数理金融初步

1、解：设第一次取岀 A的事件为A1，第二次取岀不同花色A的事件为A2,则p(A1A2)=P(A1)p(A2/A1)因为 p(A1)=4/52=1/13p(A2/A1)=3/52-13=3/39=1/13, 所以 p(A1A2)=1/1697若A,B独立，证明下列事件也独立：a)A和BAcb)AAc和BAc证明：a)因为 p ( B) +p(BAc)=1,p(B/A)+P(BAc/A)=1, 所以 p(BAcA)=p(A)xp(BAc/A)=p(A)1-p(B/A)=p(A)-p(A)p(B)=p(A)1-p(B)=p(A)p(BAc), 所以 A 和 BAc 独立b) p(AAc)p(BAc)=

2、p(BAc)p(AAc/BAc)=p(BAc)1-p(A/BAc)=p(BAc)-p(BAc)p(A/BAc)=p(BAc)-p(AAcBAc) =p(BAc)-p(A)P(BAc)=p(BAc)1-p(A)=p(BAc)p(AAc),所以 AAc 和 BAc 独立。9四辆公共汽车载着152位学生从同一学校岀发去足球场。四辆车分别载乘39,33,46,34位学生。如果从152位学生中任意选取一位，记X为被选中的学生所乘坐的汽车里的学生数。四辆公共汽车的司机也随机选取一位，令 Y为那位司机驾驶的汽车里的乘坐学生人数。a)你认为E (X )和E (Y)哪一个大？b)求岀E(X)和E(Y)解：a)E

3、(X)大。b)由题意知 X 可取 39,33,46,34。Y 可取 39,33,46,34。所以 X=39,p(x)=39/152, x=33,p(x)=33/152,x=46,p(x)=46/152,x=34,p(x)=34/152,同理 p(Y=39)=1/4P(Y=33)=1/4, P(Y=46)=1/4,P(Y=34)=1/4,所以 E (X ) =39x39/152+33x33/152+46x46/152+34x34/152=5882/152=38.697E(Y)=39x1/4+33x1/4+46x1/4+34x1/4=3810两位选手比赛兵兵球，当一个选手赢了两局时比赛结束。设每位

4、选手赢每一局概率相等，且每一局的结 果都是独立的。求比赛总局数的期望值和方差。解：设 x 为比赛的总局数，贝Ux 可取 2,3，贝U p(x=2)=1/2x1/2x2=1/2, p(x=)=1/2x1/2+1/2x1/2=1/2E(X)=2x1/2+3x1/2=5/2, xA2=4,9 , p(xA2=4)=1/2,p(xA2=9)=1/2,E(xA2)=4x1/2+9x1/2=13/2 所以 var(x)=E(xA2)-E(x)A2=13/2-(5/2)人2=1/4.11.证明 Var(X)二 EX2 _(EX)2证明：Var(X) =E(X -EX)2 二 EX 2 -2XEX (EX)2

5、 = EX 2-2(EX)2 (EX)2 = EX 2-(EX)212 一位律师要决定收取固定费用5000美元，还是收取胜诉酬金25000美元(输掉则一无所获)。他估计打赢的概率为0.3,求他收取的费用的均值和方差，如果a)收取固定费用b)收取胜诉酬金费用。x)A2=0,所以 s=0.b)由题意知 x=0,25000,则 p(x=0)=1-0.3=0.7, p(x=25000)=0.3,E(x)=0.7x0+S=根号下 var(x)=11456.43914 .证明： Cov(x, y) =Exy -ExEy证明：Cov(x, y) = E(x - E(x)(y - E(y)二 Exy -xE(

6、y) - yE(x) E(x)E(y)18设任意给定的时间内，某股票价格只能等概率的增加1或减少1,且不同时期股票变化是独立的。记X为股票在第一时间段内增加1或减少1的数量，丫为前三段时间内累计上升的数量，求X,Y相关性。解：E (X) =0, E(XA2)=1,var(x)=E(XA2)-E(X)A2=1E(Y)=0,E(YA2)=3,var(y)=E(YA2)-E(Y)A2=3Cov(X,Y) 1、3门E(XY)=1,Cov(X,Y)=E(X,Y)-E(X)E(Y)=1,： (X,Y).0所以 X,Y 呈(Var(x)Var(y)V33正相关。(2章)4设x为正态随机变量，均值为 u，方差

