中考冲刺：代数综合问题--知识讲解(提高)

1、中考冲刺：代数综合问题一知识讲解(提高)【中考展望】初中代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点，因此牢固地掌握方程与不等式的解法、一元 二次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识，是解好代数综合题的 关键.在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，以数形结合的 方法找到解决问题的突破口.通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领 悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力.【方法点拨】(1)对“数学概念”的深刻理解是解综合题的基础；(2)认识综合题的结构是解综合题的前提；(3)灵活运用数学思想方法是解综合题的

2、关键；(4)帮助学生建立思维程序是解综合题的核心.* 审题(读题、断句、找关键)；* 先宏观(题型、知识块、方法)；后微观(具体条件，具体定理、公式)* 由已知，想可知(联想知识)；由未知，想须知(应具备的条件)，注意知识的结合；* 观察一一挖掘题目结构特征；联想一一联系相关知识网络；突破一一抓往关键实现突破；寻求一一学会寻求解题思路.(5)准确计算，严密推理是解综合题的保证.【典型例题】类型一、函数综合2十 1.已知函数 y =和 y=kx+1(k W0).(1)若这两个函数的图象都经过点 (1 , a),求a和k的值；(2)当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点？【思路点拨】本题是一次函

3、数，反比例函数的综合题.本题考查了函数解析式的求法和利用判别式判断函数图象 交点个数.【答案与解析】解：(1) .两函数的图象都经过点(1 , a),2a = 2,解得 ,k -1.a =1,a = k 1.2、 2c -(2)将 y = 代入 y = kx+1 ,消去 y,得 kx +x2=0. x - kw0, .要使得两函数的图象总有公共点，只要0即可. = 1+8k.11+8k>0,解得 k> -8,1 一 ，、一 一、一一 k> 且kw0时这两个函数的图象总有公共点.8【总结升华】两图象交点的个数常常通过建立方程组，进而转化为一元二次方程，利用根的判别式来判断.若

4、>0,两图象有两个公共点；若=0,两图象有一个公共点；若<0,两图象没有公共点.举一反三：【变式】如图，一元二次方程x2+2x-3= 0的两根x1, x2 (乂1乂2)是抛物线y = ax2 + bx+c(a。0)与x轴的两个交点 B, C的横坐标，且此抛物线过点A (3, 6).(1)求此二次函数的解析式；(2)设此抛物线的顶点为 巳对称轴与线段ACf交于点Q,求点P和点Q勺坐标；(3)在x轴上有一动点M当MQ+MA得最小值时，求 M(的坐标.解：(1)解方程 x2 +2x3=0,得 x1=-3, x2=1.:抛物线与x轴的两个交点坐标为：C (-3, 0), B (1, 0).

5、将A (3, 6), B (1, 0), C (-3, 0)代入抛物线的解析式，得9a 3b c = 6,，a +b +c=0, 解这个方程组，得 9a -3b +c =0.1 23抛物线解析式为y=1x2+x士.221a = 一,24 b = 1,3c = 一一.L 2,1231, 八 2 八(2)由y = x +x = (x+1) -2 ,得抛物线顶点P的坐标为(-1,-2),对称轴为直线x=-1. 222设直线AC勺函数关系式为y=kx+b,将A (3, 6), C (-3, 0)代入，得3k + b=6,解这个方程组，得-3k +b =0.;直线AC勺函数关系式为y=x+3. 由于Q点

6、是抛物线的对称轴与直线故解方程组1x = 一1,得 3y = x +3.b =3, k =1.AC勺交点,x - -1,., 一 ，,点M 标为（-1,2）.y =2. 作A点关于x轴的对称点 A/(3,-6),连接A/Q,A/Q与x轴交点M即为所求的点设直线A/Q的函数关系式为y=kx+b.丹 +b = -6,k + b = 2.解这个方程组，得b=0,；k = -2.;直线A/Q的函数关系式为y=-2x.令x=0,则 y=0.:点M勺坐标为(0, 0)类型二、函数与方程综合2 m2 1,2m2 2- 2.已知关于x的一次函数y=x mx +与y = x mx,这两个二次函数的图象22中的一

