二倍角的正弦、余弦和正切公式(提高)

1、二倍角的正弦、余弦和正切公式 (提高)【学习目标】1 .能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了 解它们之间的内在联系.2 .能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角 公式.但不要求记忆)，能灵活地将公式变形并运用.3 .通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法 处理问题的自觉性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用【要点梳理】1.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2： - 2sin ： cos： (S2. )2. 2cos2 ： =cos 二一sin 二(C2.)= 2cos2 : -1

2、，八.2=1 - 2sin 二x c -2 tan 二tan 2 - -2(T2：J1 -tan -要点诠释:(1)公式成立的条件是：在公式 S23 c21a中，角口可以为任意角，但公式 T2a中，只有当三，三，k二一0 丰一十kn及a #一十(k = Z)时才成立；2 42a a(2)倍角公式不仅限于 2a是a的二倍形式，其它如 4a是2口的二倍、一是一的二倍、243: 一3a是的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好2一a a二倍角公式，这是灵活运用公式的关键.如：si=2sincos ；22aa asin/ =2sin 277cos277 (n Z)2.和

3、角公式、倍角公式之间的内在联系在两角和的三角函数公式Sg邛,C0t邛，兀邛中，当口 = P时，就可得到二倍角的三角 函数公式，它们的内在联系如下:要点二：二倍角公式的逆用及变形1.公式的逆用1 .2sin a cos a =sin 2a ； sin a cos a = sin 2a .22.222cos asin a =2cos a1=12sin a = cos 2a .=tan 2-2 tan ;2 2-3 -tan -4 .公式的变形1 _sin2：2= (sin« ±cos«)；21 cos2 -：21 一 cos2.(降哥公式:升哥公式:cos ;二,si

4、n ;二221 cos2: =2cos : ,1 -cos2: = 2sin ;要点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型求值题、化简题、证明题1 .对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、 凑项、添项、换元等；2 .掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如« =(。P)+P,2a=(Q+P)+(aP)等等，把握式子的变形方向，准确运用公式,也要抓住角之间的规律(如互余、互补、和倍关系等等)；3 .将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接 【典型例题】类型一：利用二倍角公式的简单应用4

5、1.求下列各式的值：一.二 二 一 1. 2 5二24 . 2 一(1) sincos； (2sin ； (3) sin 15 .12122123 3【思路点拨】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式.【答案】(1) 1; (2)近；(3)4431【解析】（1声（式=2,2sinji jicos 1212 J 21 二sin12(2 海式=- .1 -2sin12 J=- cos71=-cosl , 一一1 二-cos26(3) 24sin215嗔3 32-(1 -2sin 15 ) 32二一 cos303【总结升华】 解答本类题型重要的是抓住公式的特征，如角的关系、次数的关系等，抓住 公式的结构特

6、征对提高记忆公式的效率起至关重要的作用，而且抓住了公式的特征，有利于在解题时观察分析题设和结论中所具有的与公式相似的结构特征，并联想到相应的公式，从而找到解题的切入点.举一反三：( 冗冗冗冗、【变式 1】求值：(1)cos- -sin I cos +sin I； (2) 2cos1212 ,12122 二 ,-1 ； (3)82tan 75"21 -tan275【答案】（1）【解析】（1）原式=cos2ji-sin1271=cos126、.33(2)原式=cos(2 M -) = cos-=立 842(3)原式=tan150' =tan(180 30')= tan30

7、'类型二：利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值例2.求sin6 sin42 sin66- sin78 ° 的值.2sin ;式中正弦形式全部化为余弦形式，把这个式子作为-1【答案】16B式，再两式相乘.【思路点拨】解这类题型有两种方法：方法一：将原式中角度成二倍角的正弦形式全sin 2-：部转化为余弦形式，利用 cos6=进行化简.万法二：把原式作为A式，然后把 A【解析】方法一：原式2sin6 cos6 cos12 cos24 cos482cos62sin12 cos12 cos24 cos4872Z22cos62sin24 cos24 cos48""3

