第五章机械波

1、1第五章第五章 机械波机械波 前前 言言5-1 5-1 机械波的形成和传播机械波的形成和传播5-2 5-2 平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程5-3 5-3 波的能量波的能量 * *声强声强5-4 5-4 惠更斯原理、波的叠加和干涉惠更斯原理、波的叠加和干涉5-5 5-5 驻波驻波5-6 5-6 多普勒效应多普勒效应 * *冲击波冲击波* *5-7 5-7 色散色散 波包波包 群速度群速度21、什么是波动、什么是波动波动有机械波，电磁波，物质波。波动有机械波，电磁波，物质波。波动也是一种运动形式，波动是振动的传播过程波动也是一种运动形式，波动是振动的传播过程。2、波动和其他运动形式相比、

2、波动和其他运动形式相比具时间和空间上的某种重复性。具时间和空间上的某种重复性。3、各类波在传播途中具有共性：、各类波在传播途中具有共性：类似的波动方程：类似的波动方程：反射、折射现象：反射、折射现象： 在两种介质的界面上的反射，折射；在两种介质的界面上的反射，折射；干涉现象：干涉现象：同一介质中，几列波的叠加；同一介质中，几列波的叠加； 衍射现象：衍射现象：在介质中绕过障碍物继续前进。在介质中绕过障碍物继续前进。32、机械波产生的条件：、机械波产生的条件：1、什么是机械波、什么是机械波一个机械振动以有限的速度在连续介质中的传播。一个机械振动以有限的速度在连续介质中的传播。波源（振源）波源（振源

3、）连续弹性介质连续弹性介质5.1.1 5.1.1 机械波产生的条件机械波产生的条件5.1.2 5.1.2 横波和纵波横波和纵波1、横波传播的特点、横波传播的特点：简谐振动在理想介质中的传播，叫简谐波。简谐振动在理想介质中的传播，叫简谐波。在此只讨论作简谐振动的波源。在此只讨论作简谐振动的波源。只讨论各向同性均匀无限大无吸收的只讨论各向同性均匀无限大无吸收的 理想情况。理想情况。（前提条件：波源相对于介质是静止的）（前提条件：波源相对于介质是静止的） 以绳上所形成的横波为例。以绳上所形成的横波为例。5-1 5-1 机械波的形成和传播机械波的形成和传播常见机械波现象：水面波、绳波、声波常见机械波现

4、象：水面波、绳波、声波411 12 131516 t = 0141234567891011 12 1315161412345678910 t =T/26111213151614123478910 t =T511 12 1315161412345678910 t =T/411 12 131516141234567891011 12 131516141234567891011 12 1315161412345678910 t =3T/4511121315161412345678910 t =5T/4当波源完成自己一个周期的运动，就有一个完整的波形发当波源完成自己一个周期的运动，就有一个完整的波形发

5、送出去。送出去。 沿着波的传播方向向前看去，前面各质元都要重复波源（已沿着波的传播方向向前看去，前面各质元都要重复波源（已知点振动亦可）的振动状态（即位相），因此，沿着波的传播知点振动亦可）的振动状态（即位相），因此，沿着波的传播方向向前看去，前面质元的振动位相相继落后于波源的位相。方向向前看去，前面质元的振动位相相继落后于波源的位相。 所谓波形：是指介质中各质元在某确定时刻，各自偏离自所谓波形：是指介质中各质元在某确定时刻，各自偏离自己平衡位置位移的矢端曲线己平衡位置位移的矢端曲线简谐横波可用余弦函数描述。简谐横波可用余弦函数描述。 横波使介质产生切变，横波使介质产生切变，只有能承受切变的物

6、体（固只有能承受切变的物体（固体）才能传递横波。体）才能传递横波。63、表面波、表面波 因液面有表面张力，在液面上纵波、横波均可传递。因液面有表面张力，在液面上纵波、横波均可传递。2、纵波的特点、纵波的特点 前三点基本上与横波相同。简谐纵波必须经过数学处理前三点基本上与横波相同。简谐纵波必须经过数学处理后才能用余弦函数处理。后才能用余弦函数处理。 有液面波传播时，液面的流体微元会在平衡位置附近作椭圆有液面波传播时，液面的流体微元会在平衡位置附近作椭圆振动。液面波不是简谐波。振动。液面波不是简谐波。 纵波在介质中引起长变或体变纵波在介质中引起长变或体变所有物质都能承受长变，所有物质都能承受长变，

7、体变（固、液、气体）。故在固体中纵波、横波均可传递，但体变（固、液、气体）。故在固体中纵波、横波均可传递，但两种波速各不相同。两种波速各不相同。说明：说明：波动不是物质的传播而是振动状态和能量的传播。波动不是物质的传播而是振动状态和能量的传播。75.1.3 5.1.3 波线和波面波线和波面2、代表波的传播方向的射线称波线。、代表波的传播方向的射线称波线。1、波所传播到的空间叫波场。、波所传播到的空间叫波场。(a) 点波源波前波线波面(b) 球面波波前波面波线(c) 平面波3、振动传播时相位相同的点所、振动传播时相位相同的点所组成的面称波面，组成的面称波面，注意：注意：在各向同性介质中，波线恒与

8、波在各向同性介质中，波线恒与波 面垂直。面垂直。最前面的一个波面称波阵面最前面的一个波面称波阵面（或波前）。（或波前）。84 4、平面波与球面波、平面波与球面波(1)(1)平面波：波阵面为平面。平面波：波阵面为平面。(2)(2)球面波：波阵面为球面。球面波：波阵面为球面。9* *5.1.4 5.1.4 物体的弹性形变物体的弹性形变 固体、液体和气体在受到外力作用时，不仅运动状态会发生变化，而且其形状和体积也会发生改变，这种改变称为形变.如果外力不超过一定限度，在外力撤去后，物体的形状和体积能完全恢复原状，这种形变称为弹性形变.这个外力限度称为弹性限度.形变有以下几种基本形式： (1 1)长变如