7、条与x轴交于A, B两个不同的点.(1) 试判断哪个二次函数的图象经过A B两点；(2)若A点坐标为(-1 , 0)，试求B点坐标；(3)在(2)的条件下，对于经过 A, B两点的二次函数，当 x取何值时，y的值随x值的增大而减小？ 【思路点拨】本题是二次函数与一元二次方程的综合题.本题考查了利用一元二次方程根的判别式判断二次函数图象，与x轴的交点个数及二次函数的性质.【答案与解析】解：(1)对于关于x的二次函数y=x2mxm2 1:一乙 A，一.2m +12 _ _由于 = (-m) 4 x 1 x = m 2 < 0 ,< 2 )所以此函数的图象与x轴没有交点.m - 2对于关

8、于x的二次函数y=x2mx -2，一.2m +22由于= (-m) -4x1 x 一 =3m +4>0,< 2 )所以此函数的图象与 x轴有两个不同的交点.故图象经过A, B两点的二次函数为 y =x2 mx+2 =02m2 - 2m2 - 2(2)将 A(-1 , 0)代入 y=x2mx-,得 1+m= 0.22整理，得m2 -2m=0 .解之，得m= 0,或m= 2.当 m= 0 时，y = x2 -1 .令 y= 0,得 x2 -1 = 0 .解这个方程，得x1 = -1, x2 =1 .此时，B点的坐标是 B(1 , 0).当 m= 2 时，y =x2 -2x-3.令 y=

9、0,得 x2 -2x-3 = 0.解这个方程，得 x3= -1 , x4=3.此时，B点的坐标是 B(3, 0).xv 0 时,m为正整(3)当m= 0时，二次函数为 y =x2 -1 ,此函数的图象开口向上，对称轴为x = 0,所以当函数值y随x的增大而减小.当m= 2时，二次函数为 y =x2 2x3 = (x1)2 4 ,此函数的图象开口向上，对称轴为 所以当xv 1时，函数值y随x的增大而减小.【总结升华】从题目的结构来看，二次函数与一元二次方程有着密切的联系，函数思想是变量思想，变量也可用 常量来求解.举一反三：【变式】已知关于x的一元二次方程 mx2+(3m+1)x+3=0.(1)

10、求证该方程有两个实数根；(2)如果抛物线 y=mx2+(3m+1)x+3与x轴交于A、B两个整数点(点 A在点B左侧)，且 数，求此抛物线的表达式；(3)在(2)的条件下，抛物线 y=mx- -1 O-1 = (3m+1)2-4XmX3 =(3m 1)2(3m-1)2>0, > 0,原方程有两个实数根.解：令 y=0,那么 mx2+(3m+1)x+3=0.解得 x1 = 3, x2 =.m.抛物线与x轴交于两个不同的整数点，且 m为正整数,m=1.，抛物线的表达式为 y =x2+4x+3 .(3)解：二.当 x=0 时，y=3, C (0, 3).,.当 y=0 时，xi = -

11、3, x2= -1.又.点A在点B左侧， . A (3, 0), B ( 1 , 0).点D与点B关于y轴对称，. D (1, 0). 设直线 CD的表达式为y=kx+b.,k +b =0 ， b =3解得k"3'b =3.直线 CD的表达式为 y= - 3x+3.又二当 x = 一1时，y =! -1 ( +4 x -1 +3 =-. . 2. 24+(3m+1)x+3与y轴交于点C,点B关于y轴的对称点为 D,设 此抛物线在一3< xw_1之间的部分为图象 G,如果图象 G向右平移n (n>0)个单位长度后 2证明：.与直线CD有公共点，求n的取值范围.当直线

