大学物理上册答案（精编版）

1、大学物理上册答案LT第 1 章质点运动学和牛顿运动定律习题答案1-1 已知质点的运动学方程为 x = R cost, y = R sint, z = ht/(2 ), 其中 R、h 为常量求：（1） 质点的运动方程的矢量形式；（2） 任一时刻质点的速度和加速度4解： rRcostiRsintjht /( 2)kdr dtRsintiRcostjh/( 2)kad dt2 RcostiR2 sintj2 R(costisintj )1-2 站台上的人在火车开动时站在第一节车厢的最前面火车开动后经过 24 s 第一节车厢的末尾从此人的面前通过 问第 5 节车厢驶过他面前需要多长时间？解：以火车开动

2、时为计时起点， 设火车一节车厢长度为 l，加速度为 a则第一节车厢经过观察者时：（ 1）l1 at 221242 a2288a第 四 节 车 厢 的 末 尾 经 过 观 察 者 时 ： 4l1 at 24（ 2）第 五 节 车 厢 的 末 尾 经 过 观 察 者 时 ： 5l251 at 2（3） ）联立（ 1）（2）（ 3）得：tt 5t453.74825.7 s1-3 半径为R 的轮子沿 y = 0的直线作无滑滚动时，轮边缘质点的轨迹为x R(sin)y R(1cos)，求质点的速度； 当 d/ dt = 为常量时， 求速度为 0 的点xdtdtdtdt即R1cosi + sinj解：dx

3、R( dcosd) dtdyRsindyddt当d为常数时，dtRxdx(1dtcos) ，dysinRydt，速度为 0即Rxdx(1dtcos)0 ，dysin0Rydt故2k,k0,1,2,1-5 一质点沿半径为R 的圆周按规律56则a20 1-12在 图1-20所 示 的 滑 轮 系 统 中 ，26m3m2m1 ，如果滑轮和绳的质量和转轴处的摩擦略去不计，且绳不可伸长，求m1 的加速度 a1 及两绳的张力 T1 和 T2解：设 a1，a2，a3 分别是m1，m2，m3 的加速度，T1m1 gm1a1 ， T2m2 gm2 a 2 ，m3 gT2m3 a2 ，T12T2，解得T4m2 m

4、3ga4m2m3m1m2m1m3 g11m2m3( m2m3 )m1习题参考答案：第 2 章动量和角动量A2-2某物体上有一变力FT1作用，它随B时间变化的关系如下： 在 0.1s 内，F 均匀T地2由 0 增加到20N；又在以后 0.2s 内，F 保持不变；T2再经 0.1s， F 又从 20N 均匀地减少到 0m1 画出 F- t 图；m2m3 求这段时间内力的冲量及图 力1-20 的习题平1-12均用图值； 如果物体的质量为3kg，开始速度为1m/s，且与力的方向一致，问在力刚变为0 时， 物体的速度为多大？解：FN20O0.10.30.4 ts 根据定积分的定义，用计算面积的方法，可得

5、这段时间内力的冲量为It0Fdt12(0.20.4)20 N s6 N s力的平均值为FIt6N 0.415 N 根据动量定理，有Im'm0所以'Im0m6331 m s3m s2-4一颗子弹由枪口射出时速率为0 m s ，当子弹在 枪筒 内 被加 速时 ， 它 所受 的合 力为F(abt ) N （a， b 为常数），其中t 的单位为秒 ( s ) 假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需的时间； 求子弹所受的冲量； 求子弹的质量解： 子弹走完枪筒全长所需的时间t ，由题意，得 F(abt )0 ，所以tab 子弹所受的冲量将 t=Iba 代入，得t(ab