9、图5.45.4所示，在一棒的两端沿轴向作用两个大小相等、方向相反的一对外力F F时，其长度发生变化，由l l变为l lll，伸长量ll的正负(伸长或压缩)由外力方向决定， 表示棒长的相对改变，称为应变或胁变. .设棒的横截面积为S S，则 称为应力或胁强. .胡克定律指出，在弹性限度范围内，应力与应变成正比，即llFS图5.45.4长变llESF（5.1）式中比例系数E只与材料的性质有关，称为杨氏弹性模量，其定义为 llSFE（5.2）10(2 2)切变如图5.55.5所示，在一块材料的两个相对面上各施加一个与平面平行、大小相等而方向相反的外力F F时，则块状材料将发生图中所示的形变，即相对面

10、发生相对滑移，称为切变. .设施力的平面面积为S S，则 称为切变的应力或胁强，两个施力的相对面相互错开的角度 称为切变的应变或胁变. .根据胡克定律，在弹性限度内，切变的应力和切应变成正比，即FSd= arctanb图5.55.5切变FGS(5.3) 式中G G是比例系数，只与材料性质有关，称为切变弹性模量，其定义式如下：F/SG (5.4) 11(3 3)容变当物体(固体、液体或气体)周围受到的压力改变时，其体积也会发生改变，这种形变称为容变. .如图5.65.6所示，物体受到的压强由p p变为p ppp，相应地物体的体积由V V变为V VVV，显然，VV与pp的符号恒相反.V/V.V/V

11、表示体积的相对变化，称为容变的应变. .实验表明，在弹性限度内，压强的改变与容应变的大小成正比，即图5.65.6容变式中比例系数B只与材料性质有关，称为容变弹性模量，其定义式为VVBp(5.5)VVpB(5.6)21pw（弹性模量）（胁变）（弹性模量）（胁变）2 2， 形变能量密度：形变能量密度：12 波动周期波动周期T：一个完整波形通过波线上某固定点所需的：一个完整波形通过波线上某固定点所需的 时间。时间。 或者说，波传播一个波长所需的时间。或者说，波传播一个波长所需的时间。波动频率：单位时间内通过介质中某一点完整波的个数波动频率：单位时间内通过介质中某一点完整波的个数1、波长、波长 5.1

12、.5 5.1.5 描述波动的几个物理量描述波动的几个物理量2、波动周期、频率、波动周期、频率在波源相对于介质为静止时，波动周期等于波源振动周期。在波源相对于介质为静止时，波动周期等于波源振动周期。同一波线上振动位相差为同一波线上振动位相差为2的相邻的两质点间的距离。的相邻的两质点间的距离。或或 某个振动状态在一个周期内传播的距离为某个振动状态在一个周期内传播的距离为 波长。波长。21T（5.7）133、波速、波速u 某个振动状态（即位相）在介质中传播的速度，波速又叫某个振动状态（即位相）在介质中传播的速度，波速又叫相速，相速， 用用u表示，表示， 波速由介质的力学性质决定：弹性和惯性（介质的弹

13、性模量波速由介质的力学性质决定：弹性和惯性（介质的弹性模量和密度）。和密度）。Gu Eu /固体中的波速固体中的波速Bu /液体和气体中的波速液体和气体中的波速它表示单位时间内某一振动状态或位相沿波线传播的距离。它表示单位时间内某一振动状态或位相沿波线传播的距离。波长、波速、周期三者间关系：波长、波速、周期三者间关系：uuTu2（5.8）14注意波速与振速的区别：注意波速与振速的区别：)(sinuxtAtyv振振dtdxu波波波速由介质的力学性质决定波速由介质的力学性质决定155.2.1 5.2.1 平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程 如前所述如前所述, 在同一时刻，沿着波的传播方向，各

14、质点的在同一时刻，沿着波的传播方向，各质点的振动状态或位相依次落后；振动状态或位相依次落后；波动是介质中大量质点参与的集体运动（振动）。波动是介质中大量质点参与的集体运动（振动）。 如何用数学式来描述大量质点以一定位相关系进行集如何用数学式来描述大量质点以一定位相关系进行集 体振动呢？体振动呢？5-2 5-2 平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程若若简谐波的波面为平面则称为平面简谐波简谐波的波面为平面则称为平面简谐波 一般说来，波动中各质点的振动是复杂的。最简单而又最一般说来，波动中各质点的振动是复杂的。最简单而又最基本的波动是简谐波，基本的波动是简谐波，即波源以及介质中各质点的振动都是谐

15、即波源以及介质中各质点的振动都是谐振动振动。这种情况只能发生。这种情况只能发生在各向同性、均匀、无限大、无吸收在各向同性、均匀、无限大、无吸收的连续弹性介质中的连续弹性介质中。简谐波简谐波16 1、思路、思路介质中所有质点的振动方程介质中所有质点的振动方程任一波面上任一质点振动方程通式任一波面上任一质点振动方程通式任一波线上任一质点振动方程式的通式任一波线上任一质点振动方程式的通式 2、过程、过程条件：条件：B、波是沿着、波是沿着x轴轴正向正向传播，传播速度为传播，传播速度为 u；C、波源的振动方程为、波源的振动方程为 y0=A cos (t+ 0)； D、波源相对于介质、波源相对于介质静止静

