L-积分的极限定理

1、曹 广 福 教 授四川大学数学学院 本讲目的：掌握Levi定理、Fatou引理以及Lebesgue控制收敛定理，并能熟练运用Lebesgue控制收敛定理。 重点与难点：Lebesgue控制收敛定理及其证明。 如所周知，函数序列的积分之极限 与该函数序列的极限之积分是否相等是 微积分中的重要问题,也是困难的问题， 同时，它又是应用十分广泛的问题。有 时，为了讨论这类问题，人们常常要进 行十分复杂的推导与演算。 对于什么样的函数序列，积分与极对于什么样的函数序列，积分与极限可以交换顺序？限可以交换顺序？ 让我们先从最简单的情形开始。 最简单的情形莫过于单调的非负函 数序列。不妨设 是单调递增的非负

2、函数序列，即 满足： , 2 , 1),(mxfm)(xfm; 0)()(xfim., 2 , 1),( )()()(1mExxfxfiimm 显然 有极限，记为对这样的函数列，下式是否成立？)(xfm,.)(lim)(EeaxfxfmmEEmmdxxfdxxf)(lim)(先设 ，对任意 ，取正整数 l, k, 使Edxxf)(0kEEldxxfdxxf,2)()(其中.ESEkk注意到 ，且在 Ek 上， ，尽管 与 都是有界函数，但我们还不清楚它们的积分与极限是否一定可以交换顺序。kmElmmlxfxf)(lim)(lxf)(lmxf)(但我们知道，如果 是一致收敛的，则积分与极限是可以

3、交换顺序的。这很容易使我们联想到关于函数序列不同收敛性之间关系的一个重要定理。lmxf)(这就是Egoroff定理。由Egoroff定理知，存在 ，使 ，且在 上一致收敛到 。kEE lmE4EEklxf)(lmxf)(设正整数 m0 使 时，对一切 ，都有 ，则当 时，0mm EExk)1 (4)()(0klmlmExfxf0mm EEElEElmmkkdxxfdxxfdxxf4)()()(又kkEEEEllldxxfdxxfdxxf)()()(,4)(EElkdxxf故当 时，0mm .)(4)()(EEEElmdxxfdxxfdxxfk因此 ，由的任意性便知 。另一方面，由于对任意 m，

4、显然有 ，EEmmdxxfdxxf)()(limEEmmdxxfdxxf)()(lim)()()(Exxfxfm所以 ，从而 。综上得 。EEmdxxfdxxf)()(EEmmdxxfdxxf)()(limEEmmdxxfdxxf)()(lim当 时，由积分定义，对任意 M 0，存在 k, l 使 ， 其中 。由与 及上面的证明知Edxxf)(kElMdxxf)(ESEkk)()()(mxfxfllmkEldxxf)(kkElElmmMxfdxxf.)()(limElmEmmmdxxfdxxf)(lim)(limMdxxfkElmm)(lim由 M的任意性立得 。EEmmdxxfdxxf)()

5、(lim这样便得到下面的定理：Levi（勒维）（勒维）定理定理 设设, 2 , 1),()(mxfim是是E上的非负可测函数序列，上的非负可测函数序列，, 2 , 1),( )()()(1mExxfxfiimm,.)(lim)()(Eeaxfxfiiimm则则EEmmdxxfdxxf.)(lim)(问题问题1 1：我们知道级数与序列是可以相我们知道级数与序列是可以相 互转换的，试将互转换的，试将LeviLevi定理改用定理改用 级数的形式叙述？级数的形式叙述？ LebesgueLebesgue基本定理：基本定理：如果如果 是是 E 上的上的非负非负可测函数序列，可测函数序列， ，则，则, 2

6、, 1),(mxfm.)()(1mEmEdxxfdxxf1)()(mmxfxf则 Sk 是 E 上的非负可测函数，并且 ，令 ，kmmkxfxS1)()(, 2 , 1,),()(1mExxSxSmm)(lim)(xSxfmm故由Levi定理知EEkmEmkkkdxxfdxxSdxxf1)(lim)(lim)(1.)(mEmdxxf问题问题2：如果如果 Ek 是一列互不相交的可测是一列互不相交的可测 集，集， , f 是是E上的上的L-可积可积 可测函数可测函数,能否利用能否利用Lebesgue 基基 本定理证明本定理证明 ？1kkEE EkEkdxxfdxxf1)()(记 为 Ek 的特征函

7、数，则 。注意到故由Lebesgue基本定理得kEkkEEEdxxxfdxxf)()()(1)()()()(kEExxxfxfk类似可证 。 由 f(x) 在 E 上有积分知 与至少有一个不为，不妨设 ，11)()()()(kkEEEEdxxfdxxxfxfkk1)()(kEEdxxfdxxfEdxfEdxfEdxf于是由 ，知 f + 在每个 Ek 上可积，且有 。kEEdxxfdxxf)()(1)()(kEEkdxxfdxxf进一步EEEdxxfdxxfdxxf)()()(11)()(kEkEkkdxxfdxxf)()(1 kkEkEdxxfdxxf.)(1kEkdxxf问题问题3：如果将

