江苏省2019届高考数学专题三解析几何3.1小题考法—解析几何中的基本问题讲义

1、专题三解析几何江苏卷5年考情分析小题考情分析大题考情分析常考点1 .直线与圆、圆与圆的位置关系（5年4考）2 .圆锥曲线的方程及几何性质（5年5考）主要考查直线与椭圆 （如2014年、2015 年、2017年、2018年）的位置关系、弦长问 题、面积问题等；有时也考查直线与圆（如2016年），常与向量结合在一起命题.偶考点直线的方程、圆的方程第一讲小题考法一一解析几何中的基本问题考点（一）直线、圆的方程主要考查圆的方程以及直线方程、圆的基本量的计算.题组练透1. 已知点P（3,2）与点Q1,4）关于直线l对称，则直线l的方程为.解析：由题意知直线l与直线PC直，所以ki=；=1.又直线l经过P

2、Q的中点（2,3）, kPQ所以直线l的方程为y3=x2,即x y+ 1 = 0.答案：x-y+ 1=02. （2018 南通一模）已知圆C过点（2 , J3）,且与直线x 5y+S：。相切于点（0 ,/3）, 则圆C的方程为.解析：设圆心为（a, b）,子孚1,则a 3a a-2 2+（b- m）2=a2+ b-V3 2,解得 a= 1, b=0, r = 2.即所求圆的方程为（x1）2+y2=4.答案：（x1）2+y2 = 43. （2018 南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）在平面直角坐标系 xOy中,，xW3,若动圆C上的点都在不等式组 x x-/3y + 3>0,表示

3、的平面区域内，则面积最大的圆x+/3y + 3>0C的标准方程为 .解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，面积最大的圆C即为可行域三角形的内切圆.由对称性可知，圆 C的圆心在x轴上， 设半径为r,则圆心 Q3 r, 0),且它与直线 x J3y+3=0相切，所以 |3J_3| = r,解得r = 2,所以面积最大的圆 C的标准方程为(x1)2+ V1T3y2 = 4.答案：(x1)2+y2 = 4方法技巧1.求直线方程的两种方法直接法选用恰当的直线方程的形式，由题设条件直接求出方程中系数，写出结果待定先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有待定系数，再由题系数法设条件

4、构建方程，求出待定系数2.圆的方程的两种求法几何法通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程代数法用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程考点(二)直线与圆、圆与圆的位置关系主要考查直线与圆、圆与圆的位置关系，以及根据直线与圆的位置关系求相关的最值与范围问题.典例感悟典例(1)(2018 无锡期末)过圆x2+y2= 16内一点P( 2,3)作两条相互垂直的弦 AB 和CD且AB= CD则四边形 ACBD勺面积为.(2)(2018 南通、泰州一调)在平面直角坐标系 xOy中，已知点A( 4,0) , B(0,4),从 直线AB上一点P向圆x2+

5、y2=4引两条切线PC PD切点分别为 C, D.设线段CD的中点为 M则线段AM长的最大值为.解析 设O到AB的距离为d1,0到CD的距离为d2,则由垂径定理可得 d2= r2 明 2,d2= r222，由于AB= CD 故 d= d2,且 d1= d2= 2O由所以2 =r2 d2=1613191、_1-=y,得 AB= 38,从而四边形 ACBD勺面积为 S= 2ABX CD= 2x38X>/38= 19.(2)法一：(几何法)因为直线AB的方程为y = x+4,所以可设Ra, a+4) , q。yi), D(x2, y2),所以PC的方程为xix+yiy=4, PD的方程为xzx

6、 + y2y=4,将 Ra, a+4)分别代 axi + a+4 yi = 4,入PC PD的方程，得，则直线CD的方程为ax+(a+4)y=4,即a(xax2 + a+ y2= 4,+ y) =4-4y,所以直线 CDi±定点 N1,1),又因为OML CD所以点M在以ON为直径白圆上(除去原点).又因为以 ON为直径的圆的方程为2)=1,所以AM勺最大值为、 尸研2)+乎5.法二：(参数法)因为直线AB的方程为y = x + 4,所以可设P(a, a+4),同法一可知直4 4y线CD的方程为ax+(a+4)y=4,即a(x+ y)=44y,得a=.又因为Q P, M三点共x十y4