12、y= 3x+3过点E' ( _1十n , 5 )时，24-3 ' -J- +n+3 =,2 4=13n= 12n的取值范围是13 w nW 4.12类型三、以代数为主的综合题一小。/日 3 .如图所不，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2 , 0),将线段OA绕原点。顺时针旋转120得到线段OB(1) 求点B的坐标；(2) 求经过A, Q B三点的抛物线的解析式；(3) 在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使 BOC的周长最小？若存在，求出点 C的坐标；若不存在，请说明理由.(4) 如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在 x轴的下方，那么 PAB是否有最大面积？若有，求 出

13、此时P点的坐标及 PAB的最大面积；若没有，请说明理由.【思路点拨】(1)由/AOB= 120°可得OB与x轴正半轴的夹角为 60° ,利用OB= 2及三角函数可求得点 B的坐标；(2)利用待定系数法可求出解析式；(3)OB为定值，即求 BC+CO1小.利用二次函数的对称性可知点C为直线AB与对称轴的交点；(4)利用转化的方法列出 SAPAB关于点P的横坐标x的函数关系式求解.【答案与解析】解：(1)B(1 ,屈)(2) 设抛物线的解析式为 y=ax(x + 2),代入点B(1 , J3),得2=3.所以y=1x2+W3x. 333(3)如图所示，抛物线的对称轴是直线x =

14、 -1 ,因为A, O关于抛物线的对称轴对称，所以当点C位于对称轴与线段 AB的交点时， BOCW周长最小.设直线AB的解析式为y=kx+b(k#0),则-lk =卜+b=。3,解得3-2k b =0.2,3b =.3因此直线AB的解析式为y=Y3x+H3.33当 X = -1 时，y =3因此点C的坐标为1,/.I 3 JF.(4)如图所示，过 P作y轴的平行线交 AB于D,设其交x轴于E,交过点B与x轴平行的直线于设点P的横坐标为x.贝“ S*A PAB = S*A PAD ' SA PBD1 1PD AE - PD BF2 21 PD (AE BF)21 ,、,、=cHd 一丫)

15、1-xa)2 A322.3x333( .1 2), 9>/3一 x -*此时匕害2281.当x = - 时， PAB的面积的最大值为2【总结升华】本题为二次函数的综合题，综合程度较高，要掌握利用点的坐标表示坐标轴上线段的方法.因为线 段的长度为正数，所以在用点的坐标表示线段长度时，我们用“右边点的横坐标减左边点的横坐标，上边点的纵坐标减下边点的纵坐标”,从而不用加绝对值号，本题中线段 PD的长为yD yP就是利用了这一规律.4 .( 2015.北京东城一模)在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y = ax2:+bx + 1(a¥0)过点 A(1,0),B(1,1 )与y轴交于点C

16、 .(1)求抛物线y =ax2+bx + 1(a #0)的函数表达式;2(2)右点D在抛物线y=ax +bx+1(a #0 )的对称轴上，当ACD的周长最小时，求点 D的坐标;2(3)在抛物线y=ax +bx+1(a#0)的对称轴上是否存在点 P,使4ACP成为以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【思路点拨】(1)已知点坐标代入函数解析式即可求得解析式；(2)利用轴对称知识求三角形周长最小值；(3)注意分类讨论满足条件的直角三角形，不要漏解【答案与解析】解：(1) .抛物线 y=ax2+bx+1(a#0)过点A(1,0 ), B(1,1),a -b 1 =

17、0, a b 1 =1.1 a =,2b2 1 21抛物线的函数关系式为y = -X2 -x 1.22/c、b 1 x 二-大二，COD2a 21 2 1/ 1，抛物线y = - x + x+1的对称轴为直线 x =一. 2221 一设点E为点A关于直线x =-的对称点，则点E的坐标为(2,0 ).1连接EC父直线x =一于点D ,此时4ACD的周长最小.2设直线EC的函数表达式为y =kx +m,代入E,C的坐标，皿 2k m =0, m =1.1 k = 解得 2,m =1.,一一，一一，1所以，直线EC的函数表达式为 y = x+1.2x时，y=324.点D的坐标为口 3 I. 24(3