6、t )dtat01 bt 22a 2I2b由动量定理可求得子弹的质量Ia2m02b02-9质量为 M的人手里拿着一个质量为m的物体，此人用与水平面成 角的速率0 向前跳去当他达到最高点时， 他将物体以相对于人为 u的水 平 速率 向后 抛出问：由于人抛出物体，他跳跃的距离增加了多少?(假设人可视为质点 )解：取如图所示坐标 把人与物视为一系统， 当人跳跃到最高点处， 在向左抛物的过程中 满足动量守恒，故有Mm 0 cos M m u式中 为人抛物后相对地面的水平速率， u为抛出物对地面的水平速率得m 0 cosu Mm的水平速率的增量为m 0 cosu Mm而人从最高点到地面的运动时间为t0

7、sin g所以，人跳跃后增加的距离xtm0 sin u Mmg2-11如图 2-22 所示，一质量为 m 的滑块在1 圆弧形滑槽中从静止滑下设圆弧形滑槽的质4量为 M 、半径为 R，略去所有摩擦力求当滑块m 滑到槽底时， 滑槽 M 在水平方向移动的距离图 2-22 习题 2-11 用图解：以 m 和 M为研究系统，所受的外力为重力 mg、Mg 与地面对滑槽的支持力N，如图所示，系统在水平方向不受外力，因此在水平方向 动量守恒。设在下滑过程中， m 相对于 M 的速度为，M 相对地的速度为 V 。在水平方向有求解上式，得m xVMV0mM Vxm设 m 在滑槽上滑行的时间为t，在水平方向相对于

8、M 移动的距离为 R，即txRdtmMtVdt0m0滑槽在水平方向移动的距离为smR mM第 3 章功和能习题参考答案：3-1 作用在质点上的力为F7 i6 j （SI制），求： 当一质点从原点运动到r3i4 j16k 时力F 所做的功； 如果质点从原点运动到0.6s，试求平均功率解： 由题知， F 为恒力，r3i4 j16k 处需A =Fr =7i6 j3i4 j16k45J 根据平均功率的定义式，得PA4575 Wt0.63-2 质点在外力F = 2 yi +4 j 的作用下在一平面内运动（ SI制），求下列情况下，质点从x2 运动到 x3 处该力做的功 质点的运动轨迹为抛物线x24 y

9、； 质点的运动轨迹为直线4 yx6 bb解：由A =Fd raa Fx d xFy d yFz d z ，得(1) 质点的运动轨道为抛物线为x24 y 时该力做的功xyxy329A1 =2Fx d xx12Fy d yy122 y d xx124d yy1xd x4 4d y2 2110.8 J(2) 质点的运动轨道为抛物线4 yx为6 时该力做的功xyxy39A2 =2Fx d xx12Fy d yy122 y d xx124d yy1x6d x2214 4d y21.25 J3-4质量为 m 的木板B 静止在光滑桌面上， 质量也为 m 的物体A（A 可视为质点） 放在木板B 的一端 现给物

10、体 A 一初始速度 0 使其在B 板上滑动，设 A、B 间的摩擦因数为 ，并设 A 滑到 B 的另一端时 A、B 恰好具有相同的速度 求B 板的长度 L 及 B 板走过的距离 x 解： A 向右滑动时， B 给 A 一向左的摩擦力， A给 B一向右的摩擦力，摩擦力的大小为mg 。将 A、B 视为一系统，摩擦力是内力，因此系统水平方向动量守恒，设A 滑到 B的右端时二者的共同速度为 ，则有m02m2解得 0再对 A、B 系统应用质点系动能定理并注意到摩擦力的功是一对力的功，可设 B 不动，A 相对 B 移动了 B 的长度为 L，摩擦力的功应为mgL ，代入质点系动能定理mgL1 2m21 m20

11、22可得2L04g为了计算 B 板走过的距离 x ，再单独对 B 板应用质点的动能定理，此时B 板受的摩擦力做正功 mgxmgx1 m222得x08 g3-19一质量为 m1 的弹丸，穿过如图3-29 所示2的摆锤后， 速率由 减少到 已知摆锤的质量为m2 ，摆线长度为l ，如果摆锤能在垂直平面内完成一个完 全的圆周运动，弹丸的速度的最小值应为多少 ?解：由水平方向的动量守恒定律，有m1 m12m2'图 3-29 习题 3-19 用图式中' 为摆锤在圆周最低点的运动速率为使摆锤恰好能在垂直平面内作圆周运动，2h在最高点时，摆线中的张力FT0 ，则m ' 2m2 gl式中

