课例研究直线的点方向式方程

1、课例研究：直线的点方向式方程数学教研组 孙贤欢现有教师在职教育虽形势多样，但效果颇难如愿，多数参与培训的教师依然很难将所培训的知识和技能应用到日常课堂之上。以“课例”为载体、在教学行动中开展包括专业理论学习在内的教师教育行动教育模式，既利于提高课堂教学实效，又利于教师的专业成长。2006年，学校开展课例学习活动，又恰逢笔者要参加区里面的教学比武，所以正好利用此次机会，把笔者在学校里面的试讲改进方案一一详细记录，作为一次课例分析的尝试。 笔者所选择的课题为直线方程，直线这一章节的核心思想是：通过坐标把几何问题表示成代数问题，然后通过方程来研究直线！直线是解析几何中最基本而内涵丰富，应用广泛的内容

2、之一，同时也是应用解析法解决平面几何问题的基础，涉及角，距离的计算和平行垂直的判断，不但是重要的知识点，更是进一步学习圆锥曲线的基本工具。原计划设计方案：在新教材中，用向量方法推导直线方程体现了从几何角度分析，确定直线需要两个独立的条件（位置和方向），利用给定的条件，通过向量平行和垂直的充要条件（对应坐标的关系式）推导出直线的点方向式方程、点法向式方程。我们用向量工具推导直线方程，不仅形式十分简洁明了，而且能充分认识字母系数的含义，这对以后学习直线的一般式以及位置关系有十分重要的意义！对于学生而言，初中时已学过一次函数、正比例函数这两种形式的直线方程，对于直线有一定的了解，而本堂课是让学生了解

3、直线的两种新的的形式：点方向式、点法向式！初中时候学生学习的直线方程是模糊的，而通过这节课，要让学生能够清楚的明白何谓直线方程，彻底明白直线与方程之间需满足怎样的关系才能够称为直线方程！所以这节课的重点为：直线方程的意义以及直线的点方向式、点法向式方程。难点为：直线方程的意义。主要流程如下：一次函数、正比例函数引入两点确定一条直线，拿掉一点行吗？换一个这样的条件也同样能够确定一条直线呢？（板书）利用向量平行的性质让学生探究推导 “点方向式方程”直线方程定义解决例题1：已知点和，求经过点且与平行的直线的点方向式方程？变式：求经过点和的直线的点方向式方程！例题2：让学生用类比的方法推导：点法向式方

4、程例题3：已知点，求的垂直平分线的点法向式方程小结作业对于点方向式的推导，我采取引导学生推导的策略，而对于点法向式，就完全由学生类比点方向式的推导，让学生自己探究，自己感悟。在讲直线与方程关系的时候，先讲定义，再举一个例子，并借助于图象来说明直线与方程的关系，从而由特殊到一般，通过证明来说明是所求的直线方程！第一次记录：在高二（10）班第一次试讲时，学生基本上按照我所设计的方案有条不紊的进行，学生在探究点方向式方程以及用类比的方法来研究点法向式方程时都能积极主动参与，达到了我所预定的目标。但是在讲直线方程的定义时，从学生的反应当中能够感觉到学生并没有真正的理解掌握。原因有两个方面：一、以往在初

5、中的教学过程中已经用到了直线方程这一个概念，学生认为在这边再给它定义，老师是不是多此一举。二、概念本身比较抽象，要充分理解方程的“解”和图形的“点”之间的关系。除此之外，在例1的变式中，有的人选择用点，有的用，从表达式上讲是不一样的，当我让学生来解释时，可喜的是一部分学生已经发现通过化简后是同一个方程，于是我借助于学生的发现，总结为：同一条直线可以有不同的点方向式方程。在评课的过程中，各位老师给我提出了一些宝贵的意见，本人根据学生状况并确立了解决的方案：1、例题1中可以再变式：求一条中位线的点方向式方程，有助于原例题与两变式之间比较。2、板书时：已知两点能确定一条直线，当问到拿掉一个点换一个怎

