数列易错题带答案

1、（i）n 420081 若数列、的通项公式分别是an =（-1厂2007 £ , bn =2 ，且nan ： bn ,对任意n N "恒成立，则常数a的取值范围是（）AJ-2,1B. 一2, :： C. I-2,11 D. -：,12已知等差数列an的前n项和是Sn二-丄n2 -空n，则使a -2006成立的最小2 2正整数n为（）A.2009B.2010C.2011D.20123 .在数列 an / 中,a1 =14,3an =3a n"+1 * 2，则使a n a n 42匚0成立的n值是（）A.21B.22C.23D.244 .已知等比数列an满足an 0

2、, n =1,2,山，且a5an$=22n（ n _3），且当n_1时，log2a1 log2 a J| log2 a2n j =（）2 2 2A.n（2n1）B.（n 1）C.nD.（n-1）5.已知 an?为等差数列，a1 + a3 + a5=105, a2 a4 a6 =99，以 Sn表示 的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是A. 21 B . 20 C . 19 D . 186 .已知数列 a f的通项公式是 an - -n2 12n- 32 ,其前n项和是Sn,则对任意的n a m （其中m, n N *）, Sn - Sm的最大值是7 .设等差数列：an 1的前n项和为Sn，若S

3、9 = 72 ,则a? *4*9 =。1 S48.设等比数列an的公比q ，前n项和为Sn，则 一 =.2 a4:；旦1,当an为偶数时，卄9 .已知数列 满足：a= m（ m为正整数），a. 1 =二2右a6= 1 ,Qan十1,当a*为奇数时。则m所有可能的取值为 。10.如果能将一张厚度为 0.05mm的报纸对拆，再对拆.对拆50次后，报纸的厚度是多少？你相信这时 报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥吗？（已知地球与月球的距离约为 4 108米）11 已知(X+厶)n的展开式中前三项的系数成等差数列.2仮(1) 求n的值；(2) 求展开式中系数最大的项.12.已知数列 an的前n项和S

4、n=n2 2n ,(1)求数列的通项公式 an ；1(2)设 20 二 an -1 ,且二+b|b2b2b3 b3b4111-，求bnbn 1213.设数列an的前n项和为Sn = 2n bn为等比数列，且a b1,b2(aa1 b.(1)求数列an和bn的通项公式;a(2)设Cnn，求数列cn的前n项和Tn。bn14.数列9n九勺各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n N*，总有an,Sn,an2成等差数列.(1)求数列a '的通项公式;(2)设数列"bn 的前n项和为Tn，且bn =ln n x一2-，求证：对任意实数1,el ( e是an常数,e = 2 . 718

5、28)和任意正整数 n ,总有Tn:： 2 ；(3)正数数列中，an卅=(Cn(门乏N*).求数列：cn ?中的最大项。115.数列、an f 前 n 项和 Sn且 a1 = 1,an 彳 sn ° (1)求 a：,3a3, a4的值及数列的通项公式。16.等差数列的首项a1 0 ,前n项和Sn，当I m时，Sm=s。问n为何值时Sn最大?17.数列an中，&1 = 1 ， a? = 2，数列an an 1是公比为q(q 0)的等比数列。(i)求使an an 1 ' an 1an 2- an -2an -3成立的q的取值范围；(u)求数列an的前2n项的和S2n .1

6、 , ,18.求Sn11+21+2+31 +2 + 3 十+n19 .设无穷等差数列an的前n项和为Sn.32(i)若首项a ，公差d =1，求满足Sk2 =(Sk)的正整数k ；2k(n )求所有的无穷等差数列an，使得对于一切正整数k都有Sk2 =(Sk)2成立20 已知数集A dap, |已？仁 印：a2 ： H|an, n_2具有性质P ；对任意的aji, j 1乞i乞j乞n , a3与-两数中至少有一个属于A.ai(I)分别判断数集 1,3,4?与11,2,3,6?是否具有性质P，并说明理由;(n)证明：a, nal ' al ' ana ；a1- 1 ,且ji_j