12、 ' h 为摆锤在圆周最高点的运动速率又摆锤在垂直平面内作圆周运动的过程中满足机械能守恒定律，故有1 m ' 21 m ' 22m gl2222h2联立上述三个方程求解，可得弹丸所需速率的最小值为2m2 m15 gl .3-24如图 3-33 所示，一个轻弹簧上端固定，下端系一个金属圆盘，弹簧伸长为l110cm一个质量和圆盘相同的泥球，从高于盘底h30cm 处由静止下落到盘上 求此盘向下运动的最大距离l2 解：第一个过程为泥球自由下落过程。为从距离顶端为 h 处自由落下，与盘碰撞前的速度为 ，由机械能守恒，得1 m22mgh1第二个过程为泥球与盘碰撞过 程。将盘和泥球看

13、做一个系统， 因二者之间的冲力远大于它们所受的外力 ( 包括重力和弹簧的弹力)，而且作用时间很短，可以认为动量守恒。设它们的质量均为m，它们碰撞后结合在 起以共同的速度 V 运动。沿 y 方向的动量守恒定律的分量式为图 3-33 习题 3-24 用图m 2mV2第三过程为泥球和盘共同下降的过程。选弹簧、 泥球、盘和地球为系统。 以泥球与盘共同开始运动为系统的始态， 二者到达最低点时为末态。 在此过程中只有重力、弹性力(均为保守力 )做功， 系统机械能守恒。 以弹簧的原长为弹性势能的零点，以盘到达最低位置为重力势能的零点。则系统的机械能守恒表达式为12m V 22mgl1 kl 21 kll23

14、2依题意，又由221212kl1mg4将式1 、2 、3 、4 联立，代人数据，可得l230 cm或l 210 cm （舍去）所以第 3 章功和能思考题3-1人从静止开始步行， 如鞋底在地面上不打滑，作用于鞋底的摩擦力是否做了功？人体的动能是从哪里来的？答：作用于鞋底的摩擦力没有做功。人体的动能是内力做功的结果。3-2 力的功是否与参考系有关？一对作用力与反作用力所做功的代数和是否与参考系有关？答：力的功与参考系有关。 因为力的功是力沿受力点位移方向上的分量和受力点位移大小 的乘积，而受力点位移是与参考系的选取有关的。一对作用力与反作用力所做功的代数和是与 参考系无关的。 因为一对作用力与反作

15、用力所做功的代数和是与相对位移有关的，而相对位移却是与参照系选取有关。3-3 外力对质点不作功时， 质点是否一定作匀速直线运动？答：外力对质点不作功时， 质点不一定作匀速直线运动，有两种情况：（1） ）若合外力 F =0，则质点将保持原来的运动状态不变。此即牛顿第一定律,原来静止的将仍然保持静止； 原来作匀速直线运动的， 将继续保持原有速度的大小和方向不变的匀速直线运动。（2） ）若合外力 F与质点的位移dr始终垂直，则合外力对质点不作功。如: 用细绳连接着的小球在光滑水平面内作圆周运动，拉力不作功。 此时的质点所作的是匀速率圆周运动，其动能虽然不变，但速度方向不断改变。3-4 物体组成的一个

16、系统，在相同时间内， 作用力所作的功与反作用力所作的功是否一定相等，二者的代数和是否一定等于零？答：作用力与反作用力其位移不一定相等， 所以作用力与反作用力的功大小不一定相等，二者代数和也不一定为零。3-5 非保守力作功总是负的说法对吗？举例说明之答:不对。一个物体放在水平传送带上， 物体与传送带无相对滑动， 当传送带作匀速运动时，静摩擦力对物体作功为零，当传送带作加速运动时， 静摩擦力对物体作功为正，当传送带作减速运动时，静摩擦力对物体作功为负。3-6 质点的动量和动能是否与惯性系的选择有关？质点的动量定理和动能定理是否与惯性系的选择有关？答：质点的位移、速度是相对的，其值与惯性系的选取有关