7、x44y 4x1线，所以 ay(a+4) x= 0,得a=.因为a = -,=，所以点 M的轨迹万程为Ix+- Iy-xx+y y-xI 2,2+勺-2)= 2(除去原点)，所以AM的最大值为yj 1-4+2 2+ g) +-2 = 3/2.答案(1)19(2)3 2方法技巧解决关于直线与圆、圆与圆相关问题的策略(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻 找解题途径，减少运算量.(2)解决直线与圆相关的最值问题：一是利用几何性质，如两边之和大于第三边、斜边 大于直角边等来处理最值；二是建立函数或利用基本不等式求解.(3)对于直线与圆中的存在性问题，可以利用所

8、给几何条件和等式，得出动点轨迹，转 化为直线与圆、圆与圆的位置关系.演练冲关1 .已知圆 M (x1)2+(y1)2=4,直线l： x+y 6=0, A为直线l上一点，若圆 M 上存在两点B, C,使彳导/ BAC= 60° ,则点A的横坐标的取值范围是 .解析：由题意知，直线 l与圆M相离，所以点 A在圆M外.设AP, AQ分别与圆M相切 于点 P, Q 则/ PAOZ BAC= 60 ,从而/ MA金30 .因为 MQ= 2,所以 M/4.设 a(Xo,6 -Xo),则 MA= (Xo-1)2+(6-Xo- 1)2<16,解得 1wxoW5.答案：1,52 . (2018

9、苏北四市期末)在平面直角坐标系 xOy中，若圆G： x2 +(y 1) 2= r2(r >0)上 存在点P,且点P关于直线xy=0的对称点Q在圆G: (x 2)2+(y1)2=1上，则的取 值范围是.解析：设圆。上存在点P(x。，yo)满足题意，点P关于直线x y = 0的对称点Q(yo, xo),X0+ yo-l 2=r2,22222则y , ， x -I故只需圆 x+(y1) =与圆(x1) +(y2) =1有交点即可，所以 |r 1|w41 - 02+2-12 wr + 1,解得 <21w r w<2+1.答案：q21,也+13 .在平面直角坐标系 xOy中，已知点 R

10、3,0)在圆C: x2+ y2- 2mx-4y+n228=0内， 动直线AB过点P且交圆C于A B两点，若ABC勺面积的最大值为16,则实数m的取值范 围为.解析：圆C的标准方程为(xn)2+(y 2)2=32,圆心为Qm,2),半径为472,当4ABC 的面积的最大值为16时，/ACB= 90° ,此时C到AB的距离为4,所以4WC1 4/，即16w(m 3)2+(0 2)2<32,解得 2/w|m- 3| <27,即 m (3 -277, 3-2yJ3 U 3 +2/3, 3 + 2.答案：(3-27, 3-273 U 3+273, 3+2小)4 . (2018 南京

11、、盐城、连云港二模 )在平面直角坐标系 xOy中，已知A B为圆C: (x + 4)2+(ya)2=16上的两个动点，且 AB= 2411.若直线l： y= 2x上存在唯一的一个点 P, 使得"PA + "PB = -0C,则实数a的值为.解析：法一：设 AB的中点为 Mx% yo) , Rx, y),则由AB= 2/11,得CM=116-11 = 乖,即点M的轨迹为(*0+4)2+(丫0旬2=5.又因为下八十 而 ="00,所以 国=-0己，即(x0x, y。- y) = - 2,x0=x-2,a )!；从而f , a"y0=y + -,则动点P的轨迹