16、止。A、波源在、波源在坐标原点坐标原点，x轴与某一波线重合；轴与某一波线重合；17设设P为波线（即为波线（即 x 轴）上的一点，其坐标为轴）上的一点，其坐标为 x，uPxxyo那么那么O 点的振动传到点的振动传到P点需要时间为：点需要时间为： t = x / u18 在在P点的观察者点的观察者 ，认为，认为P点在点在t时刻所重复的振动状态是时刻所重复的振动状态是O点在点在 t-(x/u) 时刻的振动状态。时刻的振动状态。 由于由于P为任选的，所以上式所表示的是任一波线上任一点为任选的，所以上式所表示的是任一波线上任一点振动方程的通式，此即所求的振动方程的通式，此即所求的平面简谐波的的波动表达式

17、。平面简谐波的的波动表达式。P点在点在t时刻的振动状态时刻的振动状态O点在点在 t-(x/u) 时刻的振动状态时刻的振动状态0)(cos),(uxtAtxy P点在点在t时刻的振动方程为时刻的振动方程为0)(cos),(uxtAtxy(5.9)同理，当波沿同理，当波沿x x负方向传播时，负方向传播时，t t时刻时刻p p点的振动方程为点的振动方程为0)(cos),(uxtAtxy(5.10)193、波动表达式的多种形式：、波动表达式的多种形式：0)22(cosxtAy0)(2cosxTtAy00)(cos)(2cosutxkAutxAy(5.11)式中式中k=2k=2 / / 称为波矢，它表示

18、在称为波矢，它表示在2 2 长度内所具有的完长度内所具有的完整波的数目整波的数目205.2.2 5.2.2 波动方程的物理意义波动方程的物理意义振动振动 y=f(t) 描述描述一个质点一个质点的位移随时间变化的规律。的位移随时间变化的规律。波动波动 y=f(x,t) 描述波线上描述波线上所有质点所有质点的位移随时间变化的位移随时间变化的规律。的规律。1、假定、假定 x=x0 常数常数则考察的是波线上某固定点则考察的是波线上某固定点00)(cosuxtAy)2cos(00 xtAy) cos(tAyy=f（x，t） 蜕变成蜕变成 y=f（t）21（1）波动方程蜕变成）波动方程蜕变成 x0 处质元

19、的振动方程处质元的振动方程（2）x0 处质元的振动初位相处质元的振动初位相002x“”表示表示x0 处质元的位相落后于原点处质元的位相落后于原点O。（3） 同一时刻，同一波线上两点的振动位相差同一时刻，同一波线上两点的振动位相差 )(212xx xOx2x1) cos()(tAty)2cos(00 xtA222、假定、假定t=t0常数常数（1）波动方程蜕变成）波动方程蜕变成 t0 时刻的波形方程时刻的波形方程 y=A cos(t0 -xu)+ 0 ) 12(,2) 12(2,1212kkxxkkxx时时当当 可见，波长反映了波动在空间上的周期性。可见，波长反映了波动在空间上的周期性。y=f（x

20、，t） 蜕变成蜕变成 y=f（x）/2 /2相当于对某波动过程照相后的相片，这时相当于对某波动过程照相后的相片，这时 故波形图有鲜明的时间特征；故波形图有鲜明的时间特征；23（3）同一质元在不同的两个时刻的振动位相差）同一质元在不同的两个时刻的振动位相差)22cos(011xtAy: :设设（2） 时间延续时间延续t，整个波形向前推进，整个波形向前推进 x=ut 据此，可由已知据此，可由已知 时刻的波形图画出下一时刻的波形图；时刻的波形图画出下一时刻的波形图； xyuOxtt tx 24)22cos(022xtAy01122xt: :则则02222xt122tt 所以波动周期所以波动周期T反映

21、了波动在时间上的周期性。反映了波动在时间上的周期性。Ttt122kTt 若若则则k225 波形不断向前推进就是波动传播的过程，波动方程描述一波形不断向前推进就是波动传播的过程，波动方程描述一个波形的传播。个波形的传播。3、 x，t 都变都变y=f（x，t）描述波线上各个不同质点在不同时刻的位移描述波线上各个不同质点在不同时刻的位移 t 时刻的波形方程为时刻的波形方程为 y(x)=Acos(txu)+ 0OYx(t) (t)(t) 2(t)(t)t+t时刻的波形方程为时刻的波形方程为y(x)=Acos(t+t(x+ x)u)+ 0261.波动微分方程波动微分方程* *5.2.3 5.2.3 波动

22、微分方程与波速波动微分方程与波速 图5.11表示横波在某瞬时的波形图，取位于x和xx处两波面所围体元为隔离体.体元两侧受剪切力 和 作用.相比之下重力可不计.体元发生剪切变形，剪切应变为 .用S表示体元横截面积，根据胡克定律有 xfx+ xft0ydylimxdx图5.11当波传播时，媒质内某体元的受力和形变xxfdyGSdxG为切变模量 27固体内弹性平面纵波的波动微分方程为固体内弹性平面纵波的波动微分方程为 ：2222yEytx（5.28) 式中表示媒质密度，E为杨氏模量.至于张紧柔软线绳上传播横波的波动微分方程则为：2222yTytx (5.29) T为线绳所受张力，为单位长度线绳的质量

23、，称为线密度. 以上的波动方程均根据质点动力学方程得出，故波动微分方程即是关于波的动力学方程.该方程的未知函数为y(x，t)，方程中y的两个偏导数都是以线性方式出现的，故本节讨论的波动方程是线性的.282.波速波速 波动微分方程给出了媒质内体元的运动和受力的关系，反映了波动传播的机制，对应于经典力学的动力学方程.而波动方程对应于运动学方程.故波动方程是波动微分方程的解.平面简谐波为平面波的特例，故平面简谐波动方程应为波动微分方程一特殊的解. 固体中弹性横波波速为：uG /同理可得固体中弹性纵波波速为：/uE /张紧软绳中横波波速则为： uT/流体中纵波的波速为：/uB/B为流体的体变模量.29