17、， 所以与之相关的动量和动能与惯性系的选择有关。虽在不同的惯性参考系中， 动量和动能各有不同的值， 但在每个惯性参考系中都存在各自的动量定理和动能定理，这就是 说，质点的动量定理和动能定理的形式与惯性系的选择无关。3-7 合力对物体所做的功等于物体动能的 增量，而其中一个分力做的功， 能否大于物体动能的增量？答：可以。因为合外力所做的功是指所有外力对物体所做功的代数和。其中正功使动能增 加，负功使动能减少，相互间有抵消，因而有可能存在某一个分力做的功大于合力做的功，即大于物体动能的增量。3-8 为什么重力势能有正负， 弹性势能只有正值，而引力势能只有负值?答对于势能而言， 只有相对意义， 因而

18、其值与参考位置 (即零点 )的选择有关。为了方便， 一般重力势能的零位置选在地面。这样，高于地面的物体其重力势能为正值， 低于地面的物体其重力势能为负值。 弹性势能的零位置选在没有形变时的平衡位置，其表示式为2pE1 kx2 ，无论离平衡位置距离为正还是为弹屈性势能都为正。对于引力势能，如果其零位置选在无穷远处，则其表示式为然为负。EG Mmp，显r3-9在式(3-14)A(EpEp0 )EP 中，我们已经知道保守力做的功等于质点势能增量的负值； 若假定保守力做的功等于质点势能增量的正值， 那又将如何呢？答：势能是由于系统内各物体间具有保守力作用而产生的， 因而它是属于系统的， 当保守力做正功

19、时， 要消耗系统的势能。 当保守力做负功时 ， 系 统 的 势 能 要 增 加 。 这 就 是 式 (3-14)A( EpEp0 )EP 中负号的含义。否则，保守力做正功时，不但不消耗势能，反而使势能增加了，从而违背了自然界普遍遵循的基本定律能量 守恒和转换定律。3-10 一物体可否只具有机械能而无动量？ 一物体可否只具有动量而无机械能？答：机械能是系统作机械运动的动能和势能的总和。动能与物体相对参考系的运动速度有 关，势能则属于保守力系统， 一物体所具有的势能，是相对势能零点而言的。若为保守力系统，且物体相对参考系静止，那么物体的动能为零， 动量也为零。 该系统的机械能就是物体相对系统势能零

20、点所具有的势能。 所以，一物体可以有机械能而无动量。例如：一 质量为m的物体（例如一气球）静止在相对地 面为 h 的高处，此时对于物体和地球系统， 具有的机械能为重力势能，其值为mgh。由于此时物体静止，故其动量为零。在保守力系统中， 若一物体运动至某一位置时所具有的动能值， 恰等于该位置相对势能零点所具有的负的势能值，则该物体的机械能为零， 而因物体具有动能，因而动量不为零。所以，一物体也可以有动量而无机械能。例如：物体自离地面高为 h 处自由下落，取物体和地球为系统， 并取下落处为重力势能零点。 初始时刻系统的机械能为零，下落之地面时，物2体具有的速度大小为，动能为m，系统的机械能为零。1

21、 m2 ，动量大小为3-11 以相同的动能从同一地点抛出两个物体，试问在下列两种情况下到达最高点时这两物体的动能是否相同？势能是否相同？答：（1）两物体的动能相同， 势能相同。（ 2）两物体的动能不相同，势能也不相同。3-12 质量相等的小球，分别从两个高度相同、倾角不同的光滑斜面的顶端由静止滑到底部，它们的动量和动能是否相等？答：动量和动能都是量度物体机械运动的的物理量。动量Pm是矢量，沿速度的方向；动能kE 1 m22是正值标量，它们的量值都与参考系无关。小球从光滑斜面下滑时，速度方向沿斜面，因此，两球到达底部时的动量方向不同。 两小球从高度 h 相同的斜面滑下时， 取小球、光滑斜面和地球