8、Z23 cos62sin48 cos4842 cos6sin96 cos6 116 cos6 - 16 cos16 -16【总结升华】一般地，对于cosa cos2a cos4acos2na ,可以通过乘以sin a后连结使用二倍角公式化简，这样便可以生产 方法二：设所求为 A即A=sin6 °“连锁反应” sin42 sin66 sin78设 B=cos6° - cos42 ° - cos66 ° - cos78 °1则 AB=2sin12 sin 84 sin 132 sin156 161_cos78 cos6 cos42 cos66 =B

9、161=B161B =0,. A =.16【总结升华】在不能观察到所求角的互余角的倍数关系以前.通过设B来构造可以利用二倍角公式的“对偶”式，算出乘积再约去 常见方法.举一反三：B.从而得到原式的值.这也是处理类似问题的一种【变式1】求值:cos - cos- cos- cos 一 .17171717【解析】原式=八4,二二2二4二8二2 sin cos cos cos cos -171717171724 sin1732 二2 sin172 二 cos174 二8 -cos cos171724 二2 sin174 二 cos178 二 cos174 二2 sin17c . 8-2sin 一co

10、s1717. 16二 sin17sin(二Jiv)冗sin一172 sin172 sin172 sin172 sin1716例 3.求值：2sin50 0+sin10c(W3tan10")h/1 +cos20°.【思路点拨】化正切为正弦、余弦，便于探索解题思路.【答案】.6【解析】原式=2sin 50 -sin10 11 +tan60 0 tan10 ) J +2cos 210、112sin 50 sin10：2cos10cos60 cos10 sin 60 sin10cos60 cos10442cos50 =2sin 50 sin10cos10 cos602cos10=

11、2、.2(sin50 cos10 cos50 sin10 )= 2V2sin(500+10 3=2V2sin60W2V2x曰 = V6.【总结升华】逆用二倍角余弦公式和和角的正弦公式，使得问题简单化. 举一反三：【变式1】求值:sin10 cos10cos10 - 43sin10''解析原式 =；二一sin10" cos10_ 1：3:2(-cos10 - -sin10 )sin10, cos10'2sin 201 sin 20,2二4【变式 2】求值：sin50l1 + A/3tan10)【解析】原式二sin50(1"snl?)cos10 _sin

12、 50' 2(1 cos10' 3sin10') 22 二ccos10Y2sin 40、cos40"sin 80cos10v=1类型三：利用二倍角公式化简三角函数式2 - 2 -22 -1_ -例 4.化间：sin a sin P+cos ct cos P-一，cos2o( cos2P.2【思路点拨】观察式子的结构，把倍角展开成单角，然后再进行化简.2【解 析】方 法 一： 原 式一 2 一 2 -22 -122-.=sin = sin ，cos 二 cos - -一(2cos 二 一1) (2cos .1)2= sin2 .isin2 : cos2 .1 c

13、os2 - - ； (4cos2 1 cos2 - - 2cos2 - - 2cos2 : 1)= 2.2：22：22：1= sin 二 sin - -cos 二 cos - cos 二 " cos - -一2= sin2 .：sin2 : cos2.：sin2 :cos2 :-2. 2 ：2 :111= sin P +cos r 一 =1 一一 =一 .22 2方法二：原式 =sin2 1 sin2， ，(1 一sin2 二)cos2 ；： -cos2; cos2 :2=cos2 -sin2 1(cos2 P -sin2 ：) - 1 cos2： cos2 :22 -. 2- -1

14、-=cos - - sin 二 cos 2 - - - cos 2： cos2 -2=cos2 : -cos2 I sin2 工；cos2-：21 + cos2 P R，1cos2a , cos2a ) -cos2P+2I 22 )2方法三：原式221 -cos2： 1 - cos2 11 cos2： 1 cos2 ：1_ c-cos2： cos222222111(1 -cos2： -cos2 - cos2->cos2 )(1 cos2-> , cos2 - cos2： cos2 ")cos2： cos2 -442,.-、21二(sin = sin . cos 二 cos