24、25xy0.1cost1025例5.1已知波动方程为 ，其中x，y的单位为m，t的单位为s，求(1)振幅、波长、周期、波速；(2)距原点为8 m和10 m两点处质点振动的位相差；(3)波线上某质点在时间间隔0.2 s内的位相差.y0.1 cos25tx10解(1)用比较法，将题给的波动方程改写成如下形式并与波动方程的标准形式 比较，即可得0 xyA co stu1025A0.1m ,s, u25m / s,010所以2T0.8s, =uT=20m(2)同一时刻波线上坐标为 和 两点处质点振动的位相差1x2x212xx2 30 是波动传播到 和 处的波程之差，上式就是同一时刻波线上任意两点间位相

25、差与波程差的关系.21xx1x2x21=xx1082m=-25 时，负号表示x2处的振动位相落后于x1处的振动位相.(3)对于波线上任意一个给定点(x一定)，在时间间隔t内的位相差21tttt0.2s,2则315.3.1 5.3.1 波的能量和能量密度波的能量和能量密度1、dV 内的波动动能内的波动动能2)(21vdmdEk)(cos0uxtAy设：设：dVdmdxSdV)(sin0uxtAtyv)(sin210222uxtAdVdEkxyoxy在坐标为在坐标为x处取一体元处取一体元dv5-3 5-3 波的能量波的能量 波的强度波的强度(5.12)322、dv 内的波动势能内的波动势能体积元因

26、形变而具有弹性势能体积元因形变而具有弹性势能 Gu hxtg221dxdyGdVEpxh0sinuxtAuxyoyxxydxdyxyxlim00222)(sin21uxtAdV在横波中，产生切变在横波中，产生切变(5.13)33 在同一体元在同一体元dV 内，内， dEk 、 dEp 是同步的。是同步的。、dV内的总波动能量内的总波动能量以上讨论说明：以上讨论说明： 以横波为例，当体积元的位移最大时（即波峰、波谷处），以横波为例，当体积元的位移最大时（即波峰、波谷处），它附近的介质也沿同一方向产生了几乎相等的位移，使该体积它附近的介质也沿同一方向产生了几乎相等的位移，使该体积元发生的元发生的相

27、对形变相对形变为零，即此时有为零，即此时有dy/dx=0，所以此时体积元的所以此时体积元的弹性势能为零，而此时体积元的振速也为零，所以动能也为零；弹性势能为零，而此时体积元的振速也为零，所以动能也为零；xyoxyx0y)(sin0222uxtdVAdEdEdEpk（5.14）34 相反地，当体积元处在位移为零处相反地，当体积元处在位移为零处(即平衡位置即平衡位置)时，振速、时，振速、相对形变均最大，所以弹性势能和动能都同时达到最大值。相对形变均最大，所以弹性势能和动能都同时达到最大值。 对任一介质体积元来说，不断从波源方向的介质中吸收能对任一介质体积元来说，不断从波源方向的介质中吸收能量，又不

28、断地向后面的介质传递能量。这说明波动是传递能量量，又不断地向后面的介质传递能量。这说明波动是传递能量的一种方式，且能量传播的速度就是波速。的一种方式，且能量传播的速度就是波速。)(sin0222uxtdVAdE 体元体元dV内的机械能不守恒，且作周期性变化。内的机械能不守恒，且作周期性变化。孤立的谐振子系统总能量守恒。孤立的谐振子系统总能量守恒。 这与孤立的谐振子系统不相同，孤立的谐振子系统这与孤立的谐振子系统不相同，孤立的谐振子系统振动过振动过程中系统的动能和势能相互转换程中系统的动能和势能相互转换,且总能量保持不变。且总能量保持不变。355、平均能量密度、平均能量密度dtuxtATwdtT

29、wTT000222)(sin114、能量密度、能量密度 dVdEw 单位体积内的能量单位体积内的能量 这说明：这说明：、22Aw 2cos121sin22221A)(sin0222uxtAdVdEw（5.15）（5.16）能量密度能量密度w w在一个周期内的平均值在一个周期内的平均值此公式适用于各种弹性波此公式适用于各种弹性波 365.3.2 5.3.2 波的能流和能流密度波的能流和能流密度如右图所示如右图所示SuwdtSudtwP1、能流、能流 瓦瓦tEP 单位时间内沿波传播的方向通过单位时间内沿波传播的方向通过介质中某一截面积的能量称为该面介质中某一截面积的能量称为该面积的能流。积的能流。

30、uudt SsudtV2、平均能流、平均能流SuwSudtwTPT01suA2221（5.17）能流能流p p在一个周期内的平均值称为平均能流在一个周期内的平均值称为平均能流373、能流密度、能流密度 （又叫波强）（又叫波强）IuwsPI 可见波强可见波强 22、AIuAI2221（瓦（瓦/ /米米2 2）（5.18）单位时间内通过与波传播的方向垂直的单位面积的平均单位时间内通过与波传播的方向垂直的单位面积的平均能流称为能流密度或波的强度，简称波强，用能流称为能流密度或波的强度，简称波强，用I I表示。表示。 此式只对弹性波成立此式只对弹性波成立 384 4、平面波和球面波振幅、平面波和球面波