7、- a n ；ai+a2+川 +an(川)证明：当n =5时，a1,a2,a3,a4,as成等比数列.参考答案1. A【解析】【错解分析】此题容易错在不知道讨论奇偶性，以及n是偶数时，要从2开始。1【正解】当n是奇数时，由an ： bn得a ： 2，a .1 ；n1当 n 是偶数时，由 an ： bn 得-a : 2， -a_2,a_-2，n因此常数a的取值范围是1-2, 1 .2. B【解析】【错解分析】此题容易错选为A, C, D,错误原因主要是不能准确的根据等差数列求和公式的性质求出d = -1且a2。【正解】设数列.的公差是d，则【解析】由a5 a2n5 =22n( n亠3)得: Bn

8、血葺!)d呻2 g£n一一 n-08nd 1 口 dasa1 7d且a -2 2 2 2 2d - -1 且 a<)= 2 ,an =2 (n 1) =3 n c 2006 n a2009因此使an ”2006成立的最小正整数 n=2010，选B.3. A【解析】【错解分析】此题容易错选为B,错误原因是没有理解该数列为等差数列。2 244 2n【正解】由已知得 an 1 -an 一 ,an =14 (n-1)(-一)= , a.an3 3344 - 2n 40 - 2n=<0, (n - 20)( n - 22) ： 0,20 ： n ： 22，因此 n =21，选 A.

9、3 34. C93 b，解得:a1 = 2,q = 2 ,a5a1j再由 an 0得：4as a 2 I 為=2 .【解析】由a1 + a3 + as =105 得 3a3 =105,即 a 35，由a2 a4 a6=99 得 3a4 = 99 即所以an= 2 ,log2 a2n 1 = 2n -1,log2a1'log2a3 IIIlog2 a2nn2an - 0a4 =33 ,. d -2 , an = a4 (n -4) (-2) = 41 - 2n，由得 n = 20 ,选 B&十V06. 10【解析】【错解分析】此题容易错选认为求最大项。【正解】由an二-n212n

10、-32=一(n-4)(n-8). 0 得 4 ： n ： 8 ,即在数列!an /中，前三项以及从第9项起后的各项均为负且a4 =a8 =0，因此Sn -Sm的最大值是 a5 a6 a7 = 3 4 3=107. 24【解析】；0是等差数列，由S9 =72,得.S9 =9a5, a8,'r 82+84+89=(82+89)+84= 5 + a§) + 84 = 3a5 = 248. 15【解析】1-q4(1 _q),84 pq3,.§384q3(1-q)=159. 4 532【解析】(1 )若 a1当m仍为偶数时,1 -q二m为偶数,ma8-为偶,故a2m83 二号

11、二m_ 224mm故=1 ：m = 32_3232代当m为奇数时,3a4 = 3a3 1 m 1- ag 二433m 1 m 1故1得m=44 4(2)右a1 = m为奇数，则a2 = 3a1 1 3m 1为偶数，故83必为偶数23m+1 十,3m+1彳十曰匕a6，所以=1可得m=516 1610.可建一座桥【解析】【错解分析】 对拆50次后,报纸的厚度应理解一等比数列的第 n项，易误理解为是比等比数列的前 n项和。米为首项，公比为2的等比数列。从而对拆 50次后纸的厚度是此等比数列的第51项，利用等比数列的通项公式易得851=0.05 x10x2°=5.63 X彳0而地球和月球间的

12、距离为 4 X 1衽5.63 X Yb故可建一座桥。9 T3 =7xT4 =7x°【正解】对拆一次厚度增加为原来的一倍，设每次对拆厚度构成数列 an,则数列an是以3=0.05汇10311. (1) 8【解析】【错解分析】此题容易错在：审题不清楚，误用前三项的二项式系数成等差。 0 1 2 1 1 2【正解】(1)由题设，得 Cn盲 Cn =2 - Cn ,即n -9n *8=0，解得n= 8, n = 1 (舍 去).(2)设第r + 1的系数最大，则21 Cr丄r t C8 .2 -,丄亠即；一2(r T)解得r 丄2r 912 或 r= 3.所以系数最大的项为 T3 =7x5

