【精品】高一数学 5.7平面向量数量积的坐标表示（备课资料） 大纲人教版必修

1、备课资料1.在ABC中，(1，1)，(2，k)，若ABC中有一个角为直角，求实数k的值.解：若A90°，则·0，1×21×k0，即k2若B90°，则·0，又(2，k)(1，1)(1，k1)即得：1(k1)0，k0若C90°，则·0，即2k(k1)0，而k2k20无实根，所以不存在实数k使C90°综上所述，k=2或k=0时，ABC内有一内角是直角.评述：本题条件中无明确指出哪个角是直角，所以需分情况讨论.讨论要注意分类的全面性，同时要注意坐标运算的准确性.2.已知：O为原点，A(a，0)，B(0，a)，a为

2、正常数，点P在线段AB上，且t(0t1)，则·的最大值是多少?解：设P(x，y)，则(xa，y)，(a，a)，由t可有：，解得(aat，at)，又(a，0)，·a2a2ta0，可得a20，又0t1，当t0时，·a2a2t，有最大值a2.3.判断两向量的垂直若a、b是非零向量，则aba·b=0.例1已知a=3，b=2，a，b夹角为60°，m为何值时两向量3a+5b与ma3b互相垂直？解法一：(3a+5b)·(ma3b)=3ma29a·b+5ma·b15b2=27m+(5m9)×3×2cos60&#

3、176;15×4=42m87=0m=时，(3a+5b)(ma3b).解法二：如图建立直角坐标系，则a=(3，0)，b=(1，)，3a+5b=(14，5)，ma3b=(3m3，3).(3a+5b)(ma3b)，(3a+5b)·(ma3b).=14×3(m1)+5×(3)=0m=时两向量垂直.4.计算向量的长度或平面上两点间距离.由数量积的定义，知：a·a=aacos0°=a2，a=，=.例2已知a=6，b=4，a，b夹角为60°，求a+b、a3b.解法一：a+b=a3b=解法二：利用加减法的几何意义如下图，在四边形ABCD中，

4、=6，=4，OAB=120°，则a+b=2如下图，a3b=.解法三：如下图，建立直角坐标系.则a=(6，0)，b=(2，2)，a+b=(8，2)，a3b=(0，6)，a+b=，a3b=.5.错解分析例1已知a=1，b=1，c=，a与b的夹角为90°，c与a的夹角为45°，c与b的夹角为45°，则a(b·c)为( )A.0 B.a C.b D.c误解：a(b·c)=(a·b)c=(abcos90°)c=(1×1×0)c=0·c=0，故选A.剖析：向量的数量积不满足结合律.事实上，a(b&

5、#183;c)=a(bccos45°)=a(1××)=a·1=a，故选B.6.数量积应用常见题型：(一)直接计算数量积此题型重在考查数量积定义式、应注意两向量夹角同起点以便正确确定.(二)由数量积确定两向量夹角可由a，b表示a与b夹角，但应注意，与，关系为互补角.若已知模及数量积求夹角则用公式cos=.若已知坐标求角则用公式.cos(其中a=(x1，y1)，b=(x2，y2)(三)已知三角形各顶点坐标判定三角形形状.通常应用公式cos=其中a=(x1，y1)，b=(x2，y2)(四)数量积运算律应用：此类题常以命题判断形式出现，如判断(a·b)·c=a·(b·c)是否正确，其次简化数量积运算.(五)运用