22、为系统。 因机械能守恒， 所以两球的动能相同，动量值也相等。3-13 质点系的机械能定理与动能定理的区别是什么？答：机械能定理从动能定理导出，形式上是动能定理的变形， 但这两者分析问题的思路是有区别的 如果取单个质点为研究对象时，应该使用质点的动能定理， 其中力所做的功指的是作用在物体上的所有力所做的总功，必须计算包括重力、弹性力等保守力在内的一切力所做的功当我们取系统为研究对象时，可以运用质点系的动能定理也可以运用质点系的机械能定 理在运用质点系的机械能定理时，由于应用了系统的势能这个概念， 保守内力的功已经被系统的势能增量所取代， 所以计算力做功时，应将保守内力所做的功除去3-14 用能量

23、方法和用牛顿定律各自求解哪些力学问题较方便？哪些力学问题不方便？答：牛顿定律是力的瞬时作用规律，在求解某一时刻对应的力、 加速度及运动过程中的细节问题时，用牛顿定律较为直接。若过程中物体间的相互作用关系复杂时，直接用牛顿定律处理会感到困难， 但又制涉及始末状态就可以求解的问题，用能量的方法较容易， 如求功、始末速度等和能量直接联系的量。很多情况两种方法结合使用，解决问题会更方便。3-15 在完全弹性碰撞中，哪些量保持不变？在非完全弹性碰撞中哪些量保持不变？答：完全弹性碰撞中， 动量守恒， 动能守恒； 在非完全弹性碰撞中只有动量守恒。习题3-1 作用在质点上的力为求：F 7 i6 j （SI制）

24、， 当一质点从原点运动到F 所做的功； 如果质点从原点运动到0.6s，试求平均功率解： 由题知， F 为恒力，r3ir3i4 j16k 时力4 j16k 处需A =Fr =7i6 j3i4 j16k45J 根据平均功率的定义式，得PA4575 Wt0.63-2 质点在外力F = 2 yi +4 j 的作用下在一平面内运动（ SI制），求下列情况下，质点从x2 运动到 x3 处该力做的功 质点的运动轨迹为抛物线x24 y ； 质点的运动轨迹为直线4 yx6 bb解：由A =Fd raa Fx d xFy d yFz d z ，得(1) 质点的运动轨道为抛物线为x24 y 时该力做的功xyxy32

25、9A1 =2Fx d xx12Fy d yy122 y d xx124d yy1xd x4 4d y2 2110.8 J(2) 质点的运动轨道为抛物线4 yx为6 时该力做的功A2 =x 2y 2Fx d xFy d yx1y1x 22 y d xx1y24d yy13 x6 d x2294 4d y121.25 J3-3 一物体在介质中按规律xct 3 作直线运动（ SI制）， c 为常量设介质对物体的阻力正比于速度的平方 试求物体由x00 运动到 xL 时，阻，得力所作的功 (已知阻力系数为 k )解：由阻力xct 3 dx dt3ct2,所以介质对物体的422 4fk2x39kc249

26、kc3 x 3阻力所作的功为9kc tc2427 L27L00AfdxL9kc 3 x3 dx9kc 33 x 327 kc 3 L37073-4 质量为 m 的木板B 静止在光滑桌面上， 质量也为 m 的物体A（A 可视为质点） 放在木板B 的一端 现给物体 A 一初始速度 0 使其在B 板上滑动，设 A、B 间的摩擦因数为 ，并设 A 滑到 B 的另一端时 A、B 恰好具有相同的速度 求B 板的长度 L 及 B 板走过的距离 x 解： A 向右滑动时， B 给 A 一向左的摩擦力，A给 B一向右的摩擦力，摩擦力的大小为mg 。将 A、B 视为一系统，摩擦力是内力，因此系统水平方向动量守恒，