15、 :) 2sin 二 sin I - cos 二 cos - - cos2： cos2 : 22,- 、1 .一 . _ -1 一=cos （二：；，1） sin 2： sin 2 一 cos 2二：cos 2：222 - -1_ -=cos （、工 I ）cos2（、工 T'）2= cos2（a +P） -12cos2（a + P） 1 =1 .22【总结升华】在对三角函数作变形时，以上四种方法提供了四种变形的角度，即分别从“角”的差异，“名”的差异，“哥”的差异以及“形”的特征四个方面着手研究，这也是 研究其他三角问题时经常要用的变形手法.举一反三：【变式1】化简下列各式:. si

16、n 二 sin 2（1）：1 cos 二 cos 21(2) j2+2cos8 +2,1-sin8【答案】（1） tan日（2） 2sin 4sin 二 sin 2 sin 1 , 2sin 二 cos sin (1 2cosi).【解析】(1). =2tani.1 cos? cos21 cos1 2cos 二cos*1 2cos?)(2)原式=22 2cos2 4 + 2* 2sin 4cos421 cos41 2 (sin 4-cos4)2-2cos 4 21 sin 4 -cos4|-2cos 4 2cos4 -2sin 4=-2sin 4【变式2】化简:【答案】12,2cos 二 Tc

17、二 2 二2tan 一sin I 44【解析】原式cos2-(ji、2sin . a14J(n)cos I -一：4cos2 二-：4cos2:cos2 12sin -: cos I -:44(nsin I 2二2cos 2 j ,=1.cos 2 3类型四：二倍角公式在三角函数式给值求值题目中的应用r冗例5.已知cos 一 +x-,且三<x< 5122sin2x + 2sin x 的值1 - tan x【思路点拨】 去求解.观察所求的角与已知角的关系,发现它们是二倍的关系，所以用二倍角公式2875原式2sin2x 2sin x1 - tanxsinxsin2x 2sin xcos

18、xcosx1 一 tanxsin 2x(1 tan x)1 - tan x(H=sin 2x tan 一 x47 二一 ：x1231：x 二 2 二4- cos x = 一45>0,sin x4/2 二1 -cos x4(jitan x4(JI sin I x 4(31)cos 4 *(Ji又sin 2x = -cos. +2x 1=1 2cos2 .一 + x ： = 12父7,252sin2x 2sin x1 Tanx c二74= sin2x tan x =-2875【总结升华】 要注意本题中的角“ 2x ”ji“ 一十x ”4的变换方法，即22 二sin 2x - - cos 2x

19、 - - cos 2 x = 1 一 2cos x = 2sin x 2:|444举一反三：【变式1】求值：IT 9 RIT(1) 已知 sin(一 一一)=一,求 cos(日 _).(2)已知 sin(o(+4)=m,求 sin 2a.479【答案】一2m2-125【解析】 ，一兀、(n 日(1) cos(0 -) =cos -0 |= cos2 616J112 2 J,2 f冗9 )1 2sin 1122 J1 -2 25725一，冗一、(2) sin 2ot = cos(+2口)=2-2)一1+2sin . 一 十a14)2m -112 .1 .一.【变式2】 已知：tan 0 =2,求

20、一sin 8 Hsin28的值42,3【答案】35解法一：1sin2 - 1sin 2u191sin sin 2-=42sin2 -cos2 -42sin 2 - sin c cos-=4(转化成了齐次式)sin 2 - cos2 -121ctan 2 u tan r 4 2.=4= 4 = 3tan2 1 1- 4 1 一5解法二： tan 0=2,sin = =2k, cos = =k1,_、21 _ _2原式=(2k)2(2k) k =3k42又sin 29 +cos28 =1 即(2k) 2+k2=1 c 1c 13 k =;二原式=3k =3，_=一 55 5例 6.已知 3sin2