7、为&A2,y=a+bx,如果y和x服从相同的分布，求a和b的值(a不等于0)，并求岀 Cov(x,y).解：因为 E(X)=u,var(x)=&A2,y=a+bx,所以E(Y)=a+bu,var(y)=bA2uA2,又因为x和y服从相同的分布，所以 a+bu=u, &A2=bA2&人2,因为 a 不等于 0，所以 b=-1,a=2u,即 y=2u-x,Cov(x,y)=cov(x,a+bx)=cov(x,a)+bCov(x,x)= -&人2.5成年男子的血液收缩压服从均值为127.7，标准差为19.2的正态分布，求：a)68%的成年男子血液收缩压的取值范围。b)95%的成年男子血液收缩压的取值

8、范围。c)99.9%成年男子血液收缩压的取值范围。解：a)设陈年男子血液收缩压为X, E为对应的正态随机变量，即E= (X-127 ) /19.2u=127.7,&=19.2,所以 |&|=19=0.682,所以-1=(E-127.7)/19.2=1,即 108.5=E,所以取值范围为 108.5,146.9b)由表可得 p|E|=2=0.9544,即-2=(E-127.7)/19.2=2,89.3=E=166.1, 所以取值范围89.3,166.1C) p|E|=3=0.9974,即-3=(E-127.7)/19.2=3,解得 70.1=E=185.3,所以取值范围70.1,185.3.第4

9、章1若10%的名义利率分别为：a)半年计息一次的复利b)每季度计息一次的复利c)连续复利其对应的有效利率分别是多少？解：a)reff=(1+r/2)A2-1=10.25%b)reff=(1+r/4)A4-1=10.38%c)eA-1=10.522将钱存入银行，银行支付的名义利率为10%。如果利率是连续复利利率，多久存入的钱是原来的两倍？解：peArt=2p eA10%t=2t=6.93 需要7年才能变为原来的两倍3如果利率为5%,每年计息一次，那么大约要多少年才能使你的钱变为原来的4倍？如果利率变为 4%又要多少年？解：p(1+r)An=4p 当 r=5%时，(1+0.05)an=4,n=28

10、.41。当然 r=4%， (1+0.04)an=4,n=35.354如果利率为年复利利率r,请给岀一个公式，用它来估计多少年使你的钱变为原来的3倍。解：由 lim p(1+r/n)Ant=peArtpeArt=3p,eArt=3 t=lin3/r5假设年名义利率固定在6%，每月计息一次。在未来60个月中，每月需要投资多少钱，才能在60个月后得到100000美元？解：p(1+r/12)+(1+r/12)A2+ + (1+/12)人60=100000pX1+r/121-(1+r/12)A60/1-(1+r/12)=100000pX1.005(1-1.35)/-0.05=100000p=100000

11、/70.37=1421.46,所以每月需要投资1421.46 美元。6 一个投资的年现金流：-1000，-1200,800,900,800.年利率为6%。对于一个既可以借款也可以存款的的人， 这是否是一个值得的投资？解：现值=-1000+-1200心+60%)+800心+60%)人2+900/(1+60%)人3+800心+60%)人4 =-1000+(-1132.08)+712+755.66+633.67=-30.756000, r=5% 时，10000eA-rt=10000eA-5%x10=6065.36000, r=10% 时，10000eA-rt=10000eA-10%x10=3678.

