两个平面垂直的判定定理

1、(1) 两个平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直(2) 两个平面垂直的性质定理如果两个平面垂直,则在一个平面内垂直交线的直线,垂直于另一平面ABCDABCD练习: 如图长方体的长，宽分别为长方体的长，宽分别为3和和4,(1) 求证：求证： 面面ABCD 面面BBDD证明： BB 面ABCDBB 面 BBDD故 面ABCD 面BBDD（2）求异面直线）求异面直线AA和和BD的距离的距离提示:过A作BD的垂线AH,则AH即是H问题：分别在AA和BD取一点E和F，如何求EF的长EF例例2： 如图如图abAAEFE,F分别分别a,b为上的点为上的点,AE=m,AF=

2、n,求求EF的长的长已知已知a,b为异面直线为异面直线,a,b所成的角为所成的角为 , AA为公垂线为公垂线,解：a,b所成的角为AA cAA bAA 平面 P在Rt EFG中:FGEGEF222在 三角形AFG 中FAGAFG2222 AF AGCOS( )设经过b与a平行的平面为P，经过a与AA的平面为Qa/cb,c所成的角为EG平面 PEG FGPQabAAEF连FG在平面Q内作EG cG且 P Q=cc平面Q 平面 P)(22222FCOSGAAFAGAEGEF代入数值：)cos(2222mnEFdnm如果E,F分布在AA的两侧: )cos(2222mnEFdnmFPQAEGAacb)

3、cos(2222mnEFnmd+=（2） 如果没有指明两点位置，则需分两种情况来讨论（3）此公式还可以用来求两异面直线间距离和所成的角（1） 如果指明两点分布在公垂线的同侧或异侧则正负号 只取其一所成的角是 ，60练习练习：设两条电线所在的直线是异面直线，它们的距离是1，这两条电线上各有一点，距离公垂线的垂足都是10，求这两点的距离结果： 两点分布在公垂线的同侧101两点分布在公垂线的异侧301FPQAEGAacb如何说明：两条异面直线的距离两条异面直线的距离，是分别在两条异面直线是分别在两条异面直线上的两点的距离中最小的上的两点的距离中最小的EFG 为 RtEF为斜边EFEGEG=AAEFA

4、A例例3: 3: 如图在二面角为如图在二面角为6060的棱上有两个点的棱上有两个点A,B,AC,BDA,B,AC,BD分别为在分别为在这个二面角这个二面角 的两个面内垂直于的两个面内垂直于ABAB的直线的直线; ;已知已知 AB=4,AC=6,BD=8, AB=4,AC=6,BD=8, 求求CDCD的长的长二面角为60BD AB解： AC ABAC,BD所成的角为60AB为 AC，BD的公垂线由公式代入数值即可算 出CD的长CD=217想一想：从此题能得到什么结论：当两异面直线分别在二面角的两个半平面，它们的公垂线在二面角的棱上时，公式中的 是二面角的平面角ACDB例4， 如图：长为2的线段AB夹在两个相交的平面之间；ACL,BDLAC=1 BD=1 求二面角A-CD-B的平面角的余弦值CABPQDLCD=1 结果: -0.5ABCDE例5:如图:三角形ABC是边长为4的正三角形E为AB的中点,D为BC的中点ADBCE把三角形ABC沿AD折成60的二面角B-AD-C求CE的长提示:作EF AD于F,CE可看成异面直线EF和CD上的两点间距离FCE=6ABCD把长，宽各为4，3的长方形ABCD沿对角线折成直二面角，求顶点B和D的距离A