6、样的条件也能确定直线时，在黑板上可以擦掉一个点，这样比较生动形象而且有助于学生想到再加一个条件（方向）。3、 在探究例题2时，多给学生一点时间并最终让学生上黑板写出点法向式的推导过程！4、讲直线方程时，该部分各评课老师之间的观点是比较有争议的，有的老师认为要详讲，是一个新的重要的概念。有的老师认为在这边只需要略讲，因为课本后面还有一节课：曲线与方程，到时再讲的透彻些。最终考虑到本堂课的侧重点放在点方向式方程比较合适，所以选择了略讲。然后借助于一个简单的直线方程和它的图形来进行说明。5、本堂课容量过多，不易于学生真正的理解并掌握。各评课老师经过讨论后例题准备重新安排，点法向式不准备讲！在各位老师

7、的指导之下，我准备重新设计这堂课程，整个流程如下：一次函数、正比例函数引入两点确定一条直线，拿掉一点行吗？换一个这样的条件也同样能够确定一条直线呢？（板书）利用向量平行的性质让学生探究推导 “点方向式方程”直线方程定义例题1：观察下列直线方程，并指出各直线必过的点和它的一个方向向量？ 例2：已知点和，求经过点且与平行的直线的点方向式方程？变式1：求经过点、C两点的直线的点方向式方程？变式2：求 中，平行于边的中位线所在直线的点方向方程？例题3：能否把直线方程化为点方向式方程？若能，它的点方向式方程是否唯一？并观察x、y的系数与方向向量有什么联系？（探究性学习）小结作业 重新定义教学重点为：直线

8、的点方向式方程。教学难点为：理解直线方程以及点方向式方程的推导。 第二次记录：在高二（13）班再上这堂课时，相对前一次相比，课的容量减少，难度降低，前一次所出现的问题也能够基本上得到改善，整个教学过程也比较舒畅。但是上课时学生与老师的语言交流还不够，缺乏一些默契。我自己分析了一下，可能是该班并不是我是任课老师造成的，而上一次的高二（10）班是我与学生之间经过了半个学期的磨合，所以比较顺手。在例题2的变式3中，学生甲是通过求出两中点再转化为变式2中的已知两点求直线方程的，当我问及有没有不同解法时，很激动的能够看到一部分同学提出只需要求一个中点，然后利用作为方向向量即可。可见这一部分同学是真正掌握

9、了直线的点方向式方程的精髓：一个点、一个方向。在和各位听课老师交流后，针对这堂课所存在的问题我制定了新的策略：1、在对的分类讨论时，把这种情况放在最后一类，便于和例题1直接产生联系。有助于学生解答轻松的解决例题1。2、讲直线方程时还需要精炼！经过各位老师的讨论，最终决定就按照书上两句话：以方程的解为坐标的点都在曲线上，曲线上的点都是方程的解，然后直接给出定义！不要特意展开，否则一发不可收，并提示学生后面在讲曲线与方程将重点讲，有兴趣的同学课后可以先看书本。3、在解题和探究的过程中，围绕点方向式方程的特点，一个点，一个方向展开。这样就能够让学生不断的感悟到，点方向式方程的特点：一个点、一个方向。

10、4、在例题3的探究活动中，考虑到部分学生并不能够探究出结论或者不会归纳结论，所以准备先让学生独立探究，再以四人为一个小组团队讨论，最终由学生说出结论。这样既能够培养学生的团队合作精神又能够达到我所预定的例题目标。第三次记录：最后一堂课放在高二（9）班，感觉上的很熟练，思路也较清晰。以往所出现的问题都一一得到了明显的改善，但让学生探究例3的时候，我发现有部分学生模仿例2中变式1的结论，直接得到和两个点方向式方程。如果有下一次上该堂课的机会，我准备换一个方程让学生进行探究！一方面便于学生化为点方向式方程，一方面防止学生参照例题2的变式1，对于学生主体而言并没有积极思考！直线的方程这一堂课我共上了3

