tan(-)= -tan .(3)公式三sin(-)= sin ,cos(-)=

2、-cos ,tan(-)= -tan .(4)公式四sin(+)= -sin ,cos(+)= -cos ,tan(+)= tan .(5)公式五sin-2cos,cos-2sin(6)公式六sin-2cos,cos-2sin即+k2(kZ),-,的三角函数值，等于的 函数值，前面加上一个把看成 时原函数值的符号； 的正弦（余弦）函数值，分别等于的 函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.24. 必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”. 角030456090120150180270 角的弧度数0sin 010-1cos 10-10tan 01不存在0不存在6423

3、26532321212323232222212123333333同名锐角余弦（正弦）题型一题型一 三角函数式的求值三角函数式的求值【例1】已知分析 由cos 求sin ,可利用公式sin2+cos2=1,同时要注意象限的划分.典例分析典例分析._tan,_sin,178-cos则解 0,是第二或第三象限角.若是第二象限角，则sin 0,tan 0,若是第三象限角，则sin 0,tan 0,178-cos;815-cossintan1715)178(-1 cos-1sin22学后反思 (1)掌握常用的勾股数组：“3,4,5”;“5,12,13”;“8,15,17”.(2)要根据问题的需要对公式s

4、in2+cos2=1进行变形及1的代换，即sin2=1-cos2,cos2=1-sin2,1=sin2+cos2.(3)根据一个角的正弦、余弦、正切中的一个值求其余两个值(可简称为“知一求二”)时,要注意由于这个角所在象限的情况不同,从而可能出现一组或两组结果:如果已知三者之中其一的具体值且角所在的象限也已指定,那么只有一组结果;如果已知三者之中其一的具体值但未指定角所在的象限,那么要按角所在的象限进行讨论,这时一般有两组结果.举一反三举一反三1. 已知sin(-)-cos(+)= ,求下列各式的值：（1）sin -cos ;(2) .2323322sincos解析: 由sin(-)-cos(

5、+)= ,得sin+cos= .将两边平方，得1+2sincos= ,2sincos=- .又 ,sin0,cos0.(1) =1-2sincos= ,sin-cos= .(2)2323297922sincos716199 4333332222cossincossin4722131827sincoscossincossin 题型二题型二 三角函数式的化简三角函数式的化简【例2】化简：分析 化简上式，要认真观察“角”，显然需利用诱导公式，注意诱导公式的合理选用. )-)sin(-cos(-)23)sin(-)cos(2-tan(解 方法一：-1.sincos cossin-sincostan-s

6、incos-)(-coscostan-sin)(-cos)- 2sin()-cos()(-tan )sin()cos()- 2sin()-(cos)(-tan 原式方法二：1coscoscostansincos-)2sin(costan )-sin()-cos()2-sin(-)cos(-tan-原式学后反思 当角中含有 , ,2加减某个角时，要考虑用诱导公式进行化简.（1）诱导公式应用原则是：负化正、大化小、化到锐角为终了.（2）2-可以化为+(-),也可以化为2+(-),-可以化为-(+),也可以化为-2+(-). 223举一反三举一反三2. 化简 3222sin3222cos2cossi

7、ncos题型三题型三 三角函数恒等变形中的分类讨论思想三角函数恒等变形中的分类讨论思想【例3】化简：分析 化简时注意观察题设中的角出现了k,需讨论k是奇数还是偶数. Z).(k)cos(k1)-sin(k-1)-)cos(k- sin(k解析： 原式 3223223222222cos322coscos2cos22coscos22 cos1cos1coscos1cos2cos12cos2coscos2cos12cossincos2coscos2cos2coscos2coscos2cos2cos2cos解当k=2n(nZ)时，当k=2n+1(nZ)时， 综上，原式=-1.-1;)cossin()-

8、cos(-)sin(- )cos(2n1)sin(2n-1)-)cos(2n-sin(2n原式1)cos(sin)cos-sin(1)cos(2n1)1sin(2n-1)-1cos(2n-1)sin(2n原式学后反思 对角中含有k的三角函数化简时，要对k分为偶数和奇数进行讨论：k为偶数时，参照2进行化简;k为奇数时，去掉偶数倍的后，参照进行化简.3. 求证： ,kZ.举一反三举一反三sincos1sin1cos1kkkk 证明： 若k是偶数，即k=2n(nZ)，则左边= ;若k是奇数，即k=2n+1(nZ)，则左边= .原式成立.sin 2cos 2sincos1sincossin 2cos

9、2nnnnsin 2cos 2sincos1sincossin 21cos 21nnnn题型四题型四 三角函数公式在解三角形中的应用三角函数公式在解三角形中的应用【例4】(14分)在ABC中，若求ABC的三个内角.分析 由诱导公式可化简得sin A= sin B, cos A= cos B,进而由sin2A+cos2A=1可求出角A，进一步即可求出角B和角C.322解由已知得 sin A= sin B, cos A= cos B，2 两式平方相加,得 ，6 10 322 22A cos1,A2cos2 4A , 22A cosBA 23-B cos, 22-A cos均为钝角不可能，此时则若s

10、in(2 - )- 2sin( -B), 3cos A- 2cos( -B),A 127B)(A-C 6B23A cos23B cos学后反思 在ABC中，A+B+C=,2A+2B+2C=2, sin(A+B)=sin(-C)=sin C,cos(A+B)=cos(-C)=-cos C,tan(A+B)=tan(-C)=-tan C.以上结论要牢记，另外要注意“三角形”这一条件的限制作用. 2 2C 2B 2A举一反三举一反三4. 在锐角三角形ABC中，求证：sin A+sin B+sin Ccos A+cos B+cos C.12 14 证明 :ABC是锐角三角形，A+B ,即 A -B0,

11、sin Asin( -B),即sin Acos B;同理sin Bcos C,sin Ccos A,sin A+sin B+sin Ccos A+cos B+cos C.2222易错警示易错警示【例】(2008曲阜月考)已知直线l的倾斜角是，且 ,则直线l的斜率k=_135sin错解 因为直线l的倾斜角是,所以0,),又因为 ,sin2+cos2=1,所以 .于是l的斜率135sin 1312)135( -1sin-1cos22 125cossink错解分析 在解答本题时，考生很容易因忽视倾斜角的取值范围，不注意对进行分类讨论，而只得到 的错误结果.因此在解决此类问题中，一定要养成全面考虑、分

12、析问题的习惯.正解 因为直线l的倾斜角是，所以0,),又因为sin = ,sin2+cos2=1,所以于是l的斜率 125k 1312 cossink135,1312)135(-1cos2考点演练考点演练10. 已知sin(3+)= ,求 的值.13coscos233coscos1sincossin22解析: sin(3+)= ,sin =- ,原式13132coscoscoscos1coscoscos112181 cos1 cossin11. (2009扬州模拟)已知sin +cos = ,(0,),求tan 的值.解析：方法一：sin +cos = ,两边平方,得(sin +cos )2=

13、1+2sin cos = 2sin cos = 又(0,),sin 0,又sin cos 0,cos 0, ,且sin -cos 0,51512512524, 2由解得sin = ,cos = ,tan =sin cos = 51cossin 5725241cos2sin-1cos-sin 34 54 53方法二：联立方程,由得cos = -sin ,代入,得整理,得25sin2-5sin -12=0,解得sin = 或sin = (0,),sin 0,sin = 1cos2sin2 51cossin511,)sin-51(sin2253 54 5434-tan,53-54-51cos12 . 在ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b