12、方程为(x+2)2+2 92 2=5,又因为直线l上存在唯一的一个点P,所以直线l和动点P的轨迹(圆)相切，则I 4 al2|厂 1221 2 -"J5,斛仔a = 2 或 a= - 18.法二：由题意，圆心 C到直线AB的距离d=16 11;乖, AB中点 M的轨迹方程为(x+4)2+(ya)2=5.由-PA + "PB = "OC, 2-PM="0C,所以"Pm/ "OC.如图，连结 cm并延长交i于点n, CN= 2CM= 2，5.故问题转化为直线l上存在唯一的一个点 N,使得CN=2®所以点C到直线l的距离为|2X

13、-4 -a|m2十 二=2 5,解得a= 2 或 a= 18.答案：2或18考点(三)圆锥曲线的方程及几何性质主要考查二种圆锥曲线的定义、方程及 几何性质，在小题中以考查椭圆和双曲线的 几何性质为主.题组练透1. (2018 南通、泰州一调)在平面直角坐标系 xOy中，已知F为抛物线y2=8x的焦点， 则点F到双曲线焉4=1的渐近线的距离为 .16933解析：抛物线的焦点F(2,0),双曲线的渐近线方程为y=±-x,不妨取y=4x,即3x-4y=0,所以焦点F到渐近线的距离为 j 2 |6| 2 = 6 3 +5答案：652. (2018 苏北四市期中)如图，在平面直角坐标系xOy中

14、，已知A,22一，一 x yB, R分别为椭圆C:孑+$=1(2>>0)的右、下、上顶点，F是椭圆C的 右焦点.若BaFXAB,则椭圆C的离心率是 .解析：由题意得，A(a,0) , B(0, b), B(0, b), F(c,0),所以豆F = (c, b),人百 =(a, -b),因为 B2F±AB,所以"BF 箱=0,即 b2=ac,所以 c2+ac-a2=0, e2+e 1 = 0,又椭圆的离心率 e (0,1),所以e= 巧1.答案：音x223. (2017 江苏局考)在平面直角坐标系 xOy中，双曲线万y=1的右准线与它的两条 渐近线分别交于点 P,

15、 Q,其焦点是Fi, F2,则四边形FiPFQ的面积是 .解析：由题意得，双曲线的右准线x= 2与两条渐近线y = ±W3x的交点坐标为3 + 322不妨设双曲线的左、右焦点分别为F1, F2,则 Fi(2,0) , F2(2,0),故四边形F1PF2Q的面积是1 _1-2产尸2|炉（1 = 2*4*淄=24.答案：2 32x4. (2018 常州期末)在平面直角坐标系 xOy中，设直线l： x+y+1=0与双曲线C：君-b2= 1( a>0, b>0)的两条渐近线都相交且交点都在y轴左侧，则双曲线 C的离心率e的取值范围是.解析：双曲线的渐近线分别为y= -x,y =-

16、 x,依题意有-一>一1,即b<a,e=- =、/ia aaa aa2+ b2= a2 <J2.又因为e>1,所以e的取值氾围是(1 ,小).答案：(1 ,而方法技巧应用圆锥曲线的性质的两个注意点(1)明确圆锥曲线中a, b, c, e各量之间的关系是求解问题的关键.(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c, a, b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围.必备知能自主补缺(一)主干知识要记牢1 .直线11： Ax+By+。= 0与直线12： Ax+By + Q= 0的位置关系

17、(1)平行？ AB2-A2B= 0且 BGB2CW0;(2)重合？ AB2-A2B= 0且 BGB2C=0;(3)相交？ AB2 ABW0;(4)垂直？ AA+BR= 0.2 .直线与圆相交(1)几何法由弦心距d、半径和弦长的一半构成直角三角形，计算弦长| AB=2Jr2d:(2)代数法设直线 y=kx + m与圆 x2 + y2+Dx+ Ey+ F=0 相交于点 M N M(xb y。，N(x2, y» ,将 直线方程代入圆方程中，消去 y得关于x的一元二次方程，求出 xi+X2和xi - x2,则| MN = 小 + k2 q X1+X2 2 4X1 X2.3 .判断两圆位置关系