13、,T49=7x2 .12. ( 1 ) an 二2"1小 N*(2) Tn-1 -n 1【解析】n=1的验证。an 二 Sn - Sn=2n 1【错解分析】(1)在求通项公式时容易漏掉对 (2)在裂项相消求数列的和时，务必细心。【正解】解：(1)vSn=n2+2n 当n_2时, 当 n=1 时，ai=S=3, a. =2x1 +1 =3 ,满足上式.故 an =2n 1,n N *11(2) 2bn=an 1, bn(an-1)(2n 1-1)= n221 1 1 1 bnbn in(n 1) n n 1b?b3dbq1bnbn 111111=十一一r 122334-1 一丄n 1n

14、 n n +113. (1) an =4n -21(2) Tn =-(6n -5)4n5【解析】【错解分析】()求数列an的通项公式时，容易遗忘对n=1情况的检验。(2)错位相减法虽然是一种常见方法，但同时也是容易出错的地方，一定要仔细。【正解】解：(1)当n =1时,印=S = 2;当 n _2时,an =Sn _Sn=2n2 _2(n _ 1)2 =4n _2,故an的通项公式为an =4n-2,即an是a2,公差d=4的等差数列1设bn的通项公式为q,则Rqd = b1, d = 4, q .4故bn石2治即的通项公式为b“舟(2)an4乎=(2 n_1)4n,4Tn12n- - cn

15、= 1 3 45 4 川'川(2n1)4 ,-1 4 3 42 5(2n-3)4nJ (2n- 1)4n=CiC2两式相减得:13Tn -2(41 42 43 亠亠4n1) (2n -1)4n (6n -5)4n 5=9【(6n -5)4n 5.914. (1) an 二 n . ( n N )【解析】(2)见解析(3) C2 山【错解分析】(1)对2Sn二an2 an的转化，要借助于 an与Sn的关系。(2 )放缩法是此题的难点。【正解】解：(1)由已知:对于2 n N ,总有 2Sn =an - an成立(n-得2an =an2 anan 4 u-a n an an,an 4均为正

16、数，an -anj =1(n > 2)数列a 是公差为1的等差数列又n=1时,(2)证明:对任意实数Xi1,e 1和任意正整数n,总有bnlnn x厂w an1+<1n.丄.丄.11 22 3n -1 n丄n -1.2-2n n2/(3)解：由已知a2 = G =2= c - 2 ,a3a5二 5=3= C2=c45 =5= c4二 3 3,玄4 二 C3 4 C3 二 4 4 二.2, =5 5易得G ；： C2 ,C2- C3猜想n > 2时，Cnl是递减数列令f x =,则X】.护xX - Inxx2x.当乂_3时，1 nx 1,贝U1-Inx：O，即f x : 0.

17、在3,亠-内f x为单调递减函数.由 an 1 - Cnn 1 知 In cnIn n 1n 1 n > 2 时,In Cn 是递减数列即:Cn ?是递减数列.又C|:C2,数列Bn ?中的最大项为115. a2=,庆=,a4 =391627n 一2【解析】【错解分析】此题在应用Sn与an的关系时误认为 a.-Sn对于任意n值都成立，忽略了对 n=1的情况的验证。易得岀数列为等比数列的错误结论。【正解】易求得a?11an 1 -a-s-Snj33二项开始为等比数列故an1宁31 ,=3 an n 一 2 得 an 11 n =11 4 r3 3二彳彳二严。由 a1=1,an*=£