11、次，有点遗憾就是没有想到一个合适的引入，通过初中的一次函数引入，感觉上有点枯燥。后来我想到了这样的一个引例：南桥镇在争创全国文明镇的过程中，要给参观者介绍南桥各主要道路的地理位置，比如如何介绍人民路呢？学生会说：由北向南（方向）；人民路上有金叶商厦（点）等从而发现：一个点和一个方向能够确定一个平面。这样就能够让学生体验到数学来源于生活，运用于生活！也较符合二期课改精神！ 收获感悟：通过这次课例分析，我发现自己不知不觉成长了许多，同样一堂课，从我最初的个人设计，通过各位同事的帮助下，再经过自己不断的反思，逐步的完善了这样一堂课，最终的这堂课的教案可以说是集中了我们整个数学备课组智慧的精华。从我个

12、人角度出发，也有了很多收获：1、一个青年教师在面对某些教学问题时，由于缺乏经验总会担心自己所选择的处理方式是否正确，也无法预见上课时学生会出现的问题。但通过课例研究，反复的上同一堂课，面对不同学生的不同想法采取不同的方法，从而积累宝贵的教学应变能力。2、课例研究的整个过程其实也是一个让教师发现自己、肯定自己，完善自己，发展自己，增强教师的个人成就感，增强教师的合作意识，引导老师自主提高知识素养、业务能力、科研水平的过程。对于我这样的青年教师而言，特别能够促进成长！3、通过这一次的课例研究，从中我也发现了作为一个青年教师自身还存在着许多不足之处，相比较一些经验丰富的老师而言，各方面还存在着很大的

13、差距。所以在以后的教学过程中，要多进行课例研究，不断的完善自己。4、对于同一堂课，每位教师总有自己的设计方案，正所谓“仁者见仁，智者见智”。作为我们青年教师而言，平时一定要多思考，多研究，反复推敲，正如课例分析一样，这样才能使自己的教学素养和思维品质在原有的基础上面不断的提高。附：详细教案课题：直线的方程直线的点方向式方程教学目标：1、理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程。2、学生分类讨论、数形结合等数学思想和探究能力的培养。 3、培养学生探究新事物的欲望，获得成功的体验，树立学好数学的信心。教学重点：直线的点方向式方程。教学难点：理解直线方程以及点方向式方程的推导。教学过程：师：在我们

14、以前所学的函数中，哪些函数的图象是直线？生：一次函数师：那么怎样才能够确定一条直线呢？生：两点能够确定一条直线！（板书：画平面直角坐标系、两点以及这两点所确定的直线）师：两点能够确定一条直线，假如拿掉一个点（板书：擦掉一个点），换一个怎样的条件，那么也能够确定一条直线呢？ 生：方向xLOy师：很好，那么今天我们主要研究一下当一条直线的方向和一个非零向量平行的情况！ 已知：直线过点，且与非零向量平行，求：直线上任意一点满足的关系式？ 同时我给出方向向量的定义！ 解：点为直线上任意一点，易得向量， 结合图形：师：直线上所有点的坐标是否都满足方程？ 生：是！ 师：那么，以方程的所有解为坐标的点是否都

15、在直线上？生：是！师：这样就建立了直线上所有点组成的集合与方程的解的集合之间的对应关系。我们把方程叫做直线的方程，把直线叫做方程的图形！师：接着我们来进一步的研究 ，当时，方程可化为什么形式？ 生： 利用图形解释：表示过，平行于轴的一条直线师： 时呢？生： 利用图形解释：表示过，平行于轴的一条直线师： 时呢？生： （积的形式转化为商的形式）师：我们把称为：直线的点方向式方程 思考：它能够表示所有的直线吗？形式的特点？需要哪些量？如果忘记了，怎么办？例题1：观察下列直线方程，并指出各直线必过的点和它的一个方向向量？ 解：经过点，它的一个方向向量是化简得到：，从中可见该直线经过点，一个方向向量是数形结合解题，并点名方向向量的特点！有无数个方向向量！小结：通过直线的点方向式方程，可以判断一条直线经过的一个点和它的方向向量。例题2：已知点和，求经过点且与平行的直线的点方向式方程？ （问：过点B与AC平行的直线） 解： ， M O N x三个方面讲解：点、方向、点方向式方程。 变式1：求经过点、C两点的直线的点方向式方程？解： ， 思考：有没有别的表达方式？是否一样呢 ？不妨化简，得到的都是：变式2：求 中，平行于边的中位线所在直线的点方向方程？解：的中点为，的中点为，则小结：这三类题目的特点与解法！