数列求与7种方法(方法全_例子多)13773

1、1、2、3、5、一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法n(a1 an)“ n(n -1)na1d2等差数列求和公式:等比数列求和公式:SnSnn(n 1)2nSn 八 k3k 4= y(1 -qn)1 2 灯n+1)例1已知log3 x解：由log3 x1 -qa1 a n q1 -q(q = 1)4、 & 八 k2 二1 n(n 1)(2n 1)6-，求x x2 x的前n项和.log2 3-1=logs x = -log3 2 =log 2 3由等比数列求和公式得Sn = xx2x3(利用常用公式)例 2设 Sn= 1+2+3+ +n , n

2、N，求 f(n)解:由等差数列求和公式得Sn题1.等比数列Snf(n) ,n 32)Sn 1x(1 xn)1 -xSn1 12(1-班)_ 1 丄J _-歹2(n 32)Sn 1的最大值.1= -(n 1)( n 2)2(利用常用公式)2n 34n 641 1 . 1=冬n 3464(、n -8 )25050nIn 8、n ，即 n= 8 时，f (n) v8max150丄；的前n项和S n = 2n - 1,贝y - V '+ag -1)«* (2n -1) _- 3w" +解：原式=.L二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方

3、法主要用于求数列an bn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.例 3求和：& =1 3x 5x2 7x3（2n -1）xnJ 的通项之积解：由题可知，（2n- 1）xnJ的通项是等差数列2n 1的通项与等比数列xn_1设 xSn =1x 3x2 5x3 7x4 宀：(2nn-1)x（设制错位）得(x)Sn =1 2x 2x2 2x32x42xnJ -(2n - 1)xn（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：（1 -x）Snn1 _ xh 2x(2n - 1)xn1 - x(1 - x)2c (2n -1)xn (2n 1)xn (1 x)Sn 口2 46例4求

4、数列一，2，亍厂2 22 23Q n 乍的通项是等差数列2n的通项与等比数列222 23解：由题可知,丄的通项之积2设Sn2Sn自2n二2门12 2 亠232n2 n 1一亠.22 23 24122一得（1 一 ）Sn =22222=2吩_n Jl-1练习题1 已知，求数列 anS 二於2心二答案：r2422n2n2n 1（设制错位）（错位相减）的前n项和Sn.加2九2"+11 3 52-1 ' ' '' 练习题2 J J "-'的前n项和为S* = 3 一攀答案：I三、反序相加法求和，再把它与原这是推导等差数列的前n项和公式时所用的

5、方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)数列相加，就可以得到 n个(a1 an).例 5求证：C0 3C： 5C；(2n 1)C：二(n 1)2n证明：设 Sn =C0 3C； 5C2 - (2n 1)C： 把式右边倒转过来得(反序)Sn =(2 n 1)C： (2 n-1)C：3C： C；又由C；=C；可得Sn -(2n 1)C0 (2n-1)C：3C：-c； .(反序相加)+得 2S； =(2n+2)(C0 +C；十+C：+c；n) =2(n+1) 2；S； =(n 1) 2n例 6求 sin 1 sin 2 sinsin 88 sin 89 的值2Q2Q202。2。解：设 S =sin 1

6、 +sin2+sin3 + +sin88+sin89 将式右边反序得(反序)2 02。 2 0 202 0S = sin 89 sin 8s i n 3 s i n 2 s i n 1 .2 2(反序相加)又因为 sinx=cos(90 x),sin x cos x= 1+得n On On -Qn -QnOnO2S 二(sin 1 cos 1 ) (sin 2 cos 2 )- (sin 89 cos 89 ) = 89S= 44.5题1 已知函数(1)证明：I(2)110丿+/ 77 +/2? io丿的值.解：（i）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边【9(5 +/+ /二二/

7、+/而而，、帀UoJ<10;（2）利用第（1 ）小题已经证明的结论可知,/ Q X则 2 +/11U丿两式相加得:£二？所以 练习、求值:1(?17+*四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可1 1 1例7求数列的前n项和：11,4,-y 7,；u 3n -2 ,a aa1 1 1解：设 Sn = (11)(4)( 27)爲3n - 2)aaa将其每一项拆开再重新组合得1 1三j) (14 7 -嚣 3n _ 2)a± (3n 1)n(3n +1)n二 n=2 21

8、-丄an +(3n T)n a_a+ (3n_1)n1 _12 a-12a例8求数列n(n+1)(2n+1)的前n项和.1Sn = (1-a当a= 1时,（分组）Sn解：设 ak 二 k(k 1)(2k 1)二 2k 3k k（分组求和）（分组）（分组求和）这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如:(1)an=f (n 1)-f(n)(2)sin1cosn cos(n 1)-=tan(n 1) -tann(3)ann(n 1)(4)(2n)2n _(21)(2n 1)2 2n 1

