第二讲直线与平面平行、两个平面平行

1、第二讲直线与平面平行、两个平面平行知识梳理1直线与平面的位置关系有且只有三种，即直线与平面平行、直线与平面相交、直线在平面内2直线与平面平行的判定：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行3直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么这条直线与交线平行4两个平面平行的判定定理：如果一个平面的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行5两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面都与第三个平面相交，那么交线平行点击双基1设有平面a、3和直线m、n,则m/ a的一个充分条件是A. a 丄 3 且 m丄 3aA 3 =n

2、且 m / n C.m / n 且 n / aD. a / 3 且 m 3答案：D2（2004年北京，3 ）设m、n是两条不同的直线，a、3、丫是三个不同的平面.给出下列四个命题，其中正确命 题的序号是若 ml a , n / a ,贝U m± n 若 a / 3 , 3 / Y , m 丄 a，贝U m± 丫 若 m/ a , n / a ,贝U m / n 若 a 丄 Y, 3 丄 Y, Ua3ABCD解析：显然正确中m与n可能相交或异面考虑长方体的顶点，a与3可以相交答案：A3.条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是A异面B相交C平

3、行D不能确定解析：设 a A 3 =l, a / a , a / 3 ,过直线a作与a、3都相交的平面Y ,记 a Ay =b, 3 A Y =c,贝U a / b 且 a / c,/ b / c.又 b a , a A 3 =l ,. b /I. a / l.答案：C怂a4.'（文）设平面 a /平面3 , A、Ca, B、D 3,直线 AB与CD交于点S,且AS=8, BS=9, CD=34,当S 在a、3之间时，SC=，当 S不在a、3之间时，SC=.解析： AC / BD , SACs SBD, SC=16， SC=272.答案：16272（理）设D是线段BC上的点，BC/平面

4、a ,从平面a外一定点A （ A与BC分居平面两侧）作 AB、AD、AC分别交平面 a 于 E、F、G 三点，BC=a, AD=b, DF = c,贝U EG=.解析：解法类同于上题答案：abac b5.在四面体 ABCD中，M、N分别是面厶ACD、 BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是ABO ND解析：连结AM并延长，交CD于E,连结BN并延长交CD于F，由重心性质可知，E、F重合为一点，且该点为 CCD的中点E,由M = EN =丄得MN / AB,MA NB 2因此，MN /平面 ABC且MN /平面 ABD.答案：平面 ABC、平面 ABD1. （2005年春季北京，3）下列

5、命题中，正确的是A. 经过不同的三点有且只有一个平面B. 分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C. 垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D. 垂直于同一个平面的两个平面平行2设a、b是两条互不垂直的异面直线，过 / B ,a丄B 其中可能的情况有A.1种B.2种解析：都有可能，不可能，否则有答案：C答案：Ca、b分别作平面a、B，对于下面四种情况： b / a ,b丄a ,aC.3种D.4种b丄a与已知矛盾.3. a、B是两个不重合的平面，a、b是两条不同直线，在下列条件下，可判定 a / 3的是A. a、3都平行于直线 a、bB. a内有三个不共线点到 3的距离相等C. a、b是a内两条

6、直线，且 a / 3 , b / 3D. a、b是两条异面直线且 a / a , b / a , a / 3 , b / 3解析：A错，若a / b,则不能断定a / 3 ；B错，若A、B、C三点不在3的同一侧，则不能断定 a / 3 ；C错，若a/ b，则不能断定a / 3 ； D正确.答案：D4. a、b、c为三条不重合的直线，a、3、丫为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题:a /cb /c= a / b;a /b /:-/ ca / c= a / : ;a II yp / 沪a 11其中正确的命题是 .（将正确的序号都填上）答案：典例剖析【例1】 如下图，两个全等的正方形

7、ABCD和ABEF所在平面相交于 AB, M AC , N FB且AM=FN，求证: MN / 平面 BCE.加NJTq e证法一：过M作MP丄BC, NQ丄BE, P、Q为垂足（如上图），连结PQ.C/ MP / AB, NQ / AB,. MP / NQ.又NQ诗BN*CM = MP , MPQN是平行四边形.2 MN / PQ, PQ 二平面 BCE.而MN匚平面BCE, MN / 平面 BCE.证法二：过M作MG / BC,交AB于点G （如下图），连结NG./ MG / BC, BC 二平面 BCE,MG 二平面 BCE , MG /平面 BCE.BG CM乂=:GA MA_ BN=