31、振幅（1 1）平面波）平面波设设 ， 是通过是通过S S1 1,S,S2 2 （ S1=S2 ）的平均能流，）的平均能流，则有则有1P2P、 121211121VSAVSwP222222221VSAVSwP因能量无损失，则有因能量无损失，则有 21PP 21AA （2 2）球面波）球面波121211121VSAVSwP222222221VSAVSwP 21PP 222121SASA 121221rrSSAA可知可知, , rA1395.3.3 5.3.3 波的吸收波的吸收设介质中某处振幅为设介质中某处振幅为A，经厚度为，经厚度为dx的介质后，振幅的衰减的介质后，振幅的衰减量为量为dA，则，则

32、cxAln 设设 x=0 时，时， A=A0AA ex0II ex02dAdx0AA波动中一部分机械能因克服内摩擦做功转换成介质内能，波动中一部分机械能因克服内摩擦做功转换成介质内能，dxAdA0AclnxexAAlnln0AdxdA40例例5.4空气中声波的吸收系数为空气中声波的吸收系数为 钢中的钢中的吸收系数为吸收系数为 ，式中，式中代表声波的频率代表声波的频率.问问频率为频率为5 MHz的超声波透过多厚的空气或钢后其声强的超声波透过多厚的空气或钢后其声强减为原来的减为原来的1%.11211a2 10m712a4 10m解：211611a2105 10500m7612a4 105 102m

33、 由-2ax0II e得0I1xln2aI把 ， 之值分别代入上式，又依题 ，得空气的厚度为1a2a0I /I10011xln1000.046m100041钢的厚度为21xln1001.15m4可见高频超声波很难通过气体，但极易通过固体.425.4.1 5.4.1 惠更斯原理惠更斯原理入射波入射波 根据惠更斯原理，用作图的方法，能解释波的反射、折射根据惠更斯原理，用作图的方法，能解释波的反射、折射 等波的传播现象。等波的传播现象。 波动传播到的各点都可以看做是发波动传播到的各点都可以看做是发射子波的新波源；其后任一时刻，这射子波的新波源；其后任一时刻，这些子波的包迹就是新的波阵面。些子波的包迹

34、就是新的波阵面。5-4 惠更斯原理、波的叠加和干涉惠更斯原理、波的叠加和干涉43（1 1）惠更斯原理指出了从某一时刻的波阵面出发）惠更斯原理指出了从某一时刻的波阵面出发 去寻找下一时刻波阵面的方法去寻找下一时刻波阵面的方法 （2) 2) 惠更斯原理对任何介质中的任何波动过程都成立。惠更斯原理对任何介质中的任何波动过程都成立。 （3 3）惠更斯原理并不涉及波的形成机制。）惠更斯原理并不涉及波的形成机制。（4 4）惠更斯原理并没有说明各子波在传播中对某一点振）惠更斯原理并没有说明各子波在传播中对某一点振动究竟有多少贡献。动究竟有多少贡献。求新波阵面例子求新波阵面例子说明：说明：445.4.2 5.

35、4.2 波的叠加原理波的叠加原理1、几列波在传播中相遇时，可以保持各自的特性、几列波在传播中相遇时，可以保持各自的特性(频率、波频率、波长、振幅、振动方向等长、振幅、振动方向等) 同时通过同一媒质，好象没有遇到同时通过同一媒质，好象没有遇到其它波一样。其它波一样。 2、在相遇的、在相遇的区域内区域内，任一点的振动，为各列波单独存在时，任一点的振动，为各列波单独存在时在该点产生的振动的合成。在该点产生的振动的合成。上述规律称为波的叠加原理，又称波的独立传播原理。上述规律称为波的叠加原理，又称波的独立传播原理。455.4.3 5.4.3 波的干涉波的干涉1、干涉现象、干涉现象（3）相位差恒定。）相

36、位差恒定。（1） 频率相同；频率相同；（2）振动方向相同；）振动方向相同； 相干条件相干条件 干涉现象干涉现象:若两列频率相同、振动方向相同、在相遇点的位相相同或位若两列频率相同、振动方向相同、在相遇点的位相相同或位相差恒定，则在合成波场中会出现某些点的振动始终加强，相差恒定，则在合成波场中会出现某些点的振动始终加强，另一些点的振动始终减弱（或完全抵消），得到波的一种另一些点的振动始终减弱（或完全抵消），得到波的一种稳稳定的叠加图样，定的叠加图样，这种现象称为波的干涉现象。这种现象称为波的干涉现象。 一般情况下，几列波在介质中相遇时，相遇区域内各处质一般情况下，几列波在介质中相遇时，相遇区域内

37、各处质点的合振动是很复杂的和不稳定的。点的合振动是很复杂的和不稳定的。 相干波相干波 满足相干条件的波源称为相干波源，满足相干条件的波源称为相干波源，相干波源发出的波称为相干波。相干波源发出的波称为相干波。 462、干涉加强和减弱条件、干涉加强和减弱条件 出发点：出发点： y1 = A1cos( t + 10) y2 = A2cos( t + 20)两波传至两波传至P点，引起两个振动点，引起两个振动)2cos(11011rtAyp)2cos(22022rtAyp设设 s1、s2为两相干波源，其振动方程分别为为两相干波源，其振动方程分别为s2s1r1r2P 由波的叠加原理知：相干波在叠加区域内各

38、质点由波的叠加原理知：相干波在叠加区域内各质点 的振动是合成振动。的振动是合成振动。 由相干条件知：相干波在叠加区域内各质点的振动由相干条件知：相干波在叠加区域内各质点的振动 是同频率、同振动方向谐振动的合成振动。是同频率、同振动方向谐振动的合成振动。47说明说明v 合振幅或强度仅由波程差（合振幅或强度仅由波程差（r2-r1 ）决定，位相仅由位置）决定，位相仅由位置决定，故这是一个稳定的叠加图样。决定，故这是一个稳定的叠加图样。cos2212221AAAAA)2cos()2cos()2sin()2sin(22021101220211010rArArArAtg1210202)(rr )cos(0

