数学建模大学5ppt课件

1、例例1 某人平常下班总是按预定时间到达某处，然某人平常下班总是按预定时间到达某处，然然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平常提早然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平常提早了三非常钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他了三非常钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他比平常提早了非常钟到家，问此人共步行了多长时比平常提早了非常钟到家，问此人共步行了多长时间？间？ 似乎条件不够哦似乎条件不够哦 。 换一种想法，问题就迎刃而解了。假设他的妻子遇到他后仍载着他开往会合地点，那么这一天他就不会提早回家了。提早的非常钟时间从

2、何而来？ 显然是由于节省了从相遇点到显然是由于节省了从相遇点到会合点，又从会合点前往相遇点这一会合点，又从会合点前往相遇点这一段路的缘故，故由相遇点到会合点需段路的缘故，故由相遇点到会合点需开开5分钟。而此人提早了三非常钟到分钟。而此人提早了三非常钟到达会合点，故相遇时他已步行了二十达会合点，故相遇时他已步行了二十五分钟。五分钟。 例例2 2 某人第一天由某人第一天由 A A地去地去B B地，第二天由地，第二天由 B B地沿原路前往地沿原路前往 A A 地。问：在什么条件下，地。问：在什么条件下，可以保证途中至少存在一地，此人在两天可以保证途中至少存在一地，此人在两天中的同一时间到达该地。中的

3、同一时间到达该地。假设我们换一种想法，把第二天的前往改动成另一人在同假设我们换一种想法，把第二天的前往改动成另一人在同一天由一天由B B去去A A，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中相遇一次，这样结论就很容易得出了：只需任何一人的到相遇一次，这样结论就很容易得出了：只需任何一人的到达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。 请本人据此给出严厉证明请本人据此给出严厉证明 例例3 3 交通灯在绿灯转换成红灯时，有交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡形状一个过渡形状亮一段时间的黄灯。亮一段时间的黄灯。请

4、分析黄灯该当亮多久。请分析黄灯该当亮多久。想象一下黄灯的作用是什么，不难看想象一下黄灯的作用是什么，不难看出，黄灯起的是警告的作用，意思是出，黄灯起的是警告的作用，意思是马上要转红灯了，假设他能停住，请马上要转红灯了，假设他能停住，请立刻停车。停车是需求时间的，在这立刻停车。停车是需求时间的，在这段时间内，车辆仍将向前行驶一段间段时间内，车辆仍将向前行驶一段间隔隔 L。这就是说，在离街口间隔为。这就是说，在离街口间隔为 L处处存在着一条停车线虽然它没被画在存在着一条停车线虽然它没被画在地上，见图地上，见图1-4。对于那些黄灯亮时。对于那些黄灯亮时已过线的车辆，那么该当保证它们仍已过线的车辆，那

5、么该当保证它们仍能穿过马路。能穿过马路。 马路的宽度马路的宽度 D是容易测得是容易测得 的，问题的关键在的，问题的关键在 于于L确实定。为确定确实定。为确定 L，还该当将，还该当将 L划分为两段：划分为两段：L1和和L2，其中，其中 L1是司机在发现黄灯亮及判别该当是司机在发现黄灯亮及判别该当刹车的反响时间内驶过的路程刹车的反响时间内驶过的路程 ，L2为刹车制动为刹车制动后车辆驶过的路程。后车辆驶过的路程。L1较容易计算，交通部门对较容易计算，交通部门对司机的平均反响时间司机的平均反响时间 t1早有测算，反响时间过早有测算，反响时间过长将考不出驾照，而此街道的行驶速度长将考不出驾照，而此街道的

6、行驶速度 v 也也是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研讨，从而可另建模型研讨，从而 L1=v*t1。刹车间隔。刹车间隔 L2既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来律计算出来 留作习题。留作习题。黄灯终究该当亮多久如今曾经变得清楚多了。第黄灯终究该当亮多久如今曾经变得清楚多了。第一步，先计算出一步，先计算出 L应多大才干使看见黄灯的司机应多大才干使看见黄灯的司机停得住车。第二步，黄灯亮的时间该当让已过线停得住车。第二步，黄灯亮的时间该当让已过线的车顺利穿过马路，即的车顺利穿过马

