第九章直线平面简单几何体空间向量及其运算(精)

1、课 题：9 5空间向量及其运算（三）教学目的：1.了解空间向量基本定理及其推论；2理解空间向量的基底、 基向量的概念.理解空间任一向量可用空间不共面 的三个已知向量唯一线性表出 T3学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、变化的，会用 联系的观点看待事物.教学重点：向量的分解（空间向量基本定理及其推论）教学难点：空间作图.授课类型：新授课.课时安排：1课时.教 具：多媒体、实物投影仪 ”教学过程：一、复习引入：1.空间向量的概念： 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量.注：空间的一个平移就是一个向量*向量一般用有向线段表示+同向等长的有向线段表示同一或相等的向量+ 空间的两个向

2、量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2.空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下B = O-OB =b； O = aC R)T T T * *0B 二 OA AB 二 a b ；.C' B'运算律：加法交换律：a b = b a加法结合律：(a b) c = a (b c)数乘分配律： （a bb3平行六面体：平行四边形 ABCD平移向量a到a B CD '的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD- A BCD 它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱”4.平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做

3、 平行向量.由于任何一组平行向量都可 以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量.向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数入使b = xa.要注意其中对向量 a的非零要求.5 ”共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量.a平行于b记作a/b .当我们说向量a、b共线（或all b ）时，表示a、b的有向线段所在的6.共线向量定理：空间任意两个向量a、b （ b丰0 ）, a/ b的充要条件是直线可能是同一直线，也可能是平行直线.存在实数人使a = xb .推论：如果丨为经过已知点 A且平行于已知非零向量 任意一点O,点P在直线

4、丨上的充要条件是存在实数 t满足等式a的直线，那么对于OP =0A t a 其中向量a叫做直线l的方向向量.空间直线的向量参数表示式: I T - I OP =OA t a 或 OP=0A t(OB-OA(vt)OA tOB,1中点公式.OP (OA OB )27.向量与平面平行：_已知平面:和向量a，作OA=a，如果直线OA平行 于或在内，那么我们说向量a平行于平面 5通常我们把平行于同一平面的向量，叫做 说明：空间任意的两向量都是共面的 l8共面向量定理；线，记作：共面向量如果两个向量a,b不共 与向量a,b共面的充要条件是存在实数 x, y 使 xa yb +推论：空间一点P位于平面MA

5、B内的充分 必要条件是存在有序实数对x,y，使MP =xMA yMB或对空间任一点o,有OP =OM /MA yMB j或OP =xOA yOB zOM,（x y z=1）上面式叫做平面 MAB的向量表达式*二、讲解新课：1 +空间向量基本定理： 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量存在一个唯一的有序实数组x, y, z，使 xa yb zc +证明：（存在性）设a,b,C不共面,过点O作£OCWOP = p ；过点P作直线PP 平行于0C，交平面OAB于点P ；在平面OAB内，过点P 作直线P A /OB, PB /OA ,分别与直线OA,OB相交于点A,B ，于是，存在三个实C

6、'CIOpB'数 x, y, z，使 OA =xOA = xa, OB丄 yOByb , OC = zOC = z6,/ OP =OA OB OC =xOA yOB zOC所以 p = xa yb zc（唯一性）假设还存在 x , y, z使 xa yb zC- xa yb zc 二xa yb zc （xx ）a （yy ）b （zz）c 二 0y-y 4不妨设 x = x '即 x -x 0z z屮a = - . - b . c x -x x -x a,b,c共面此与已知矛盾该表达式唯一综上两方面，原命题成立由此定理，若三向量a,b,c不共面，则所有空间向量所组成的集

7、合是plpmhyb+zCxERyERzEF，这个集合可以看作由向量a,b,c生成的，所以我们把a,b,c叫做空间的一个 基底，a,b,c叫做基向量，可以知道，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底+推论：设O,代B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x,y,z，使O = xO yOB zOC 一三、讲解范例:例1已知空间四边形 OABC，其对角线OB, AC，M ,N分别是对边 OA，BC 的中点，点G在线段MN上，且MG =2GN，用基底向量 OA,OB,OC表示向量OG.解：OG =OM MG2 "=OM MN3才11JoA 2(ON -OM

8、)2312 11OA丄(OB OC) OA23 221 1 - -OA (OB OC)-23 OGOAOB63例2+如图，在平行六面体1OA OB OC61 ROA 二31 OC.3ABCD-ABCD 中，E,F,G 分别是A D :D D,D C 的中点，请选择恰当的基底向量证明:（1）EG / AC（2）平面EFG /平面ABCI I T证明：取基底：AA',AB,AD ,(1)-r 1 EG =ED ' D'G AD2(2)AC = AB AD =2EG , EG / ACAA' =2FGFG / AB ',由(1) EG / AC，平面 EFG / 平面 ABC,四、课堂练习：课本P32练习1-5 ”五、 小结：空间向量基本定理也成为空间向量分解定理，它与平面向量基本定理类似，区