数理方程与特殊函数5齐次弦振动方程的分离变量法ppt课件

1、第三章1 齐次动摇方程分别变量法齐次动摇方程分别变量法固有值和固有函数固有值和固有函数Fourier级数回想级数回想动摇方程的动摇方程的Fourier解解0,sin0, 0)0,0(,000 tttxxxxttuxuuutxuu 引例引例 有界弦的振动问题有界弦的振动问题u(x, t) = cos t sin x2/16解解 u = f(x + t ) + g(x t )xxgxfsin)()( 0)()( xgxfxxgxfsin)()( Cxgxf )()(2f(x) = sin x + C2g(x) = sin x C )sin()sin(21txtxu )(),(0, 0)0,0( ,

2、0002xuxuuutLxuautttLxxxxtt 齐次动摇方程分别变量方法齐次动摇方程分别变量方法)(),(xx 其中其中是知函数是知函数设问题的解设问题的解 u( x, t )可以按自变量分别可以按自变量分别u( x, t )=T(t)X(x)将将 utt = TX, uxx = T X 代入动摇方代入动摇方程程3/16utt = a2 uxxT(t) X(x) = a2T(t) X(x)XXTaT 2 XXTaT20 XX 02 TaT 常微分方程常微分方程边境条件边境条件:固有值问题固有值问题: 0)(, 0)0(0, 0LXXLxXX X(0) = 0X(L) = 0T(t)X(0

3、)=0T(t)X(L)=04/160 0 0 分三种情形分三种情形: (1) ; (2) ; (3)解解 的二次方程的二次方程:02 1 2(1)通解通解:xxBeAeX 0 LLeeA A = B = 0时固有值问题只需零解时固有值问题只需零解0 X(0) = 0X(L) = 0边境条件边境条件:0 BA0 LLBeAe 5/16(2) 0)(, 0)0(0, 0LXXLxXX 0 通解通解: X(x) = Ax + BX(0) = 0X(L) = 0B = 0A L + B = 0A = B = 00 时特征值问题只需零解时特征值问题只需零解(3)0 02 i 1 i 26/16 0)(,

4、 0)0(0, 0LXXLxXX 0 通解通解: :xBxAxX sincos)( X(0) = 0X(L) = 0A = 00sin LB 0sin L nL ( n=1,2, )xLnBxXnn sin)( 222Lnn 7/1602 TaTn 222Lnn 代入方程代入方程LatnDLatnCtTnnn sincos)( 通解通解:弦振动方程的根本解弦振动方程的根本解: 1sin)sincos(),(nnnLxnLatnDLatnCtxu un(x, t) = Tn(t) Xn(x)LxnLatnDLatnCnn sin)sincos( 8/16 otherxxx, 07/4 , 7/3

5、,7sin)( 0),(0, 0)0, 10( ,0010tttxxxxttuxuuutxuu 1)sin()0 ,(nnxnCxu 1)sin()sin()cos(),(nnnxntnDtnCtxu 9/16例例1 1)sin()()0 ,(nntxnDnxu )()sin(1xxnCnn Dn = 0 10)sin()(2dxxnxCn 7/47/3)7cos()7cos(dxxnxn Fourier级数级数: 设设 f(x) 在区间在区间 延续延续, 10sincos2)(nnnnxbnxaaxf dxnxxfbnxdxxfann sin)(1cos)(1设设 f(x) 在在 上延续上延

6、续 (奇延拓奇延拓), 0 1sin)(nnnxbxfdxnxxfbn 0sin)(210/16设设 f(x) 在在 0, L上有定义上有定义(奇延拓奇延拓) 1sin)(nnnzbzF 1sin)(nnxLnbxf 0sin)(2nzdzzFbn LndxLxnxfLb0sin)(2 xLz , 0, 0 L)()(zLfzF 11/16 1sin)sincos(),(nnnLxnLatnDLatnCtxu 动摇方程初始条件动摇方程初始条件)()0 ,(xxu )()0 ,(xxut 1sin)(nnLxnCx 1sin)(nnLxnLanDx dLnLCLnsin)(20 dLnLanLD

7、Lnsin)(20 12/16 1sin)sincos(),(nnnLxnLatnDLatnCtxu 方程的方程的Fourier解解 dLnLCLnsin)(20 dLnanDLnsin)(20 xuxuuutLxuautttLxxxxtt 0002,0, 00,0,结论结论:13/16 0,1000)10(0, 00,100,001002tttxxxxttuxxuuutxuau例例3 3 设设 a2=10000a2=10000解解: dLnLCLnsin)(20 dn10sin)10(50001100 )1(cos10250001333 nn)cos1(5233 nn 3354 n ( n为奇数为奇数)14/16 1sin)sincos(),(nnnLxnLatnDLatnCtxu 1sincosnnLxnLatnC 03310)12(sin)12(10cos)12(54kxktkk 15/16习题习题3.1 3.1 P.56P.56 2(1), 2(1,3) 2(1), 2(1,3) 思索题思索题偏微分方程分别变量法与常微分方程分别变量法偏微分方程分别变量法与常微分方程分别变量法有何不同？有何不同？比较固