18、时常用几何法即通过判断两圆心距离OO与两圆半径 R, r(R>r)的关系来判断两圆位置关系.外离：OQ>R+ r；(2)外切：OQ=R+ r;相交：R r<OQ<R+ r；(4)内切：OQ=R r；(5)内含：0w OQ<R- r.4 .椭圆、双曲线中，a, b, c之间的关系(1)在椭圆中:y=±bx.注意离心率e与渐近线的斜率a2=b2+c2,离心率为 e=a= 11 (aJ；(2)在双曲线中：c2=a2+b2,离心率为e = c= a22(3)双曲线X2-b2= 1(a>0, b>0)的渐近线方程为的关系.(二)二级结论要用好1 .过圆

19、O x2+y2=r2上一点P(x0,y(0的圆的切线方程是X0x+y0y = r2.2 .过圆C外一点P做圆C的切线，切点分别为 A B(求切线时要注意 斜率不存在的情况)如图所示，则(1) P, B, C, A四点共圆，且该圆的直径为PC(2)该四边形是有两个全等的直角三角形组成；cos/ BCA2-=sin/BPA r2 =PC(4)直线AB的方程可以转化为圆 C与以PC为直径的圆的公共弦，且Rx。，y。)时，直线AB的方程为 XQX + yoy=r2.3 .椭圆焦点三角形的 3个规律 22x y八，设椭圆万程是 孑+ g=1(a>b>0),焦点Fi( c, 0), F2(c,

20、 0),点P的坐标是(x。，y。).(1)三角形的三个边长是 PF=a+ex°, PF>=a-ex0, |FFW=2c, e为椭圆的离心率.(2)如果 PFF2中/ FPR= a ,则这个三角形的面积SJA PFF2=c|y°| = b2tan 彳、+sin/FPE(3)椭圆的离心率 e = . /匚匚. /匚匚口. sin / F1F2P+ sin / F2F1P4 .双曲线焦点三角形的 2个结论 22_x yRx°, y0)为双曲线了一 j=1(a>0, b>0)上的点， PFF2为焦点三角形.(1)面积公式S= c| yo| = «

21、;r ir 2sin0 =(其中 PF=ri, PE= r 2, / FiPF2= 0 ).20tan -2(2)焦半径若 P在右支上，PF=ex0+a, PF2=ex0 a；若 P在左支上，PFi= - exo - a, PF2= - exo + a.5.抛物线y2=2px(p>0)焦点弦AB的3个结论2-p(1) xa xb= 了；2(2) yA - yB= p ;(3) AB= xa+ xb+ p.(4) 达标训练A抓牢中档小题1 .若直线 1i： mx+ y+8 = 0 与 l2： 4x+ （ m- 5）y+ 2m= 0垂直，贝U m=.解析：; l i±12,4m+

22、（m-5）=0, m= 1.答案：12 .已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点 M0 ,乖）在圆C上，且圆心到直线 2xy =0的距离为坐，则圆C的方程为.5解析：因为圆 C的圆心在x轴的正半轴上，设 C（a, 0）,且a>0,所以圆心到直线 2x y= 0的距离 d=2=¥，解得a=2,所以圆C的半径 r = |CM =、22+ 幸 2=3,所以 圆C的方程为（x2）2 + y2=9.答案：（x2）2+y2 = 93. （2018 镇江期末）已知双曲线与一y2= 1的左焦点与抛物线 y2=- 12x的焦点重合， a则双曲线的右准线方程为 .解析：因为抛物线的焦点为（一3,0）,

23、即为双曲线的左焦点，所以a2=9-1=8,所以双曲线的右准线方程为 x= 8. 38答案：x =- 34. 已知直线l过点R1,2）且与圆C： x2+y2=2相交于A, B两点， ABC勺面积为1, 则直线l的方程为.解析：当直线斜率存在时，设直线的方程为y=k（x1）+2,即kx y k+2= 0.因为一 11&abc= 2CA CB- sin / ACB= 1,所以 xpxpxsin / ACB= 1,所以 sin Z ACB= 1,即/ACB= 90。，所以圆心 C到直线AB的距离为1,所以11二| =1,解得k=3,所以直线方；k + 14程为3x 4y+5=0;当直线斜率不存