8、 ，NF GN / AF / BE，同样可证明 GN/平面BCE.又面 MG n NG = G,平面 MNG /平面 BCE.又 MN 二平面 MNG. MN /平面 BCE.特别提示证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行【例2】 如下图，正方体 ABCD AiBiCiDi中，侧面对角线 AB“ BCi上分别有两点E、F，且BiE=CiF.求证：EF /平面 ABCD.DiCi证法一：分别过 E、F作EM丄AB于点M，FN丄BC于点N，连结M B/ BBi丄平面-B

9、Bi 丄 AB， EM / BBi，又 BiE=CiF，ABCD，BB1± BC.FN / BBi. EM / FN. EM = FN.故四边形MNFE是平行四边形. EF / MN.又MN在平面ABCD中， EF /平面 ABCD.证法二：过E作EG / AB交BBi于点G，连结GF，则旦三=更Bi A Bi BBiE=CiF，BiA=CiB，Ci fbi gCi BBi BCMN. FG / BiCi / BC.又 EG n FG = G，ABn BC=B，平面 EFG /平面 ABCD.而EF在平面 EFG中， EF /平面 ABCD.评述：证明线面平行的常用方法是：证明直线平

10、行于平面内的一条直线；证明直线所在的平面与已知平面平行.【例3】 已知正四棱锥 P ABCD的底面边长及侧棱长均为 13，M、N分别是PA、BD上的点，且PM : MA = BN :ND=5 : 8.PD ON(1) 求证：直线MN /平面PBC;(2) 求直线MN与平面ABCD所成的角（1）证明： P ABCD是正四棱锥， ABCD是正方形连结AN并延长交BC于点E,连结PE. / AD / BC,. EN : AN=BN : ND.又 BN : ND = PM : MA, EN : AN=PM : MA. MN / PE.又 PE在平面 PBC内， MN /平面 PBC.（2）解：由（1

11、）知MN / PE, MN与平面ABCD所成的角就是 PE与平面ABCD所成的角 设点P在底面ABCD上的射影为0,连结0E,则/ PEO为PE与平面ABCD所成的角由正棱锥的性质知 P0= PB2 -OB2 = 13-2.2由（1）知，BE : AD=BN : ND=5 : 8, BE= 65865在厶 PEB 中，/ PBE=60 ° , PB=13, BE= ,8根据余弦定理，得 PE=9!.8在 Rt POE 中，PO=13-2 , PE= ?!,2 sin/ PEO= °=PE 7故MN与平面ABCD所成的角为.4近 arcs in78思考讨论证线面平行，一般是转

12、化为证线线平行.求直线与平面所成的角一般用构造法，作出线与面所成的角.本题若直接求MN与平面ABCD所成的角，计算困难，而平移转化为PE与平面ABCD所成的角则计算容易可见平移是求线线角、线面角的重要方法闯关训练夯实基础1两条直线a、b满足a/ b, b二a ,贝U a与平面a的关系是A. a / aB.a与a相交C.a与a不相交D. a二a答案：C2. a、b是两条异面直线，A是不在a、b上的点，则下列结论成立的是A.过A有且只有一个平面平行于 a、bB.过A至少有一个平面平行于 a、bC.过A有无数个平面平行于 a、bD.过A且平行a、b的平面可能不存在解析：过点 A可作直线a'/

13、 a, b'/ b,则 a'n b' =A. a'、b'可确定一个平面，记为 a .如果 a - a , b 二 a ,贝y a/ a , b / a .由于平面a可能过直线a、b之一，因此，过 A且平行于a、b的平面可能不存在.答案：D3. （2004年全国I, 16）已知a、b为不垂直的异面直线，a是一个平面，则 a、b在a上的射影有可能是两条平行直线；两条互相垂直的直线；同一条直线；一条直线及其外一点在上面结论中，正确结论的编号是 .（写出所有正确结论的编号）解析：A1D与BC1在平面ABCD上的射影互相平行；AB1与BC1在平面ABCD上的射影互

14、相垂直；DD1与BC1在平面ABCD上的射影是一条直线及其外一点.DG答案：DCB4.已知Rt ABC的直角顶点C在平面a内，斜边AB/ a , AB=2、6 , AC、BC分别和平面a成45°和30°角,则AB到平面a的距离为解析：分别过A、B向平面a引垂线AA '、BB',垂足分别为设 AA ' =BB ' =x,则 AC2=（侖）S2 /X .22BC = () =4x .sin 30°又 AC2+BC2=AB2, 6x2= ( 2、. 6 ) 2, x=2.答案：25如下图，四棱锥PABCD的底面是边长为 a的正方形，侧棱P