21、a+2sin2P =1 , 3sin 2a 2sin 2P = 0 ,且 口、P 都是锐角，求a +2P .【答案】90【解析】由 3sin2u+2sin2 P =1 ,得 12sin2 P =3sin2a ,即 cos2 Pmsn 20t.3由 3sin 2a 2sin 2 P = 0 ,得 sin 2P = sin 2口 .2cos(二: 2 ：) = cos = cos2 ；： 一sin 二 sin 2 :八.2.3.八=cos - 3sin 二一sin - -sin 2222= 3sin 口 cos« -3cos« sin = 0 . 0° v 口 v 9

22、0° , 0° v P v 90° ,0° < a +2? < 270° .在0°与270°之间只有90°的余弦值为0,故a+2P=90，【总结升华】给值求角题的求解一般按如下两个步骤进行(这两个步骤缺一不可)：根据题设条件，求角的某一三角函数值；讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大小.类型五：二倍角公式的综合应用例7.已知函数f (x) =2cos2缶x+2sin缶xcosx+1 (xe r, w >0)的最小正周期冗 是 .2(1)求3的值;(2)求函数f(x

23、)的最大值，并且求使 f(x)取得最大值的x的集合.【思路点拨】用降哥公式把"2cos2®x+2sin coxcosx”降哥，然后用辅助角公式z I. k,兀2k化成Asin(0X+<P) +k的形式.【答案】(1) 2 (2) 2+应1 cos 2 x【斛析】(1) f(x)=2,+sin 20x+1 =sin 20x + cos2cox + 22=、2sin 2 xcos cos2 xsin sin 2o x + 1+2 .4因为函数f(x)的最小正周期是 工，可得2ji一,所以8=2 .2(2 )由(1 )知，f( x)=«2s i n X4- 1+.

24、 2i 4x +471162(kwZ)时，sin，4x+ 土 i取得最大值1,所以函数f(x)的最大值是2十J2, 4k kkn此时x的集合为W x x 二 一十，k w Z I 16 2 J【总结升华】本题主要考查特殊角的三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余 弦公式及y = Asin(eox +中)的性质等知识.要记住倍角公式两类重要变形并能熟练应用:_ Ct Ct1) 缩 角 升 塞 公 式1+sina = I sin + cos22fOtjotot1 -sin «= . sincosI. 1+cos«=2cos2一，1 cos"= 2sin 2.(2)

25、扩角降塞2222公式cos21 cos2 ;2.2sin -1 -cos2：2sin2x (sin x cosx)【变式1】已知函数 f (x)=,cosx(I )求f (x)的定义域及最小正周期;(n)求f(x)在区间J2L 上的最大值和最小值.一 6 4【答案】(I) x| x#kn + 三,kwZ n (n) 2 -拒+12【解析】(I)因为cos x # 0 ,所以x#kn + " ,kwz.2所以函数f(x)的定义域为x| xkn+-,kZ2sin 2x( sin x cosx) f (x)= cosx2= 2sirx six! + cxo s = 2xsi n + si

26、n 2JI=.2 s i n x 2) 14T =二，、 7 二二 二(n)因为£ x £一,所以-E2xE 641244当2x - -=一时，即x=一时，f (x)的取大值为2； 444、-入 nn . 一 n .一 ,. r当2x =一时，即x =时，f (x)的最小值为 ,2+1.428例8.已知 A、B、C为三个锐角，且 A+B+ C=兀若向量 P =(22sinA, cosA+ sinA) 4与向量q = (cosA sinA, 1+sinA)是共线向量.(I )求角A;C -3B(n )求函数v= 2sin2B+ cos C 2 的最大值.【思路点拨】 首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式，由于可求得A角的正弦值，再根据角的范围即可解决第 (I)小题；而第(II)小题根据第(I )小题的结果及A、B、 C三个角的关系，结合三角民恒等变换公式将函数转化为关于角B的表达