重要抽样法在模糊可靠性设计中的应用_图文

1、重要抽样法在模糊可靠性设计中的应用刘建峰，董玉革，高亮（合肥工业大学机械与汽车工程学院，中国，安徽，合肥，）摘要：本文讨论了在模糊可靠性设计中已知线性模糊强度和正态随机应力时，通过重要抽样法来计算零件可靠度的方法首先把模糊变量转化成当量随机变量，然后用遗传算法计算设计点最后通过建立重要抽样密度函数对（当量）随机变量重新抽样来计算零件的可靠度，并通过算例比较了重要抽样法和蒙特卡罗法的计算结果，验证了方法的可行性和效率，关键字：模糊变量；模糊可靠度；重要抽样法；遗传算法，、（，一）：，：；引言传统可靠性分析通常需知道强度和应力的分布，通过统计抽样确定强度与应力的分布又需要大量的实验数据，、而在实际

2、操作时往往没有条件做可靠性实验（无法进行或代价太大），这时难以进行传统的可靠性分析。而采用模糊可靠性设计方法，可以先从专家基金项目：国家自然科学基金项目）经验中提取关于强度或应力的信息，然后对这些信息进行适当处理，将其表示为强度或应力的隶属函数把强度或应力用模糊变量来描述，从而用模糊可靠性理论来进行可靠性分析【。模糊变量是在变量不能通过足够实验数据得到其概率分布的情况下用来描述不确定信息的，它可由专家经验中提取而来。采用隶属函数描述不确定信息的模糊变量与采用概率密度函数描述不确定信息的随机变量在形式上是不同的，但它们有可能是采用不同的方式从不同的角度对同一现象进行描述。因此，两种描述方法存在互

3、相转化的可能性。如果能把模糊变量变换为当量随机变量，就可用成熟的传统可靠性理论，如蒙特卡罗方法，来进行可靠性分析。模糊变量向当量随机变量的变换，根据文献【】，模糊变量的当量随机强度，的概率密度函数（工）的一般表达式为（）。豢功兰州式中石。模糊强度舅变换的当量随机强度。，（工）经变换的当量随机强度。的概率密度函数。”，（工），（）模糊强度舅的均值、左参照函数和右参照函数。五模糊集的阈值。将模糊变量的隶属函数变换为当量随机变量的当量概率密度函数后，模糊变量强度就可按随机变量处理，然后可用传统可靠性理论分析模糊可靠性。随机可靠性理论计算可靠度的方法很多，蒙特卡罗方法是一种比较精确的模拟抽样法，具有概

4、念明确，方法简单，不受极限方程非线性、随机变量非正态的限制等优点。但是，因蒙特卡罗法仅仅是对随机变量的分布进行简单直接的模拟，直接使用往往会导致很大的计算量，尤其当失效概率小时，要达到足够的精确度就需要惊人的计算量，这影响了蒙特卡罗法在工程中的实际应用。采用重要抽样法可使抽样次数大为减少。重要抽样法，基本概念重要抽样法是一种方差缩减技术，其基本思想是通过修改抽样过程，改变随机变量的抽样重心，使对失效概率贡献大的抽样出现的概率增加，抽取的样本点有更多的机会落入失效域内，使抽样点更有效。重要抽样法的基本概念是：（，）、（）（，），（）一（）一式中，失效概率。卜随机向量。（）新选的重要抽样密度函数。

5、，）原抽样密度函数。）卜一示性函数。啦器岛作为概率密度函数，（）应满足条件）沁嘲。若以（）对重新抽样，则，的模拟均值和方差分别为弓，专姜警（）咿而降删矧蟛重要抽样法应用的关键是如何选取重要抽样函数，即抽样函数的类型及其分布参数。目前关于重要抽样函数类型比较认同的是采用以维无关正态概率密度函数，此时需确定均值和方差。关于这两者的选取，文献】建议以设计点（最可几失效点）为采样中心，文献【】建议采用中心按以下方式确定（）（）【）另一种以增加有效抽样比例为目标确定采样中心的方法由下式表述【】仁姐慨曲，（）（，）一式中，失效区域。若有必要还可采用自适应的重要抽样法。最早提出，其迭代过程为【】（）拉（“】