15、A丄底面ABCD，侧面PBC内有BE丄PC于E,且BE=a,试在 AB上找一点 F，使EF /平面FAD. 3PAe'F解：在面PCD内作EG丄PD于G,连结AG./ PA丄平面 ABCD , CD 丄 AD, CD 丄 PD. CD / EG.又 AB / CD , EG / AB.若有 EF / 平面 PAD，贝U EF / AG,四边形AFEG为平行四边形，得 EG=AF.AFCE= : a2 -( 36a)2EGPE“3a2.3 PBC 为直角三角形，2BC =CE CP 二 CP= . 3 a ,AB CDPC故得 AF : FB=2 : 1 时，EF /平面 PAD.6.如

16、下图，设P为长方形ABCD所在平面外一点,/平面PBC.M、N分别为AB、PD上的点，且_=型，求证：直线MNMB NP分析：要证直线 MN /平面PBC，只需证明 MN /平面 PBC内的一条直线或 MN所在的某个平面/平面 PBC. MB证法-二过N作NR/ DC交PC 于点R,连结RB,依题意得DC - NR = DN = AM = NRNP MBAB - MBMBDC mb =NR=MB.v NR / DC / AB,.四边形 MNRB 是平行四边形. MN / RB.又 v RB二平面 PBC，/MB证法二：过N作NQ / AD交FA于点Q,连结 QM, v AMMBDNNPAQQP

17、, QM / FB.又 NQ/ AD / BC,.平面直线MN /平面PBC.MQN /平面 PBC.直线 MN /平面 PBC.证法三：过N作NR / DC交PC于点R,连结RB,依题意有BMPN咫, NR=MB , BR= BM + MN + AB PD DCNR=MN . MN / RB.又v RB 二平面 PBC，直线MN /平面PBC.培养能力7已知I是过正方体 ABCD AiBiCiDi的顶点的平面(2)若AB=a，求I与Di间的距离.ABiDi与下底面ABCD所在平面的交线，(i)求证：DiBi/ I ；Cl(1)证明:v DiBi / BD , DiBi / 平面 ABCD.又

18、平面 ABCD门平面ADiBi=I, DiBi / I.(2)解：v DiD丄平面 ABCD ,在平面ABCD内，由D作DG丄I于G,连结DiG,/ I / DiBi / BD，/ DAG =45 ° .BIDiAiwDGIBiCi则DiG丄l , DiG的长即等于点 Di与I间的距离 DG = a,2 +DiD2 =自2 *2.6a.2探究创新1 _8如下图，在正四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，AAi= AB，点E、M分别为AiB、CiC的中点，过点 Ai、B、M三点2的平面AiBMN交CiDi于点N.DNEA / i3(1) 求证：EM /平面 AiBiCiDi；(2) 求

19、二面角BAiNBi的正切值;设截面AiBMN把该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为 证明：设AiBi的中点为F，连结EF、T E 为 AiB 的中点， EF= BiB.2(3)(i)FCi.Vi、V2 (V1< V2),求 V:V2的值.又 CiM】BiB, EFMCi.2四边形EMCiF为平行四边形. EM / FCi.t EM 二平面 AiBiCiDi,FC i 平面 AiBiCiDi , EM /平面 AiBiCiDi.(2)解：作BiH丄AiN于H，连结BH. BBi 丄平面 AiBiCiDi,： BH 丄 AiN./ BHBi为二面角B AiN Bi的平面角 EM /平面 A

20、iBiCiDi, EM ：_ 平面 AiBMN , EM / AiN.DNzA Hd F B1Eab平面AiBMN门平面AiBiCiDi=AiN,又 EM / FCi,： AiN / FCi.又T AiF / NCi,：四边形 AiFCiN是平行四边形. NCi=AiF.设 AAi=a，贝U AiBi=2a, DiN=a. 在 Rt AiDiN 中，AiN= Ai Di2、DiN2 = $5 a, sin/ AiNDi= ADlnANJ5在 Rt AiBiH 中,BiH=AiBiSin/ HAiBi=2a _L=二5. 5a.在 Rt BB1h 中,tan/ BHBi=b1h45a(3) 解：