7、路，即T 至少该当到达至少该当到达 L+D/v。 DL例例4 4 餐馆每天都要洗大量的盘子，为了方餐馆每天都要洗大量的盘子，为了方便，某餐馆是这样清洗盘子的：先用冷水粗便，某餐馆是这样清洗盘子的：先用冷水粗粗洗一下，再放进热水池洗涤，水温不能太粗洗一下，再放进热水池洗涤，水温不能太高，否那么会烫手，但也不能太低，否那么高，否那么会烫手，但也不能太低，否那么不干净。由于想节省开支，餐馆老板想了解不干净。由于想节省开支，餐馆老板想了解一池热水究竟可以洗多少盘子，请他帮他建一池热水究竟可以洗多少盘子，请他帮他建模分析一下这一问题。模分析一下这一问题。盘子有大小吗盘子有大小吗 ? ?是什么样的盘子？是

8、什么样的盘子？盘子是怎样洗的盘子是怎样洗的 ? ? 无妨无妨假设我们了解到：盘子大小一样，假设我们了解到：盘子大小一样，均为瓷质菜盘，洗涤时先将一叠均为瓷质菜盘，洗涤时先将一叠盘子浸泡在热水中，然后盘子浸泡在热水中，然后 一一清洗。清洗。 不难看出，是水不难看出，是水 的温度在决的温度在决 定定洗盘子的数量洗盘子的数量 。盘子是先用冷水。盘子是先用冷水洗过的，其后能够还会再用清水洗过的，其后能够还会再用清水冲洗，改换热水并非由于水太脏冲洗，改换热水并非由于水太脏了，而是由于了，而是由于 水不够热了。水不够热了。 那么热水为什么会变冷呢？假设那么热水为什么会变冷呢？假设他想建一个较精细的模型，他

9、当他想建一个较精细的模型，他当然该当把水池、空气等吸热的要然该当把水池、空气等吸热的要素都思索进去，但餐馆老板的原素都思索进去，但餐馆老板的原意只是想了解一下一池热程度均意只是想了解一下一池热程度均大约可以洗多少盘子，大约可以洗多少盘子， 杀鸡杀鸡 焉用牛刀？焉用牛刀？ 无妨可以提出以下无妨可以提出以下 简化假设：简化假设：1水池、空气吸热不计，只思索水池、空气吸热不计，只思索 盘子吸热，盘子的大小、资料一样盘子吸热，盘子的大小、资料一样2盘子初始温度与气温一样，洗盘子初始温度与气温一样，洗完后的温度与水温一样完后的温度与水温一样3水池中的水量为常数，开场温水池中的水量为常数，开场温度为度为T

10、1，最终换水时的温度为，最终换水时的温度为 T24每个盘子的洗涤时间每个盘子的洗涤时间 T是一是一个常数。这一假设甚至可以去掉个常数。这一假设甚至可以去掉 不要不要根据上述简化假设，利用热量守根据上述简化假设，利用热量守衡定律，餐馆老板的问题就很容衡定律，餐馆老板的问题就很容易回答了，当然，他还该当调查易回答了，当然，他还该当调查一下一池水的质量是多少，查一一下一池水的质量是多少，查一下瓷盘的吸热系数和质量等。下瓷盘的吸热系数和质量等。 可见可见 ，假设条件，假设条件 的提出不的提出不 仅和他仅和他 研的研的 问题问题 有关，还和有关，还和 他预备利用哪些知他预备利用哪些知 识识 、预备建立什

11、么样的模型以及他准预备建立什么样的模型以及他准 备研备研讨的深化程度有关，即在他提出假设时，讨的深化程度有关，即在他提出假设时，他建模的框架曾经根本搭好了。他建模的框架曾经根本搭好了。 例例5 5 将外形质量一样的砖块一一向右往外将外形质量一样的砖块一一向右往外叠放，欲尽能够地延伸到远方，问最远可叠放，欲尽能够地延伸到远方，问最远可以延伸多大间隔。以延伸多大间隔。设砖块是均质的，长度与分量均设砖块是均质的，长度与分量均 为为1 1，其，其 重重心在中点心在中点1/21/2砖优点，现用归纳法推导。砖优点，现用归纳法推导。 Zn(n1)n(n1)由第由第 n块砖遭到的两个力的力矩相等，有：块砖遭到