39、21tAyyy则由同方向、同频率谐振动合成公式，有则由同方向、同频率谐振动合成公式，有=r=r2 2-r-r1 1是两个波源是两个波源发出的波传到发出的波传到P P点的点的几何路程差，称之几何路程差，称之为波程差。为波程差。cos22121IIIII48若若 10= 20 , 上式简化为波程差上式简化为波程差 2 ) 12( 2212kkrrv 干涉相长与干涉相消的条件：干涉相长与干涉相消的条件：k = 0, 1, 2,A=A1+A2 干涉相长干涉相长) 12 ()(2)(2)(2)(121020121020krrkrrA=A1A2 干涉相消干涉相消干涉相长干涉相长干涉相消干涉相消k = 0,

40、 1, 2,49解：声波从入口解：声波从入口E E进入仪器后分进入仪器后分B B，C C两路传播，这两路声波满足相干条件，两路传播，这两路声波满足相干条件， 它们在喇叭口它们在喇叭口A A处产生相干叠加，干涉减弱的条件是处产生相干叠加，干涉减弱的条件是例例5.55.5图图5.235.23所示是声波干涉仪所示是声波干涉仪. .声波从入口声波从入口E E处进入仪器，分处进入仪器，分B B，C C两路在两路在管中传播，然后到喇叭口管中传播，然后到喇叭口A A会合后传出会合后传出. .弯管弯管C C可以伸缩，当它渐渐伸长时，可以伸缩，当它渐渐伸长时，喇叭口发出的声音周期性增强或减弱喇叭口发出的声音周期

41、性增强或减弱. .设设C C管每伸长管每伸长8 cm8 cm，由，由A A发出的声音就发出的声音就减弱一次，求此声波的频率减弱一次，求此声波的频率( (空气中声速为空气中声速为340 m/s).340 m/s).图5.235.23声波干涉仪 DCADBA2k1k0,1,2.250当C C管伸长x x8 cm8 cm时，再一次出现干涉减弱，即此时两路波的波程差应满足条件/2x2 k112以上两式相减得2x2x，于是可求出声波的频率为uu3402125Hz2x2 0.0851波腹：振幅始终为极大值的点波腹：振幅始终为极大值的点； 在同一介质中，两列振幅相同的相干平面简谐波，在同一在同一介质中，两列

42、振幅相同的相干平面简谐波，在同一直线上沿相反方向传播时叠加形成的波，称为驻波。直线上沿相反方向传播时叠加形成的波，称为驻波。相邻两个波节点或波腹点之间的距离为半个波长。相邻两个波节点或波腹点之间的距离为半个波长。波节：介质中始终不振动的点；波节：介质中始终不振动的点；B绳上的驻波绳上的驻波mPA 5-55-5驻驻 波波525.5.1 5.5.1 驻波方程驻波方程)22cos(1xtAy即即)22cos(2xtAy两波相遇，其合成波为两波相遇，其合成波为)22cos()22cos(21xtAxtAyyy)()(2cos2cos2txtxA变量分离变量分离为简单计算，设两列相向传播的波在原点位相相

43、同（例如为零）为简单计算，设两列相向传播的波在原点位相相同（例如为零）53波线上各点都在自己平衡位置附近作周期为波线上各点都在自己平衡位置附近作周期为T的谐振动，各的谐振动，各点的振幅随位置的不同作周期性变化。点的振幅随位置的不同作周期性变化。1.波腹与波节波腹与波节 驻波振幅分布特点驻波振幅分布特点xA2cos2考察某一点，令考察某一点，令x=常数常数 ， 则则x处的质元振幅为处的质元振幅为5.5.2 5.5.2 驻波的特点：驻波的特点：54 波节波节 和波腹位置和波腹位置2xkxk2 当振幅为极大时的各点为波腹的位置，则波腹的坐标为：当振幅为极大时的各点为波腹的位置，则波腹的坐标为： 介质

44、中各点的振幅是随介质中各点的振幅是随x按余弦规律变化，而余弦函数的按余弦规律变化，而余弦函数的绝对值的周期为绝对值的周期为，故，故 说明两相邻波腹间距为说明两相邻波腹间距为 2 当振幅为当振幅为0时的各点为波节的位置，则波节的坐标为：时的各点为波节的位置，则波节的坐标为：2212xk()xk()214说明两相邻波节间距为说明两相邻波节间距为 两相邻波节和波腹之间距为两相邻波节和波腹之间距为 2455注意结论的适用范围：注意结论的适用范围：上述波腹、波节的坐标位置公式是特殊情况下的结论上述波腹、波节的坐标位置公式是特殊情况下的结论（即两相干波初相为零时所得），不具普遍性。（即两相干波初相为零时所

45、得），不具普遍性。而关于两相邻波腹，两相邻波节间距为而关于两相邻波腹，两相邻波节间距为 的结论具有普的结论具有普遍性，求波节、波腹的方法，思路具有普遍性。遍性，求波节、波腹的方法，思路具有普遍性。介于波腹、波节之间的各点，它们的振幅则随坐标位置按介于波腹、波节之间的各点，它们的振幅则随坐标位置按 的规律变化的规律变化xA2cos256 相邻两个波节之间的所有各点振动位相相同，同步振动。任相邻两个波节之间的所有各点振动位相相同，同步振动。任一波节两侧的点，振动位相正好相反，相差一波节两侧的点，振动位相正好相反，相差 ，43454(x) n2 波由波疏介质入射，在波密界面上反射波由波疏介质入射，在