9、2n 1(5)ann(n -1)(n 2)1_ 2n(n 1) (n 1)(n 2)(7)(8)例9anan求数列n(n 1)2n2(n1) -nn(n 1)2nn -2n4(n 1)2n，则 &=1 -1(n 1)2n(An B)(A n C) C -B( A n B AnC)111223，-，的前n n 1n项和.32Sn 八 k(k 1)(2k 1)八(2k 3k k)k 4k 4将其每一项拆开再重新组合得nnnSn= 2k3 3、 k2、kk 4k Ak 4=2(13 23 亠亠 n3) 3(12 22 亠亠 n2) (1 2 亠亠 n)2 2n (n 1) n(n 1)(2n

10、 1) n(n 1)2 2 2 n(n 1)2( n 2)2五、裂项法求和（裂项）解：设an（裂项求和）1 1 1贝V Sn = += 十，+ _1 + J2丘七 V3 亦 + Jn +1=(.2 - .1) ( .3 -、2) n 1 - n)=.、n 1 -1例 10在数列an中,an1 2+n 1n +n，又bna n an 1解:，求数列bn的前n项的和.an bnSnn 11 1 -8(- )n n 1（裂项）数列b n的前n项和1 11 1 1 1 1 皿（1一2）（厂3）（3蔦）（裂项求和）8n=8(1例 11求证:+cos0 cos1 cos1 cos 2解:设S -cos0

11、cos1 cos1 cos 2cos12cos88 cos89 sin 1cos88 cos89sin1tan(n 1) - tanncos n cos(n 1)（裂项）1 1 1 S1一一(裂项求和)cos0 cos1 cos1 cos 2cos88 cos891 = (tan 1 -ta nO ) (ta n2 - tan1 ) (tan3 - tan2 ) tan 89 - ta n88 sin 111cos1= (tan 89 -tanO ) = cot1 =2sin 1sin 1sin 1 原等式成立1 1 1练习题 1.4 + 4x7+-2)心+ 1)+ +练习题 2。，： r &

12、quot;/:=答案:六、分段求和法(合并法求和)针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这 些项放在一起先求和，然后再求Sn.例 12 求 cos1° + cos2° + cos3° + + cos178° + cos179° 的值.解：设 Sn= cosl° + cos2° + cos3° + + cos178° + cos179° cosn 二-cos(180 - n )(找特殊性质项) Sn= (cosl ° + cos179 &#

13、176; ) + ( cos2° + cos178 ° ) + ( cos3° + cos177 °) + + (cos89° + cos91 °) + cos90°(合并求和)=0例 13数列an: a = 1,a2 =3, a3 = 2,an 2 二 a* 1 - a* ,求 S2002.解：设 S2002= a*i ' a2a' a2002由 ai - 1, a2 - 3, a3 = 2, an 2 an d _ an 可得a = -1, a5 = -3, a = -2,a7 1, a8 = 3a9 =

14、 2,a6k 1 - 1,a6k2 - 3,a6k3 - 2,4 =1,a6k 5 -_3,6 =2a6k 1 a6k 2 a6k 3 ' Osk .4 ' a6k 5a6k0(找特殊性质项)-S2002 = a1a2a3 丁 -a2002(合并求和)=佝 a?a?as)7a$%)6k 1ask2asks)+ (a1993 * Q994 +，'a1998)+ a1999 + a2000 * a2001 * a2002=a1999a2000a2001 a2002=a6k 1a6k 2a6k 3°6k 4=5解：设 Sn nlogsd Iog3a2 亠Tog3a1

15、0由等比数列的性质m n二p q= aman二apaq(找特殊性质项)和对数的运算性质loga M loga N = log a M N 得Sn=(log3ailog3aio)(log3a2log?a?)-(logs a§log3 a6)(合并求和)=(logs ai aio) (logs a2 a?) - (logsas a6)=log3 9 log39 亠Tog3 9=io练习、求和:练习题i 设巳- U+-匚二*则r =练习题 2 .若 Sn = i-2+3-4+ +(-i) n-i n，则 Si7 + S33 + s 50 等于 ()A.iB.-iC.0D .2为奇)4为偶)

16、解：对前n项和要分奇偶分别解决，即：Sn= L 2答案：A练习题 3i002-992+982-972+22-i2 的值是A.5000B.5050C.i0i00D.20200解：并项求和，每两项合并，原式=(i00+99)+(98+97)+ +(2+i)=5050.答案：B七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来 求数列的前n项和，是一个重要的方法1 1解：由于 11119999（10k -1）一；个厂9 一；个厂 9 111111X11n个 1111 1=(101 -1) (102 -1)(103 -1) (10n -1)（

17、找通项及特征）（分组求和）9999=9(10110210_初丄(1 11)9n个110(10n -1) n1019181(10n 1 _10_9 n)例16已知数列an: an8(n 1)(n3)OC,求a (n 1)(an -an 1)的值.n a解：（n 畑宀旳 1）（Tq-（T（找通项及特征）（设制分组）1 ) 8( 1 n 4n 3 n4）（裂项）1 ' (n 1)(an - an=4、(n 壬n T n 2丄)8丄-丄)n 4 n# n 3 n 4（分组、裂项求和）1=4 (3_ 13 3-) 844提高练习：1.已知数列Qn 中，Sn是其前n项和，并且设数列 bn 二 an, -2an（n =1,2,Sn 1 二 4an 2(n = 1,2,1 II), a1 = 1 ,求证：数列"bn是等比数列；