12、的两个力的力矩相等，有： 1/2-Zn= (n1) Zn故故Zn =1/(2n)，从而上面，从而上面 n块砖向右推出的块砖向右推出的总间隔为总间隔为 ，nkk121112121,时nnknkn例例6 6 某人住在某公交线附近，该公交线路某人住在某公交线附近，该公交线路为在为在A A、B B两地间运转，每隔两地间运转，每隔 1010分钟分钟A A、B B两两地各发出一班车，此人常在离家最近的地各发出一班车，此人常在离家最近的 C C点等车，他发现了一个令他感到奇异的景点等车，他发现了一个令他感到奇异的景象：在绝大多数情况下，先到站的总是由象：在绝大多数情况下，先到站的总是由 B B去去A A的车

13、，难道由的车，难道由 B B去去A A的车次多些吗？请的车次多些吗？请他协助他找一下缘由他协助他找一下缘由由于间隔不同，设由于间隔不同，设 A A到到C C行驶行驶3131分分钟，钟，B B到到C C要行驶要行驶 3030分钟，调查一分钟，调查一个时间长度个时间长度 为为1010分钟的区间，例分钟的区间，例如，可以从如，可以从 A A方向来的车驶方向来的车驶 离离C C站站时开场，在其后的时开场，在其后的 9 9分钟内到达的分钟内到达的乘客见到先来的车均为乘客见到先来的车均为 B B开往开往A A的，的，仅有最仅有最 后后1 1分钟到达的乘客才见到分钟到达的乘客才见到 由由A A来的车先到。由

14、此可见，假设来的车先到。由此可见，假设此人此人 到到C C站等车的时间是随机的，站等车的时间是随机的，那么他先遇那么他先遇 上上B B方向来的车的概率方向来的车的概率为为 90% 90% 。例例4 4 飞机失事时，黑匣子会自动翻开，发射飞机失事时，黑匣子会自动翻开，发射出某种射线。为了搞清失事缘由，人们必需出某种射线。为了搞清失事缘由，人们必需尽快找回匣子。确定黑匣子的位置，必需确尽快找回匣子。确定黑匣子的位置，必需确定其所在的方向和间隔，试设计一些寻觅黑定其所在的方向和间隔，试设计一些寻觅黑匣子的方法。由于要确定两个参数，至少要匣子的方法。由于要确定两个参数，至少要用仪器检测两次，除非他事先

15、知道黑匣子发用仪器检测两次，除非他事先知道黑匣子发射射线的强度。射射线的强度。方法一方法一点光源发出的射线在各点处的照度与其到点光源的点光源发出的射线在各点处的照度与其到点光源的 间隔间隔的平方成反比，即的平方成反比，即 2k/dI 黑匣子所在黑匣子所在 方向很容易确定，关键在于确定方向很容易确定，关键在于确定 间隔间隔 。设在。设在同一方向不同位置检测了两次，测得的照度分别为同一方向不同位置检测了两次，测得的照度分别为I1和和I2，两丈量点间的间隔为两丈量点间的间隔为 a，那么有，那么有22212)(/dadadkdkII112/IIad方法二方法二在方法一中，两检测点与黑匣子在方法一中，两检测点与黑匣子 位于不断线上，这一点比较容易位于不断线上，这一点比较容易 做到，主要缺陷是结果对照度测做到，主要缺陷是结果对照度测 量的精度要求较高，很少的误差会呵斥结果的很量的精度要求较高，很少的误差会呵斥结果的很大变化，即敏感性很强，现提出另一方法，在大变化，即敏感性很强，现提出另一方法，在 A A点测得黑匣子方向后点测得黑匣子方向后 ，到，到B B点再测方向点再测方向 ，AB AB 间间隔为隔为a a