46、波密界面上反射界面形成波节。界面形成波节。2、实验表明：、实验表明： 波由波密介质入射，在波疏界面上反射波由波密介质入射，在波疏界面上反射界面形成波腹。界面形成波腹。61* *5.5.4 5.5.4 简正模式（自本征振动）简正模式（自本征振动） 如果将一根两端固定的长为如果将一根两端固定的长为 的张紧的弦的张紧的弦( (弦的质量为弦的质量为m,m,张力张力为为T),T),使之产生驻波振动使之产生驻波振动, ,由于弦的两端固定由于弦的两端固定, ,可知弦两端可知弦两端均为波节均为波节, ,因而在弦上形成的驻波因而在弦上形成的驻波波长与弦长之间必然满足波长与弦长之间必然满足2nnlmTlTu又波在

47、弦中传播速度为又波在弦中传播速度为nln2故有故有则所有可能的频率为则所有可能的频率为12nlununn62称之为基频,称之为基频,式中式中mlTlu2121称称之之为为谐谐频频1nn在物理学中，我们将各种允许频率对应的驻波振动（简在物理学中，我们将各种允许频率对应的驻波振动（简谐振动模式）称为简正模式，或直接简称为谐振动模式）称为简正模式，或直接简称为“模模”。由以上讨论可知，对两端固定的弦这一驻波振动系统，由以上讨论可知，对两端固定的弦这一驻波振动系统，有许多个有许多个“模模”式，即有许多个振动自由度。式，即有许多个振动自由度。上述讨论方法，也适用于两端开放，或一端固定、一端上述讨论方法，

48、也适用于两端开放，或一端固定、一端开放之管或弦，乃至于膜（即二维驻波振动）。开放之管或弦，乃至于膜（即二维驻波振动）。63例5.8如图5.31所示，沿x轴正向传播的平面简谐波方程为 ，两种介质的分界面P与坐标原点O相距d6.0 m，入射波在界面上反射后振幅无变化，且反射处为固定端.求：(1)反射波方程；(2)驻波方程；(3)在O与P间各个波节和波腹点的坐标.xy0.2cos 200tSI200图5.31解(1)由波动方程可知，入射波的振幅A0.2 m，角频率200，波速u200 m/s，故波长u/v2 m.由题意知，反射波的振幅、频率和波速均与入射波相同.入射波在两介质分界面P点处的振动方程为

49、x d6yy0.2cos 200t0.2cos 200 t60.2cos200 t200入因为反射点是固定端，所以反射波在P点处的振动位相与入射波在该点的振动位相相反，故有y0.2cos 200 t反反射波以速度u200 m/s向x轴负向传播，在P点处的振动方程已经由上式给出，所以反射波方程为646xxy0.2cos 200t0.2cos 200t5200200 x0.2cos 200t200(2)驻波方程为：xxy0.2cos 200t0.2cos 200t200200 xx0.2cos 200t0.2cos 200t+2002000.4sin xsin 200 t(3)由 (k0,1,2,

50、3，6)x2k2得波节点的坐标为 x0,1,2,3,4,5,6.x2k12(k0,1,2，5) 由得波腹点的坐标为 1 3 5 7 9 11x,.2 2 2 2 2 2651、波在介质中的传播速度只由介质决定、波在介质中的传播速度只由介质决定, 多普勒于多普勒于1842年发现，当波源或观察者、或者两者同年发现，当波源或观察者、或者两者同时相对于介质有相对运动时，观察者接收到的波的频率与时相对于介质有相对运动时，观察者接收到的波的频率与波源的振动频率不同，这类现象称为多普勒效应或者多普波源的振动频率不同，这类现象称为多普勒效应或者多普勒频移。勒频移。几个概念几个概念与波源和观察者相对于介质的运动

51、无关。与波源和观察者相对于介质的运动无关。2、三种频率的定义：、三种频率的定义： 波源的振动频率波源的振动频率 s：波源在单位时间内所完成的完全振动的波源在单位时间内所完成的完全振动的次数。次数。 5-65-6多普勒效应多普勒效应 * *冲击波冲击波5.6.1 5.6.1 多普勒效应多普勒效应66 观察者的接收频率观察者的接收频率 B ： 接收器在单位时间内收到的完整波的接收器在单位时间内收到的完整波的 数目。数目。 介质的波动频率介质的波动频率 ：单位时间内通过波线上某点完整波的数目。单位时间内通过波线上某点完整波的数目。介质的波动频率介质的波动频率 = u 以接收者为参照系：以接收者为参照

52、系：u是观察者测得的波的传播速度，是观察者测得的波的传播速度， 是是观察者测得的波长。观察者测得的波长。 接收频率接收频率 B= u 以介质为参照系：以介质为参照系：u是波在介质中的速度，仅由介质决定。是波在介质中的速度，仅由介质决定。 3、只讨论波源，观察者的运动在二者连线上的情况、只讨论波源，观察者的运动在二者连线上的情况 约定约定 u 介质中的波速介质中的波速 Vs波源相对于介质的速度波源相对于介质的速度 VB观察者相对于介质的速度观察者相对于介质的速度 三种速度均以介质为参照系。三种速度均以介质为参照系。67一、波源、观察者均相对于介质为静止一、波源、观察者均相对于介质为静止Vs=0,