21、延长 AiN与BiCi交于P,贝V P平面AiBMN，且P 平面BBiCiC. 又平面 AiBMN门平面 BBiCiC=BM , P BM,即直线 AiN、BiCi、BM 交于一点 P.又平面 MNCi/平面BAiBi,几何体MNCi BAiBi为棱台(没有以上这段证明，不扣分)/ S AiBBi = 222a a=a ,S ,Mnc1 =1 1 2a= a ,棱台 MNCi BAiBi 的咼为 BiCi=2a,7 / 13V1=1 2a (a2+ . a2 42+育)=7 a3, V2=2a 2a a-亠3=17 al3.44666Vi _ 7V2 17思悟小结1直线与平面的位置关系有三种：

22、直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，后者又统称为直线在平面外2辅助线（面）是解证线面平行的关键为了能利用线面平行的判定定理及性质定理，往往需要作辅助线（面）【例1】 设平面a /平面3 , AB、CD是两条异面直线， M、N分别是AB、CD的中点，且 A、Ca, B、D 3，求证：MN /平面a .剖析：因为 AB与CD是异面直线，故MNa、3中不易找到与 MN平行的直线，所以MN且试图通过证线线平行达到线面平行这一思路受阻，于是转而考虑通过证面面平行达到线面平行，即需找一个过与a平行的平面 根据M、N是异面直线上的中点这一特征，连结BC,则此时AB、BC共面，即BC为沟通AB、CD

23、的桥梁，再取BC的中点E，连结ME、NE,用中位线知识可证得证明：连结 BC、AD，取BC的中点E,连结 ME、NE,贝U ME是厶BAC的中位线，故 ME / AC, ME二a ,二ME/ a 同理可证，NE / BD.又a / 3，设CB与DC确定的平面 BCD与平面a交于直线CF,贝U CF / BD ,二NE / CF.而NE 二平面 a , CF 二 a , NE / a 又 ME ANE=E,.平面 MNE / a , 而 MN 平面 MNE , MN / 平面 a 【例2】 如下图，在空间六边形（即六个顶点没有任何五点共面）ABCCiDiAi中，每相邻的两边互相垂直，边长均等于a

24、，并且AAi / CCi.求证：平面 AiBCi /平面ACDi.Az!BCI11DiCi:Ai证法一：作正方形 BCCiBi和CCiDiD，并连结Ai Bi和AD/ AACC BB DDi，且 AAi± AB, AAi± AiDi, ABBiAi和AAiDiD都是正方形，且 ACCiAi是平行四边形故它们的对应边平行且相等ABC AiBiCi,： AiBi丄 Bq.同理，AD丄CD./ BBi± AB, BBi± BC , BBi±平面 ABC.同理，DDi丄平面ACD./ BBi/ DDi,： BBi 丄平面 ACD. A、B、C、D四点共

25、面 ABCD为正方形同理，AiBiCiDi也是正方形故ABCD AiBiCiDi是正方体易知 AiCi / AC,二 AiCi / 平面 ACDi.同理，BCi/平面ACDi,平面 AiBCi / 平面 ACD i.证法二：证 ABCD AiBiCiDi是正方体，同上连结BiD、BiDi，则BiDi是BiD在底面ABCD上的射影，由三垂线定理知 BiD丄AiCi,同理可证BiD丄BAi,二 BiD 丄平面 Ai BCi 同理可证，BiD丄平面ACDi,平面 AiBCi / 平面 ACDi.思考讨论证明面面平行的常用方法：利用面面平行的判定定理；证明两个平面垂直于同一条直线.【例3】 如下图，在

26、正方体 ABCD AiBiCiDi中，M、N、P分别是CQ、BiCi、GDi的中点，求证:(1) API MN ;(2) 平面 MNP /平面 AiBD.证明：(i)连结 BCi、BiC，则 BiC丄 BCi,DAD,/PCiNBiBCi是AP在面BBiCiC上的射影. AP丄BiC.又 BiC / MN , AP丄 MN.(2)连结BiDi,： P、N分别是DiCi、BiCi的中点, PN / B,D,.又 B,D, / BD, PN / BD.又PN不在平面 A,BD上， PN /平面 AiBD.同理，MN /平面 AiBD.又 PN A MN = N,平面PMN /平面A,BD.由于评述