27、设A 滑到 B的右端时二者的共同速度为 ，则有m02m2解得 0再对 A、B 系统应用质点系动能定理并注意到摩擦力的功是一对力的功，可设 B 不动，A 相对 B 移动了 B 的长度为 L，摩擦力的功应为mgL ，代入质点系动能定理0mgL1 2m21 m222可得2L04g为了计算 B 板走过的距离 x ，再单独对 B 板应用质点的动能定理，此时B 板受的摩擦力做正功 mgxmgx1 m222得x08 g3-5 用铁锤将一铁钉击入木板， 设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比 在铁锤击第一次时， 能将铁钉击入木板内 1cm，问击第二次时能击入多深？假设每次锤击铁钉前的速度相等，且锤与钉

28、的碰撞为完全非弹性碰撞 解：以木板上界面为坐标原点， 向木板内为y 坐标正向，则铁钉所受阻力为 f ky ，依题意每次锤击铁钉前的速度相等，故有动能定理有1 10 2ykf20EAkydykydy01 10解得y2210m所以第二次能击入的深度为y2y110 2m21102 m = 0.41410 2 m3-6 如图 3-20 所示，一个物体放在倾角为的长斜面上，斜面与物体间的摩擦系数为，当我0们沿斜面向上给物体以冲量时， 使物体在 P 点获P图 3-20 习题 3-6 用图26得初速度0 ，若物体可以返回至P 点求物体返32回至 P 点时的速度 的大小？解：因物体在沿斜面上升过程中，压力不作

29、 功，而重力和摩擦力都作负功，所以，物体的动 能一定是逐渐减少， 直到为零，这时速度也为零， 物体达到最高点。 在这之后， 它从最高点的静止状态能否下滑？这取决于斜面的倾角，只有tan大于 时，物体才能下滑。如果本题满足这一条件，就意味着mg sin大于 mg cos，作用于物体的合力沿斜面向下， 在下滑过程中， 合力的功大于零， 即物体的动能将会由逐渐增加， 物体的速度越来越大，物体也就一定能回到出发点P。设点 P 到最高点沿斜面的距离为l ，根据动能定理，从 P 到到最高点过程中，有Amgl sin mgl cos 01 m220解得2l02 g (sin cos )物体从 P 至最高点，

30、再回至P 点的整个运动过程中，运动路径为2l （它与摩擦力的功有关） ， 位移为零（它说明重力所作总功为零）。根据动能定理，有0A2 mgl cos 1 m21 m222将l 代入上式，便可解得物体返至P 点时的速率为 03-7 一汽车的速度sin cossin cos036kmh，驶至一斜率为0.010 的斜坡时，关闭油门设车与路面间的摩擦阻力为车重G 的 0.05 倍，问汽车能冲上斜坡多远？解：取汽车为研究对象。汽车上坡时，受到 三个力的作用：一是沿斜坡方向向下的摩擦力f ， 二是重力 G ，方向竖直向下，三是斜坡对物体的支持力 N 。设汽车能冲上斜坡的距离为s，此时汽车的末速度为0。根据

31、动能定理0fsGssin 01 m22上式说明， 汽车上坡时， 动能一部分消耗于反抗摩擦力作功，一部分消耗于反抗重力作功。因f = NG1 ，所以12G1sGssin m02按题意斜坡与水平面的夹角很小，所以sintan，G1Gmg ，上式可化成gsgstg1 220即代入已知数据得2102s022 g ( tg)s02 g ( tg)29.8(0.050.010)m85 m3-8 质量为 3.0 kg 的质点受沿 x 正方向的力作用，已知质点的运动方程为求力在最初 4.0 s内做的功x3t4t 2t 3（ SI 制），解：由动力学方程得质点的速度：则质点的动能为 dx dt38t3t 2k2