12、8600023考虑下面两个现金流，其中每一个现金流都是在i年后得到第i次支付：100,140,131,和90,160，120如果不知道利率，能够说岀哪一个现金流更可取？解：设利率为 r,贝U 100/(1+r)+140/(1+r)A2+131/(1+r)A3-90/(1+r)+160/(1+r)A2+120/(1+r)A3=11/(1+r)A3 -20/(1+r)A2+10/(1+r), 令 t=1/(1+r),0t1,则原式=t(11tA2-20t+10)=f(t),=400-4x11x100即第一种更可取。24 a) 个初始成本为100的投资，两年后收益 110，求该投资的年收益率。b)个

13、初始成本为100的投资，两年后或收益120，或收益100,且两种结果是等可能的，求年收益率的期望值。解 a)100(1+r)A2=110,则 r=0.05b)100(1+r1)A2=120,r1=0.095,100(1+r2)A2=100,r2=0,E(r)=1/2r1+1/2r2=0.0526 一个初始成本为100的投资，第一年末回报40,第二年末回报 70,求该投资的收益率，如果第一年末回报70,第二年末回报 40,收益率又是多少？解：设第一种投资的收益率为r1,第二种投资的收益率为r2,则40/(1+r1)+70/(1+r1)A2=100,r1=0.06=6%70/(1+r2)+40/(

14、1+r2)A2=100,r2=0.75=75%.28 一个初始成本为100的投资，在第i个周期末收到的回报为Xi (i=1,2),其中X1, X2是相互独立的正态随机变量，均值为 60,方差为25。该投资回报率大于10%的概率是多少？解：E ( X1+X2) =120 , Var(X1+X2)=50,P(X1+X2110)=P(E(110-120)/5 )=p(x1+x2-10/5)=1-o(-10/5 )=0.9207,概率是 0.9207.5.5令C是一个看涨期权的价格，这个期权可以在t时刻以价格K买入一个证券，S是这个证券现在的价格，r是利率。请写岀一个包含C、S和Ke *的不等式，并给

15、岀证明。证明：s-evKe*，在0时刻购买一个证券，同时买入一个看涨期权，这个初始的投入s-c,是从银行存款，并将在t时刻偿还。在t时刻时，S(t)K,看涨期权将被执行，K- (S-C0,所以S-CK时，看跌期权毫无价值，则以K的价格卖岀证券，当S(t) K,则执行看跌期权，则(P+S) KeK所以PKe Is5.10请使用一价律证明看跌 -看涨期权平价公式。证明：构造两个投资组合，(1) 0时刻买入一份股票及一个看跌期权，成本S+Po ( 2) 0时刻买入一份看涨期权并加上金额为 Ke，现金成本C+Ke在时刻t,假定股票价格为S( t),当S( t)K,对投资(1)来说价值S (t),投资(

16、2)价值以Ke1 *ert =K买入一份股票，价值为S (t)，当S( t) K,看涨期权将被执行，k -(s-c)0，所以S-CK时，看跌期权毫无价值，则以K的价格卖岀证券，当S( t)K,所以PKe-S。t期权到期日，在t时刻里，S(P+S) Kert-S,其中P+S,Ke，那么以下的投资策略总可以得到正的收益:并买入一个看涨期权。证明：如果S+P-OKe，那么我们通过在卖岀一股股票，卖岀一个看跌期权,0时刻购买一份股票，同时买入一个看涨期权，并卖岀一个看跌期权，这个初始的投入S+P-C在t时刻卖岀如果 S(t)=k，那么卖岀的看跌期权无价值，则执行看涨期权，迫使以K卖岀，由于SK2_rt

17、。6.7假设在每一个时间段内，一个证券的价值或者上涨为原来的两倍或者下跌为原来的二分之一(即J = 2,d =1/2)。如果该证券的初始价格为100，求一个看涨期权的无套利价格这个期权允许持有者在两个时间段结束时以每股150的价格购买股票。1 + rd 1 +2r解：设每一个时间段名义利率均为r ，X1 = 1的概率，p(i = 1,2)，2c=(1宀宀心50二晋屮2250(1 2r)2 -9(1 r)2所以，一个看涨期权的无套利价格为250(1 2r)290(1 r)27.2某证券价格服从参数=0.12 =0.24几何布朗运动，如果当前价格40，则对于一个还有四个月才到期，执行价k =42的看涨期权，它被执行的概率有多大?解：由题意知s(t)C 22莎是一个均值参数为(一才，方差参数为7勺对数正态随机变量，ws(t) =0)ew-N(ut,；t) =N(0.12t,(0.24)2t) =N(0.04,0.0192)，ps(t)k = pS(o)ewk=pew a上 =pw Aln 上 =