24、在时，直线方程为 x=1,经检验符合题意.综上所述，直线l的方程为3x4y+5 = 0或x=1.答案：3*-4丫 + 5=0或*= 15. 已知椭圆C：会+（=1（a> b> 0）的左、右焦点为 F, F2,离心率为过F2的直线 l交C于A B两点.若 AFB的周长为443,则C的方程为 .解析：因为 AFB 的周长为 4y3,所以 |AF| +|AB+|BF| = | AF1| + | A向 + | BF| + | BE|= 4a=4百所以a=g又因为椭圆的离心率e= 5等，所以c=1, b2= a2-c2=3-1=2,22所以椭圆C的方程为"+y=1.3 222答案：

25、x- + y-=13 26. （2018 南京学情调研）在平面直角坐标系 xOy中，若圆（x 2） 2+（y2） 2= 1上存在点M使得点M关于x轴的对称点N在直线kx+y+3=。上，则实数k的最小值为 解析：圆（x2）2+（y2）2=1关于x轴的对称圆的方程为（x2）2+（y+2）2=1,由题 意得，圆心（2, 2）到直线kx+y+3=0的距离d=|2k2<1,解得3<k<0,所以实数k的最小值为一4.37. 已知以椭圆的右焦点 F2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M N,椭圆的左焦点为F1,且直线MF与此圆相切，则椭圆的离心率 e=2c= 3-1.解析：因为圆的半径

26、r = c,在RtF1F2M 中，| FE|= 2c,| F2M= c,|F1M=43c,所2c 以 2a= | F1M + | F2M = (3+ 1) c,离心率 e= 2a答案：4318. （2018 南京学情调研）在平面直角坐标系 xOy中，若直线ax+y2=0与圆心为C 的圆（x1）2+（ya） 2= 16相交于 A, B两点，且 ABC为直角三角形，则实数 a的值是解析：由题意知 ABC等腰直角三角形，且 AC= BC= 4, AB= 4y2,圆心C到直线ax+y 2=0的距离d = 声二一2v2 2 =2艰,.|at-a23| =20 解得 a=- 1.-a + 122X=1(a

27、>0, b>0)的渐近答案：19. (2018 扬州期末)在平面直角坐标系 xOy中，若双曲线线与圆x2+y2 6y+5=0没有交点，则双曲线离心率的取值范围是 .解析：由圆x2+y2-6y+5=0,得圆的标准方程为 x2+(y 3)2=4,所以圆心C(0,3),22半径r = 2.因为双曲线 ,一b2=1(a>0, b>0)的渐近线bx土ay=0与该圆没有公共点，则圆心到直线的距离应大于半径，即| bx0土 ax3|b2 + a2 c 3>2,即3a>2c,即e=-<-,又e>1,故双曲线离a 2心率的取值范围是1,2.答案:10.在平面直角坐

28、标系xOy中，已知圆 C: x2+(y 3)2=2,点A是x轴上的一个动点,AP AQ分别切圆C于P, Q两点，则线段 PQ长的取值范围是解析：设/ PCA= 0 ,所以 PQ= 242sin 。.又 cos 0 = AC，AOE 3,+ °°) ,所以 cos0 0,所以 cos2 0 |0, 9 1 sin0 =1 cos2。£ I9, 1 !,所以 sin 0 C所以PQE卜0, . 3答案：I*4, 2_ 311. (2018 南京、盐城、连云港二模)在平面直角坐标系 xOy中，已知双曲线2C： X2-专=1( b>0)的两条渐近线与圆O x2+y2

29、=2的四个交点依次为A, B, C,D.若矩形ABCD勺面积为b,则b的值为解析:由题意知，双曲线 C的渐近线方程为 y=± bx,如图所示,两条渐近线与圆 O的四个交点为 A, B, C, D.不妨设点B的坐标为(簿n=bm_22_一 22解得m=b1，而矩形ABCD勺面积为2nrK 2 n =2 4bx 2口，_4mn= 4bm= bq7y =b,解得 b= 7.答案：712.(2018 苏锡常镇调研)已知直线l：xy+2=0与x轴交于点A,点P在直线l上.圆C： (x 2)2+y2 = 2上有且仅有一个点 B满足ABL BP,则点P的横坐标的取值集合为 . 解析：法一：由 AB