32、E1 m213.038t3t 222根据动能定理，力在最初4.0 s 内做的功AEE4.0E013.0384.034.02 232J528 J2kkk3-9 如图 3-21 所示，一质量为M 的木块静止于光滑的水平面上，一质量为m的子弹沿水平方向以速度0 射入木块内一段距离d 后停止于木块内假设木块对子弹的阻力是恒定不变的， 求子弹与木块一起运动的速度及子弹相对于木块静止时，木块滑动的距离L解：子弹与木块作为一个系统，水平方向不受力，其动量守恒。设子弹相对于木块静止时， 一起运动的速度为 ，由动量守恒定律，得m0mM图 3-21 习题 3-9 用图子弹与木块间的作用力为块应用动能定理，有f ，

33、此力为恒力，对木fL1 M22对子弹应用动能定理，有fdL1 m2212m20联立求解mmM0LmmMd3-10有一保守力轴作用于质点上，式中F =AxBx2i (SI制)，沿 OxA、B 为常量 取 x0 时EP0 ，试计算与此力相应的势能； 求质点从化x2m运动到 x3m 时势能的变解： 已知 x0 时EP0 ，则 x 处的势能为0EAFdxiAxBx2dxA x2B x30pxx 0xx23 当质点从量为x2m运动到 x3m 时势能的增EEE5 A19Bpp x 3p x 2233-11 一双原子分子的势能函数为126r0E (r )E2r0p0rr式中 r 为两原子间的距离，试证明：r

34、 0 为分子势能极小时的原子间距；r0 分子势能的极小值为E0； 当Ep(r )0时，原子间距离为6；2 画出势能曲线简图证明：当dE (r )d2 E (r )PP0,2drdr0 时，有EP ( r )mindE (r )drrr 11r 5PE (0 )122( 0 )6 12 E (00 )00drdrrr0r 13r 7即( r0 )11r所以( r0 ) 5 ，而 r0rrr0d2 EP ( r )12E115rr(13 070 ) ， 当 r2d Er0 时，P( r )12E (137 )72E00dr 20r 14r 8dr 20r 3r 3r 3rr0 时，EP ( r )

35、取最小值。000当rr0 时，EP (r )minE ( r0 )120r0r062()E 0r0r0 12r06r012r06由 EP (r )E0 (r)2(r) 0 ， 得( r )2()r0 ， 即( r0 ) 62r所以rr06 2（ 4）势能曲线简图如右图所示。3-12 在图 3-22 中，一个质量 m2kg 的物体从静止开始， 沿四分之一的圆周从A 滑到 B已知圆的半径 R4m ，设物体在 B 处的速度 6ms ，求在下滑过程中，摩擦力所作的功解：下滑过程中，物体受重力 G、摩擦力 f 和正压力 N 的作用， f 与 N 都是变力， N 处处和物体运动方向相垂直， 所以它不做功，

36、 但摩擦力做的功却因它是变力而使计算复杂起来。采用功能原理进行计算较为简便， 把物体和地球作为系统，则物体在 A 点时系统的能量 EA是系统的势能 mgR，而在 B 点时系统的能量 EB则是动能m2 2 ，它们的差值就是摩擦力所做的功，因此1212AEBEAmmgR26 J29.84 J42.4 J22负号表示摩擦力对物体作负功， 即物体反抗摩擦力作功 42.4 J3-13 如图 3-23 所示，一劲度系数为k 的弹簧，其一端固定在A点，另一端连一质量为m 的物体， 靠在光滑的半径为a 的圆体表面上， 弹簧原长为 AB，在变力 F 作用下，物体极缓慢的沿表面从位置 B 移到 C，求力 F 做的

37、功AOFmaCBBA图 3-22 习 题 3-12 用图图 3-23 习题 3-13 用图解：选点 B 处系统的重力势能、 弹性势能为零，由题意知点B 处系统的机械能EpB0 ，点 C处系统的机械能EpCmgasin 1 ka22 ，利用机械2能定理，得力 F 做的功为AFmgasin 1 ka2223-14 如图 3-24 所示，有一自动卸货矿车，满载时的质量为m1 ，从33与水平面成倾角 30斜面上的点A由静止下50滑设斜面对车的阻力为车重的0.25倍，矿车下滑距离 l 时，矿车与缓冲弹簧一道沿斜面运动当矿车使弹簧产生最大压缩形变时，矿车自动卸货， 然后矿车借助弹簧的弹性力作用， 使之返回