27、：将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策略，关键在于选择或添加适当的平面或线 M、N、P都为中点，故添加 BiC、BCi作为联系的桥梁.夯实基础1. （ 2003年上海）在下列条件中，可判断平面a与B平行的是A. a、3都垂直于平面 丫B. a内存在不共线的三点到 3的距离相等C. l、m是a内两条直线，且I / 3 , m / 3D. l、m是两条异面直线，且 I / a , m / a , I / 3 , m / 3答案：D2. 设平面 a / 3 , A、C a , B、D 3 ,直线 AB 与 CD 交于 S,若 AS=i8, BS=9, CD=3 4,贝U CS= 解析

28、：如图（i）,由a / 3可知BD / AC,，即-9= SC 一34 , SC=68.SA SC i8 SCSuAA如图（2），由 a / 3 知 AC/ BD,CC（i）.SA SC SCi8 SC=，即=SB SD CD -SC 934 -SC， SC= 68答案：68或33.如图甲，在透明塑料制成的长方体ABCD AiBiCiDi容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个命题：FBC BDCD HGC甲乙 水的部分始终呈棱柱状； 水面四边形EFGH的面积不改变； 棱AiDi始终与水面 EFGH平行； 当容器倾斜如图乙时，EF BF是定值.

29、其中正确命题的序号是 .解析：对于命题，由于 BC固定，所以在倾斜的过程中，始终有AD / EH / FG / BC,且平面 AEFB / 平面 DHGC ,故水的部分始终呈棱柱状（四棱柱或三棱柱、五棱柱），且BC为棱柱的一条侧棱，命题正确.对于命题，当水是四棱柱或五棱柱时，水面面积与上下底面面积相等；当水是三棱柱时，则水面面积可能变大，也可能变小，故不正确是正确的（请给出证明）.是正确的，由水的体积的不变性可证得.综上所述，正确命题的序号是.答案：1. 两条直线a、b满足a/ b, b三a，贝U a与平面a的关系是A. a / aB.a与a相交C.a与a不相交答案：C2. a、b是两条异面直

30、线，A是不在a、b上的点，则下列结论成立的是 A.过A有且只有一个平面平行于C.过A有无数个平面平行于B.过A至少有一个平面平行于 D.过A且平行a、ba、b的平面可能不存在解析：过点A可作直线a'/ a, 则 a'n b' =A. a'、b'可确定一个平面，记为 如果a -由于平面 答案：D3. （2004b'/ b,a .b / a .a , b 二 a,贝 V a / a ,a可能过直线a、b之一，因此，过A且平行于a、b的平面可能不存在.年全国I, i6）已知a、b为不垂直的异面直线,a是一个平面，则a、b在a上的射影有可能是两条平行直线

31、；两条互相垂直的直线；同一条直线；一条直线及其外一点在上面结论中，正确结论的编号是 .（写出所有正确结论的编号）解析：AiD与BCi在平面ABCD上的射影互相平行； ABi与BCi在平面ABCD上的射影互相垂直；DDi与BCi在平面ABCD上的射影是一条直线及其外一点.C答案：BiCB4.已知Rt ABC的直角顶点 C在平面a内，斜边 AB/ a , AB=26 , AC、BC分别和平面a成45°和30°角,则AB到平面a的距离为解析：分别过 A、B向平面a弓I垂线AA '、BB'，垂足分别为 A'、B'设 AA ' =BB '

32、; =x,则 AC求证：平面AD1B1 /平面C1DB ； 求证：AQ丄平面AD1B1； 求平面AB1D1与平面BC1D之间的距离(1)证明： D1B1 / DB, D1B1 / 平面 C1DB.同理，AB/平面CQB.又 D1B1 n AB1=B1,平面AD1B1 /平面C1DB.(2)证明：I A1C1丄D1B1，而A1C1为A1C在平面A1B1C1D1上的射影， AQ1丄D1B1. 同理，AQ丄 AB1, D1B1 n AB1=B1.= ( x )2=2x2,sin 45°BC = () =4x .sin 30°又 AC2+BC2=AB2, 6x2= ( 2 .、6

33、) 2, x=2.答案：24如下图，两条线段 AB、CD所在的直线是异面直线，CD 平面a , AB/ a , M、N分别是AC、BD的中点，且AC是AB、CD的公垂线段(1)(2)(1)连结求证：MN / a ;若 AB=CD=a, AC=b, BD=c，求线段证明：过B作BB'丄a，垂足为B'NE、 CE,贝U NE / BB'且 NE=丄 BB'2aMN的长.，连结CB '、，又 AC=BB' MC二NE,即四边形 MCEN为平行四边形(矩形)B'EDDB '，设E为B' D的中点, MN / CE.又 CE 二 a , MN -a , MN