30、± BP,得点B在以AP为直径的圆D上，所以圆D与圆C相切.由题意得A(2,0) , C(2,0),若圆D与圆C外切，则DC- DA=/；若圆D与圆C内切， 22则DA- DC=。2.所以圆心D在以A, C为焦点的双曲线 ;一)1上，即14x22y2=7.又点D22y=x + 2,在直线l上，由“2214x 2y = 7,2得 12x -8x- 15=0,.一 35 一斛付xD= 2或xD=-6.所以xP= 2xD一 一一、 1xa= 2xD)+ 2 = 5 或 xp=-.3法二：由题意可得 A( -2,0),设P(a, a+2),则 AP的中点 取a2N，%2AP=姆a+22，故以

31、AP为直径的圆M的方程为/一史/ 2+ y-ay- 2= 2 2 J.由题意得 圆C与圆M相切(内切和外切),故、y(22N2J J 小 ，解得a=3或a=5.故点P的横坐标的取值集合为答案：，3,5；, ，一 x13.已知椭圆P十ayg=1(a>b>0)的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于 A, B两点.若 FAB的周长最大时， FAB的面积为ab,则椭圆的离心率为 .解析：设直线 x=m与x轴交于点H,椭圆的右焦点为 F1,由椭圆的对称性可知 FAB的周长为2(FA+ AH = 2(2aF1A+ AH,因为FiA>AH故当FiA= AH时，FAB的周长最大，b2b2此时直

32、线AB经过右焦点，从而点A, B坐标分别为Jc,-卜3，一 £卜所以FAB的面积为12b2 , - 12b2, 一一 2 222 2 C 高，由条件得2 2 c v= ab，即b + c = 2bc, b = c,从而椭圆的离心率为e= /答案：得14.已知 A, B是圆 C： x2+y2=1 上的动点，AB= 3, P是圆 Q： (x 3)2+(y-4)2=1上的动点，则| "PA +-PB |的取值范围为 解析：因为 A, B是圆C: x2+y2=1上的动点，AB=、/3,所以线段AB的中点H在圆O X2+ y2=4上，且|"PA + | =2| "

33、Ph|.因为点P是圆G： (x3)22,，一一3.3 rr7.13,、，_一+ (y 4) =1 上的动点，所以 5 2力 PH|W5+2,即2" PH| w2，所以 7W2| PH| <13,从而| "PA + -PB |的取值范围是7,13.答案：7,13B力争难度小题1.已知点 P是圆C： x2+y2+4x6y3=0上的一点，直线 l： 3x-4y- 5= 0.若点P 到直线l的距离为2,则符合题意的点P有 个.解析：由题意知圆C的标准方程为(x+2) 2+(y3)2=16,所以圆心(一2,3)到直线l, 一 | -6-12-5|23一 人的距离d = L =

34、(4,5)，故满足题意的点 P有2个.55答案：2222. (2017 全国卷I)已知双曲线C： £看=1(2>0, b>0)的右顶点为 A以A为圆心,b为半径作圆 A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于 M N两点.若/ MAN= 60。，则C的离 心率为.解析：双曲线的右顶点为 A( a, 0), 一条渐近线的方程为 y= bx,即bx- ay= 0,则圆心 a |ba ax0| ab 一. A到此渐近线的距离 d.g + 2=.又因为/ MAN= 60。，圆的半径为 b,所以b - sin ab3b ab2 2,360 =,即与=W，所以 e= = -3-.答案审33. (2018 南京、盐城一模)在平面直角坐标系 xOy中，若直线y= k(x 3，3)上存在, 一 、一. , 一解析：设点 Rx, y),由OP = 3 OQ,可得Q点P,圆x2+(y1)2=1上存在一点 Q满足"OP =3"OQ,则实数k的最小值为 y3.又点Q在圆x2+ (y 1)2= 1上，可得+ -1)=