38、原位置 A 再装贷试问要完成这一过程， 空载时与满载时车的质量之比应为多大 ?解：取沿斜面向上为 x 轴正方向 弹簧被压缩到最大形变时弹簧的上端为坐标原点 O矿车在下滑和上行的全过程中， 按题意， 摩擦力所作的功为Af0.25m2g0.25m1 glx1式中 m1 、m2 分别为矿车满载和空载时的质量，x为弹簧最大被压缩量根据功能原理， 在矿车运动的全过程中， 摩擦力所作的功应等于系统机械能增量的负值，故有AfEEkEp由于矿车返回原位时速度为零，故Ek0 ，而Epm2m1g lxsin ，故有Afm2m1glxsin 21 、2 两式联立，解得m21m133-15 如图 3-25 所示，一质

39、量为 m1 的物块放置在固定不动的斜面的最底端A 处，斜面的倾角为，高度为 h ，物块与斜面的动摩擦因数为，今有一质量为m2 的子弹以速度0 沿水平方向射入物块并留在其中， 且使物块沿斜面向上滑动， 求物块滑出顶端时的速度大小图 3-24 习 题 3-14 用图图 3-25 习题 3-15 用图解：设碰后的共同速度为1 ，在子弹与物块的撞击过程中， 在沿斜面的方向上， 根据动量守恒有m20 cosm1m21在物块上滑的过程中， 若令物块刚滑出斜面顶端时的速度为 2 ，并取 A 点的重力势能为零由系统的功能原理可得mmg cos h1mm2mmgh1mm212联立两式，可得sin21221221

40、212m20 cos22ghcot 1m1m23-16 如图 3-26 所示，有一冰块从半径为 R 的半球形光滑屋面的最高点由静止沿屋面滑下，若摩擦力略去不计， 求此冰块离开屋面的位置以及在该位置的速度G图 3-26 习题 3-16 用图解：由系统的机械能守恒，有mgR11 m22mgRcos根据牛顿定律，冰块沿径向的动力学方程为m2mg cos FNR2冰块脱离球面时，支持力冰块的角位置FN0 ，由式 1 、2 可得 arccos2348.2冰块此时的速率为gR cos2Rg 3的方向与重力 G 方向的夹角为9041.803-17 劲度系数为 k 的弹簧上端固定在天花板上，下端竖直悬挂着图

41、3-27 习题 3-17 用图质量分别为m1、m2 的两个物体， 如图 3-27 所示开始两个物体都处于静止状态，若突然撤除m1 运动的最大速率m2 ，求解：取弹簧原长时其下端处为坐标原点，竖直向下为 y 轴的正方向。 取弹簧为原长时作为重力和弹性势能零点，突然撤除m2 后，m1 与弹簧一起运动的过程中， 满足机械能守恒， 速度最大时其动能最大，而势能最小。势能为m1 与弹簧任意时刻的E1 ky2m gy2p1由上式可求得，势能最小时，m1 的位置为yminm1 g1k所以E1 ky2m gypmin此时的机械能为22EEE1 ky2m gy2 min1min1 m 22撤除 m2 后pminkmaxmin1min1 maxm1 与弹簧的初始时刻的机械能为21mmmmm2m2Ek12gm1g12 g21 g22kk2k3联立1 、2 、3 式，得maxm2 g m1k3-18 如图3-28所示，把m0.2kg的小球放在A 处时，弹簧被压缩 l7.5102 m 然后从 A 处由静止被释放小球，在弹簧的弹性力作用下，小球沿轨道 ABCD运动小球与轨道间的摩擦略去不图 3-28 习题 3-18 用图计，已知 BCD 为半径 r0.1