6、），】（）、【（“】（），】重要抽样法与直接抽样法相比并无本质上的区别，只是改变了抽样的重心，即将抽样的重心转移到结构失效概率贡献较大的区域。若重要区域选的不合理，精度则难以保证。在方差选择上，通常可取原始方差的到倍作为重要抽样密度函数中相应随机变量的方差。设计点的计算设计点是极限状态曲面上最大可能失效概率的点。从几何意义上看，在标准正态坐标系中，从原点到极限状态曲面的最短距离为可靠度系数，而对应的极限状态曲面上的这一点，即为设计点。设计点一般可采用改进的一次二阶矩法，用迭代法进行求解。在一般情况下，迭代能够收敛，但在某种情况下，迭代不一定收敛，即不能保证在所有情况都能够收敛。此外，迭代过程中

7、需要解非线性方程，特别是当方程的非线性程度较高时，求解方程比较困难；当方程有多个解时，对结果的取舍也难以抉择。当遇上述诸多困难时，采用改进的一次二阶矩法是难以胜任的。因此，本文引入遗传算法来计算设计点。遗传算法（）是模拟生物遗传进化机制而发展起来的一种算法，简单通用，鲁棒性好，全局寻优，被认为是未来关键智能计算之一。遗传算法全局寻优，避免陷入局部优化。一般的优化算法通用性不强，计算量大，遗传算法可避免上述缺点。而且，遗传算法尤其适用于可靠性分析中极限状态方程比较复杂的情况。算法步骤本文所述的重要抽样法提高抽样效率的算法包括三个紧密相连的步骤。一是模糊变量向当量随机变量的变换，二是遗传算法计算设

8、计点，三是按新抽样过程进行抽样计算可靠度。以下文末的算例来简要说明算法步骤。简单起见，设极限状态函数为（，），服从（从，吒），概率密度函数为），的分布参数为（，巴），概率密度函数为，（，）。，模糊变量转换成当量随机变量变换式（）适用于任何模糊变量向其当量随机变量的变换。线性模糊强度的隶属函数（，）一，咒一以）一壶厂（）【，。根据（）可推得线性模糊强度的当量随机强度概率密度函数为一去仁与一口厶吲一筹乎【，当量均值为。：。华（）。午【）当量标准差为。，俜（）（）。遗传算法计算设计点遗传算法的设计涉及到编码、选择适应度函数、遗传算子（选择算子、交叉算子、变异算手）选择、群体设定（群体大小、交叉概率、

9、变异概率、终止条件）、约束处理等方面。本文限于篇幅，只能概述其步骤。（）个体编码（）采用二进制编码。二进制编码与实值的对应关系可由下面简单的线性关系求得。设二进制编码位数为，。，表示的十进制数的范围为【，】。若某二进制数直接一对应的十进制数为而。，则其对应的实际值为工地皆而（）此算例中，正态随机变量分布参数若为（从仃），则【，】可认为是【，】。（）父代群体初始化（）设群体规模为，随机变量，（其二迸制编码位数分别为和，）。首先，随机生成的二进制值。，再利用（，）解出，对应编码为，吃，；，再组合成个体，吃，此为编码过程。循环次即生成初始群体。（）选择操作（）设计点的计算涉及到最短距离，即目标函数的

10、最小值，而适应度函数是求最大值，且为非负值。这需要将目标函数的最小值问题转换成适应度函数的最大值问题并保证适应度函数值非负。经过分析和验证，可采用如下的适应度函数，即（，）一以）（一，）（）式中，为事先设定或动态调整的上临界值。动态调整时，可使总等于一以）（一所）的最大值。将第个个体解码为变量；和，求（，吒）。求出所有个体的（，）后，再对群体按个体的适应度（，）大小进行概率选各取。可采用轮盘赌策略例：计算各个体，（，）之和（，），再按顺序算出个体在（，巧）中所占累积，比例，即厂（墨，吒），（墨，），接着，随机生成【，】上的均匀分布值，则大于的最小。值对应的个体被选中保留。重复次，即可完成群体的

11、选择，一次均未选中的个体被淘汰。可将（，）值最大的个体直接保留到下代中。（）交叉操作（）群体中个体随机两两组合。设某两个随机组合的个体和，编码分别为，露和？；吃砰，按交叉概率。（随机产生【，】上的均匀数“，若不大于以，认为达到概率，需交叉重组）随机选取交叉点（，一）进行交叉重组，生成下代；。吃和；。，七（此处设神。（）变异操作（）个体按变异概率。随机选取变异点（塘，胛）进行变异，将西屯（此处设易刎中的而位翻转，变为，变为，变异可保证遗传算法全局寻优。，（演化迭代至群体最优（）重复步骤（）（），直至连续几代个体平均适应度的差异小于要求的极小偏差值或迭代次数达到某预定值时，认为群体最优，可作为最优