53、VB=0此时无多普勒效应此时无多普勒效应v 波源相对于介质为静止波源相对于介质为静止 （即（即Vs=0） ，波动频率等于波，波动频率等于波源的振动频率源的振动频率ussBuu观察者的接收频率观察者的接收频率 B B由于观察者相对于介质为静止（即由于观察者相对于介质为静止（即VB=0） ， u=u， =观察者测得波的传播速度观察者测得波的传播速度 由由 u=u+VB ,可知可知 68二、波源不动，观察者以二、波源不动，观察者以V VB B运动运动 (Vs=0, VB0 ) 以波源及观察者连线为以波源及观察者连线为x轴，并规定波动向着观察者传播方向轴，并规定波动向着观察者传播方向为正方向，为正方向

54、，uVBVs=0 xsP在不考虑相对论效应时，当观在不考虑相对论效应时，当观察者向着波源运动，那么这时观察者向着波源运动，那么这时观察者测得的波速察者测得的波速 u=u+ VBSBvVS=0观察者测得的波长观察者测得的波长 / = 因为因为 Vs=0， su )1 (2uVuTVuuBBB 即，当观察者向着波源运动时，即，当观察者向着波源运动时，接收频率提高。接收频率提高。 69sBBBuVVu)1 (2显然，当显然，当VB =u 时，时， u=0， B2/=0当观察者远离波源时当观察者远离波源时, VB 取负值取负值 , 接收频率降低。接收频率降低。 即，当观察者相对于某一波面为静止时，观察

55、者的接收即，当观察者相对于某一波面为静止时，观察者的接收频率为零。频率为零。70此时波在介质中的传播速度仍为此时波在介质中的传播速度仍为u ，观察者测得的波速，观察者测得的波速 u=u+VB=u三、观察者不动，波源以三、观察者不动，波源以V VS S 运动运动 (Vs0，VB=0) uTsSPvSS1、波源向着观察者运动、波源向着观察者运动如果波源如果波源S不运动，则波头、波尾长为不运动，则波头、波尾长为uTs， 但当波源运动时但当波源运动时,波头发出后，即以波头发出后，即以u速在介质中传播，当其到速在介质中传播，当其到达达P点时，波源（波尾）在这段时间内（一个振动周期点时，波源（波尾）在这段

56、时间内（一个振动周期T内）运内）运动到动到S/点，波形（面）被压缩。点，波形（面）被压缩。但由于波源的运动，波在介质中的波长将发生变化。但由于波源的运动，波在介质中的波长将发生变化。vSTsTVus/SsV71TVus)( 故故sssBVuuTVuuu)(3即波源向着观察者运动时，观察者的接收频率会提高。即波源向着观察者运动时，观察者的接收频率会提高。介质连续性的定义介质连续性的定义: d（d为分子间距）。为分子间距）。显然，当显然，当Vsu 时，时， B 这是没有意义的。这是没有意义的。但波源运动速度但波源运动速度Vsu 则是经常出现的，例如超音速飞机等。则是经常出现的，例如超音速飞机等。

57、美国宇航局美国宇航局2004年年3月月27日宣布，一架日宣布，一架X43A试验飞机试验飞机当天在加州爱德华兹空军基地进行的试飞中时速达到当天在加州爱德华兹空军基地进行的试飞中时速达到7700公公里（约里（约7倍音速），从而打破了喷气式飞机的飞行速度纪录。倍音速），从而打破了喷气式飞机的飞行速度纪录。722、若波源背离观察者运动、若波源背离观察者运动 ssBVuu3接收频率会降低接收频率会降低TVus)( 同理，同理， 则波形被拉长则波形被拉长73四、观察者、波源同时相对于介质运动四、观察者、波源同时相对于介质运动(Vs0，VB0) uVBVsxsP 相互靠近相互靠近观察者测得的波速观察者测得的

58、波速 u=u+VBssBBVuVuu/4接收频率接收频率波形被拉长波形被拉长TVus)( 相互远离相互远离观察者测得的波速观察者测得的波速 u=u-Vu=u-VB BssBBVuVuu/4接收频率接收频率波形被压缩波形被压缩TVus)( ssBVuVu频频率率降降低低。号号, ,相相互互远远离离取取下下面面一一组组符符频频率率升升高高；号号, ,相相互互靠靠近近取取上上面面一一组组符符即即74 纵向多普勒效应纵向多普勒效应 0/11cvcv取取下下边边符符号号。光光源源与与接接收收者者远远离离, ,取取上上边边符符号号；光光源源与与接接收收者者接接近近, , 横向多普勒效应横向多普勒效应 02

59、)(1cv式式中中 v 为为观观察察者者与与光光源源间间的的相相对对速速度度， 0 0为为静静止止频频率率。 根据相对论的有关知识可导出：根据相对论的有关知识可导出： 若观察者和波源相对于介质的运动速度不在二者的连线上，若观察者和波源相对于介质的运动速度不在二者的连线上，则只须考虑则只须考虑 Vs,VB 在二者连线上的分量，即机械波只有纵向多在二者连线上的分量，即机械波只有纵向多普勒效应，而无横向多普勒效应。普勒效应，而无横向多普勒效应。75* *5.6.2 5.6.2 冲击波冲击波 当波源在介质中的运动速度大于波在介质中的传播速度时，当波源在介质中的运动速度大于波在介质中的传播速度时，这时波源（物体）本身的运动会激起介质的扰动，激起另一种这时波源（物体）本身的运动会激起介质的扰动，激起另一种波，此时的运动物体充当了另一种波的波源，这种波是一种以波，此时的运动物体充当了另一种波的波源，这种波是一种以运动物体的运动轨迹为中心的一系列球面波。由于球面波的波运动物体的运动轨迹为中心的一系列球面波。由于球面波的波速速u比物体的运动速度比物体的运动速度vs小，所以就会形成如下图的小，所以就会形成如