18、;sn 得9273n-2n -2an1乩n _ 2 故31 、 故该数列从第316.故若I m为偶数，当当I m为奇数时，当n =n = m时，Sn最大。2I m 二 1时Sn最大2【解析】【错解分析】 等差数列的前n项和是关于n的二次函数，可将问题转化为求解关于n的二次函数的最大值，但易忘记此二次函数的定义域为正整数集这个限制条件。n(n T ) d 2【正解】由题意知Sn= f n =dn22 2-1 a d n此函数是以n为变量的二次x =- m时f x取得最大值，但由于 n N ，故若I m为偶数，当n = ! m时，Sn最大。2 2当I亠m为奇数时，当 n = 1m_1时sn最大。2

19、1 + >/517. (I) 0 ： q(u) S2n =3n2【解析】【错解分析】 对于等比数列的前n项和易忽略公比q=1的特殊情况，造成概念性错误。再者学生没有从 定义出发研究条件数列an an 1是公比为q( q0)的等比数列得到数列奇数项和偶数项成等比数 列而找不到解题突破口。使思维受阻。2an 2an 3 二 anan iq【正解】解：(I)丁数列an an彳是公比为q的等比数列，二an dan = anan dq，由anan 1' an Ian 2- an:：；2an：；3得2”丄2anan 1 anan 2 anan N = 1 7 7即 q ： 0( q 0 )，

20、解得0 : q :1.52(II )由数列an -an 1是公比为q的等比数列,得 an 1an 2ananHt=q二出an二q，这表明数列an的q，又 a 1， a 2，:当 q = 1 时,18.所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是S2n =a1 a2 a3a' a?./a?n= (a1 ' a2 a - an) - (a? *4 *6a?n)_ 印(1 -qn) a2(1 -qn)3(1 -qn)-?1-q1-q1-q当q =1时，S2n = a1a2 ' a3 a J H ' a2n，a2n= (a1 a2 ' a' -

21、 an) - (a： *4 *6 a：.)=(11 1 1)(2222) =3n .2nn 1【解析】n(n 1)【错解分析】本题解答时一方面若不从通项入手分析各项的特点就很难找到解题突破口，其次在裂项抵 消中间项的过程中，对消去哪些项剩余哪些项规律不清而导致解题失误。【正解】由等差数列的前n项和公式得1 2n =21 - 1 1=2(-)，-取1, 2，3，就分别得到丄 12 3 侶7 n n(n 1) n n 11' 12'123111111二 Sn =2(-) 2(-) 2(-2(22 33 41 2n=2(1 )= n+1n+1(n)见解析19. ( i) k = 4【

22、解析】以及运用数学知识分析和解决问题的能力.学生在解第(n)【错解分析】本小题主要考查数列的基本知识，时极易根据条件“对于一切正整数k都有S 2k2= (Sk)2成立”这句话将k取两个特殊值确定出等差数列的3【正解】解：(I )当a-,d2由 Sk2 =(Sk)2,得-k4 +k2首项和公差，但没有认识到求解岀的等差数列仅是对已知条件成立的必要条件，但不是条件成立的充分条 件。还应进一步的由特殊到一般。n(n -1)3 n(n -1)1 2=1 时 Sn 二 natd nn nn 1 2 2 2 2=(k2 k)2，即 k3(k -1) =0 又 k = 0,所以k = 4.24(II )设数

23、列a-的公差为d，则在Sn2 =(Sn)2中分别取k=1,2,得2S1 = (SJ§4=(S2)2C = a1 ,即 4 32 124a1d = (2a1d)2 2由(1 )得 印=0或6=1.当a, =0时，代入(2)得d =0或d=6,-H-*若 at = 0, d = 0,则 an =0,Sn = 0,从而 Sk =(SQ2 成立，若 a1 =0,d =6,则 an =6( n -1),由 S3 =18,(S3)2 = 324,& =216 知(S3 )2,故所数列不符合题意.当a- “时，代入得4,6d=(2，d)2,解得d=0或d=2若 at =1,d =0,贝Van =1,Sn = n,从而 Sk =(Sk)2成立；若 a- =d,d =2,则 a. =2 n,Sn 3 亠 一 (2 n -1) = n2