12、的设计参数解码为（，如）输出。，按新抽样过程抽样计算可靠度设计点求出之后，就可进行重要抽样模拟。若设计点为（纥，如），再取原随机变量的方差的三倍作为新随机变量的方差，则新抽样的随机变量服从（，吼）和（如，），密度函数分别为厶（）和（）。设，为失效发生时的累加变量并使其初值为。（），生成随机应力和当量随机强度的样本点列由于重要抽样法采用的新抽样密度函数为维无关正态概率密度函数，因此这里只需产生服从正态分布的随机点向量。根据文献【】，两个相互独立的标准正态分布（，）的随机变量，可按照如下过程产生设阢和巩是两个相互独立的（，）均匀分布随机变量，则、（），（）；和是两个相互独立的标准正态分布（，）随机

13、变量，进而可得到任意两个相互独立的正态分布（以，吒）和，）的随机数：从吒一（），仃一啦“（）一多个无关正态随机数可按上述方法产（）第七饮抽样得到的随机数记为，毋，代入极限状态函数（，）计算，若（，谚），计算季燃，并将结果力到上，第。七厶（）厶（）。；抽样结束；若（，）直接进行下次抽束。计算失效概率为弓峰（，亍竺。；。【，。抽司幼罴静艇一川二曝萃“瑚【以。效概率，每次试验的抽样次数为，和 ，时，每次试验估计的失效概率分别如 础上，采用重要抽样法（，），次试 验估计的失效概率如表。 表 一一 表和表。 ；一 ，的个估计值（重要抽样法，） 表 ，的个估计值（蒙特卡罗法，） 【） 一 （） （） 从上

14、述各表中可看出，采用重要抽样法 在抽样次数为，时，就可以保证每次试 验总有抽样点在失效区域，而蒙特卡罗法在 抽样次数为，次时却不能保证做到这一 点。比较表和表知，重要抽样法在抽样 次数，次时的估计值比蒙特卡罗法在抽 表 的个估计值（蒙特卡罗法，） 样次数，次的估计值更好，分散性更 小。因此，用重要抽样法进行模糊可靠性分 析可以大大地减小计算量，明显地提高计算 效率。 结论 本文针对机械模糊可靠性分析中蒙特卡 从表可看出，蒙特卡罗法在抽样次数 为，次时，多次试验得到的失效概率为 罗抽样法在机械零件失效概率较小时计算效 率低的问题，引入了遗传算法和重要抽样法， 通过改变抽样重心，使对失效概率贡献大

15、的 样本出现的概率增加，从而提高抽样效率。 本文的方法具有一般性。通过遗传算法 计算设计点，概念明确，操作简单，适应性 强。重要抽样法由于采用的重要抽样密度函 数服从正态分布，因此比蒙特卡罗法更适合 。也就是说失效概率比较小，抽样点不易抽 在失效区域。当模拟次数达到，时， 每次试验总可以保证有抽样点在失效区域。 采用遗传算法，当取， ，。，鲫时，经计 算得到的设计点为（，）。在此基 模糊可靠性分析。 【】陈伦军等机械优化设计遗传算法川北京： 机械工业出版社， 本文的算例表明，重要抽样法在适当的 重新抽样情况下，可显著地提高抽样效率： 【】【杨纶标，高英仪模糊数学原理及应用叫】广 州：华南理工大学出版社， 【】吕震宙，冯元生重要抽样法在工程可靠性分析 问题中的应用【刀机械强度，（） 【 埘 而遗传算法对于设计点的计算又有较大优 势。因此，本文引入的方法在机械模糊可靠 性设计中具有一定的现实意义，为解决复杂 情况下的模糊可靠性提供了有效的途径。 ，（）， 参考文献 【】董玉革机械模糊可靠性设计眦】北京：机械 工业出版社， 【】董玉革，倪峥，王纯贤离散模糊时模糊可靠性 分析新方法叨北京：中国机械工程，（）： 作者简介； 刘建峰，男，年月生，湖北崇阳人，合肥工 业大学机械与汽车工程学院机械设计及理论专业， 硕士研究生。 联系