8、如果将Levi定理中的单调性条件去定理中的单调性条件去 掉，结论是否依然成立？掉，结论是否依然成立？ 应该看到，如果去掉单调性条件，应该看到，如果去掉单调性条件，函数序列的极限可能不存在，此时，我函数序列的极限可能不存在，此时，我们可以考察其上极限或下极限，下面以们可以考察其上极限或下极限，下面以下极限为例。下极限为例。 设设 f fn n 是可测集是可测集E E上的非负可测函数，上的非负可测函数， E Elimlimf fn n(x)dx(x)dx与与limlimE Ef fn n(x)dx (x)dx 有什么关有什么关系？系？如果记 ，则g k 显然是单调递增的非负函数序列，且 limfn

9、(x)=lim g k (x)，从而由Levi定理知Elimfn(x)dx= E lim g k (x) dx = limE g k (x) dx limEfn(x)dx)(inf)(xfxgmkmk 于是得到下面的于是得到下面的 FatouFatou引理：设引理：设 f fn n 是可测集是可测集E E上的非负上的非负可测函数，则可测函数，则 E Elimlimf fn n(x)dx (x)dx limlimE Ef fn n(x)dx(x)dx问题问题4 4：对非负可测函数列对非负可测函数列 f fn n ，上述，上述 不等式中严格不等式能否成立？不等式中严格不等式能否成立？ 举例说明。举

10、例说明。yx011/xnxnx0nnnxxxxxnxf0,/11,0)()1 ,0(,0)(lim).1(xxfnn1)().2()1 ,0(dxxfSnn0)(lim).3()1 ,0(dxxfnnnS, 0nx 既然对一般的可测函数列既然对一般的可测函数列 f fn n,Fatou,Fatou引理中的等式未必成立引理中的等式未必成立, ,下面的问题便是自下面的问题便是自 然的然的：问题问题5 5：对一般可测函数列：对一般可测函数列 f fn n ，积分与极，积分与极 限何时可以交换顺序？限何时可以交换顺序？ 一个平凡的事实是：如果有限测度集一个平凡的事实是：如果有限测度集E E上的上的Le

11、besgueLebesgue可积函数列可积函数列 f fn n 一致收敛一致收敛到到 f f，则，则f f也是也是E E上的上的LebesgueLebesgue可积函数，可积函数，且积分与极限可以交换顺序。且积分与极限可以交换顺序。 然而，一致收敛性条件太强，大部分情况然而，一致收敛性条件太强，大部分情况 下难以做到。不过它还是能给我们带来一些启下难以做到。不过它还是能给我们带来一些启 示。假设示。假设 f fn n 是有限测度是有限测度集集E E上的上的LebesgueLebesgue可可 积函数列，且一致收敛到积函数列，且一致收敛到f f，则对任意，则对任意 00，存，存 在自然数在自然数

12、N N，当，当nNnN时，有时，有 | |f fn n(x)-f(x)|(x)-f(x)| ( (xE)xE)， 于是于是 |f|fn n(x)| |f(x)|+ (x)| 00，存在，存在 可测集可测集E E E E，使得：，使得： （a a）m(E- Em(E- E ) )0,0,存在存在 00，使得当使得当c,dc,d a,ba,b，且，且d-c d-c 时，有时，有 .|)(|dcdxxf这一性质通常称之为这一性质通常称之为积分绝对连续性。积分绝对连续性。 注意到注意到E- EE- E 的测度可以充分小，而的测度可以充分小，而且函数序列且函数序列 f fn n 可以由可以由 F F 控

13、制，控制， 那么从那么从不等式不等式 E- EE- E |f |fn n(x)| dx(x)| dx E- EE- E F(x)dxF(x)dx（2 2）及及 RiemannRiemann 积分的绝对连续性能得到何积分的绝对连续性能得到何种启发呢？种启发呢？上述分析启示我们上述分析启示我们： 函数序列的积分与极限能否交换顺序取决函数序列的积分与极限能否交换顺序取决于于LebesgueLebesgue可积函数是否具有积分绝对连可积函数是否具有积分绝对连续性。续性。 仍然假设仍然假设E是有限测度集，是有限测度集，f(x)是是E上的上的L-可积函数，则可积函数，则|f(x)|也是也是E上的上的L-可

14、积函数，可积函数，因此不妨设因此不妨设f(x)是是E上的非负函数。上的非负函数。 如果如果f(x)是有界函数，即是有界函数，即 Mxf)(),(Ex则由不等式则由不等式知对知对 只要只要 就有就有AmAMdxxf)(, 0,MmAAdxxf.)(于是，问题最终归结为：于是，问题最终归结为：问题问题7 7：若：若f(x)f(x)是是E E上非负的无界可积函上非负的无界可积函 数，数， f(x)f(x)是否具有积分绝对连是否具有积分绝对连 续性？续性？ 由无界函数积分定义，可以作有界函数由无界函数积分定义，可以作有界函数列列 如下：如下：则则 单调递增收敛到单调递增收敛到f(x)f(x)，且，且

15、。)(xfnnxfnxf)()(,)()(nxfnxf)(xfndxxfdxxfEnnE)(lim)(于是对任意于是对任意 存在存在N，使得，使得进而对进而对E的任意可测子集的任意可测子集A，有，有 。, 0,)()(dxxfxfENANAANdxxfdxxfxfdxxf)()()()(dxxfdxxfxfANEN)()()(NmA这说明，只要这说明，只要 便有便有由由 的任意性知的任意性知f(x)确有积分绝对连续性。确有积分绝对连续性。,NmAAdxxf,2)( 以上种种分析揭示了一个基本事实以上种种分析揭示了一个基本事实, , 同同时也给出了这一事实时也给出了这一事实 的一个大的一个大 概的证明思概的证明思想。这个事实