18、)存在.当点A为直角顶点时，过点 A作AC的垂线交y轴于点M ,交对称轴于点 P1. AO -L OC , AC _L AP ,. AOM = CAM =90 .C(0,1 ), A(1,0 ),OA =OC =1.CAO =45.OAM =/OMA =45 .OA =OM =1.点M的坐标为（0, 1 ）.设直线AM对应的一次函数的表达式为 y = k1x + b1,代入A, M的坐标,I -k1 b1 =0,则，Ibi = -1.k1 = 1, 解得11bl = -1.所以，直线 AM的函数表达式为y = -x-1.人 13令 x = ，则 y =-22.13，点P的坐标为.-,-3 I.

19、当点C为直角顶点时，过点 C作AC的垂线交对称轴于点 P2,交X轴于点N .与同理可得 Rt CON是等腰直角三角形,. OC =ON =1.点N的坐标为（1,0 ）.CF2 .L AC , AR _L AC , CF2/ AF.直线CF2的函数表达式为y = -x十1.人 11令 x = -,则 y = 一.221 1综上，在对称轴上存在 点P i1 -3 I2, 2点F2的坐标为 2,2 J,P - i,使4ACP成为以AC为直角边的直角三角形2 2,2【总结升华】求最值问题，在几何和函数类题目中经常考查，通常利用轴对称知识来解答此类题型；点的存在性 也是常考点，注意解的多样性，从而分类讨

20、论，不要出现漏解情况 举一反三：21【变式】如图所不，抛物线 y =ax +bx+3与y轴交于点C,与x轴交于A, B两点，tan/OCA = -,3(2)求抛物线的解析式及顶点坐标；(3) 若E点在x轴上，F点在抛物线上，如果 A C, E, F构成平行四边形，直接写出点E的坐标.【答案】解：(1) y = ax2 +bx+3,C(0, 3).1又- tan/OCA =-，A(1 , 0). 3又, S>A ABC = 6 ,1 , _父3父 AB = 6, 2AB= 4。B(-3 , 0).(2)把 A(1 , 0) , B(-3 , 0)代入 y = ax2 +bx +3得：0 =

21、 a b 3, 0 =9a -3b 3.a= -1 , b= -2 ,2y = x 2x + 3 .2- y = _(x +1) +4.，顶点坐标(-1 , 4).如图1和图2.图1图2当AC为平行四边形的一边时，Ei(-1 , 0), E2( -2-77, 0), E3(-2 + 77, o).当AC为平行四边形的对角线时，巳(3 , 0).M(t, T)在函数y2的图象C5.已知函数yi = x, y2=x2+bx+c, a , 3为方程y1 y2 = 0的两个根，点上.(1) 若支=1, P =1 ,求函数y2的解析式；321 (2) 在(1)的条件下，若函数yi与y2的图象的两个交点为

22、 A, B,当4ABM的面积为时，求t的值;123(3) 若0V a V 3 <1,当Ovtvl时，试确定T, a, 3三者之间的大小关系，并说明理由.【思路点拨】第 问由y1 y2 =0得x2+(b1)x+c = O的两根为“，3 ,利用根的定义代入得到b, c的方程组可求出b, c值；第(2)问分别求出A, B两点坐标，利用直线 y = x与x轴夹角为45°得到关于t的方程；第(3)问利用求差法比较 T, a , 3的大小，注意对t的范围进行分类讨论来的确定相应T, a , 3的大小关系.【答案与解析】解 (1)- y1= x, y2=x+bx+c, y1 y2=0,2_x +(b 1)x+c = 0.将二.=-31211P =一分别代入 x2 +(b1)x+c = 0,得.一 十(b1)M_ +c = 0233221(b-1)M；1 产 =011斛倚 b = 一, c =.6611，函数y2的斛析式为 y2=x?+-x+-.66