模糊多准则决策方法

1、模糊集理论1 Fuzzy数(1 区间数定义1：设R是实数域，称闭区间为区间数，其中为区间数的下确界，为区间数的上确界，。设是任两个区间数，则区间数的基本运算定义为：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。定义2：设是两个闭区间，则它们的距离为：。其中表示决策者的风险态度，当时，称决策者是追求风险的，当时，称决策者是厌恶风险的，当时，称决策者是风险中性的，此时有：。定义3：两区间数的比较。（2）Fuzzy数定义4：一个模糊数是实数集上一个正规的凸模糊集。对模糊数A，它的隶属函数可表示为：其中为连续的单调递增函数，为连续的单调递减函数，分别称作左基准函数和右基准函数。为方便起见，记为。模糊

2、数A的-截集 ( 是R的闭区间，记为 。A、B是两个模糊数，有： ,(,，其中r为正实数。如果模糊数A的左、右基准函数为线性函数，则A称为梯形模糊数，记为 。两个梯形模糊数 、 的运算如下： ,(, ，其中r为正实数。目前，模糊数的大小比较、两模糊数的距离等没有公认的定义。模糊数的排序有许多不同的方法。定义5：两模糊数A与B的距离定义如下：。其中表示决策者的风险态度。从定义5可以看出，上述定义满足距离的3条公理。在后文中如无特殊说明， 表示。对于较复杂的基准函数，对0，1区间p等分，上式积分可用下式近似： 模糊数A与模糊数0的距离为：对于梯形模糊数，有 由定义5得到模糊数的比较方法：对于模糊数

3、，。对于梯形模糊数可以得到：2直觉模糊集与区间直觉模糊集直觉模糊集(Intuitionistic Fuzzy Sets 最初由Atanassov 提出，是对传统模糊集的一种扩充和发展。直觉模糊集增加了一个新的属性参数：非隶属度函数，能够更加细腻地描述和刻画客观世界的模糊性本质，因而引起众多学者的研究和关注。Atanassov 对直觉模糊集给出如下定义。定义6：设X 是一个给定论域，则X 上的一个直觉模糊集A 为：其中，和分别代表A 的隶属函数 和非隶属函数 ,且对于A上的所有 成立。显然,每一个传统模糊子集对应于下列直觉模糊子集 。对于X 中的每一个直觉模糊子集，称为A 中x 的直觉指数，它是

4、x 对A 的犹豫程度的一种测度。显然,对于每一个，。对于X 中的每一个传统模糊子集A ， 。定义在论域X 上的直觉模糊集记作IFS ( X 。定义7：直觉模糊集基本运算。设，则：；;；。定义8 ：设， ，则（1）；（2）。表示相应模糊概念下不比差，表示相应模糊概念下中优于。定义9：设X是有n个元素的有限论域，两直觉模糊数的Hamming距离定义为： 定义10：设X 是一个给定论域，则X 上的一个区间直觉模糊集A 为：其中：和分别代表A 的隶属函数 和非隶属函数 ,且对于A上的所有 成立。其中表示区间是所有闭子区间的集合。为方便，我们将区间直觉模糊集记为：，其中。称为A 中x 的直觉模糊区间，称

5、为直觉模糊指数。定义在论域X 上的区间直觉模糊集记作 。定义11：设X是有n个元素的有限论域， ，则两区间直觉模糊数的Hamming距离定义为： 其中，。Fuzzy多准则决策VIKOR方法VIKOR方法与TOPSIS方法一样，是取折衷解的多准则决策方法，该方法与TOPSIS方法各有特色，但目前该方法应用较少，而且未见与TOPSIS方法类似的扩展。为方便起见，只讨论梯形模糊数情形。设是Fuzzy MCDM问题的t个准则， 是m个方案，决策者给出方案在准则的值为Fuzzy数（不妨设）。设准则的权重为（）。，要确定方案集的排序。模糊多准则VIKOR方法的步骤如下：（1）规范化处理为消除不同物理量纲对

6、决策结果的影响，对各方案在每一准则下的值进行规范化处理，处理方法如下：若为成本型准则，则作下列变换：。若为效益型准则，则作下列变换：经上述处理并与1取极小值后的值，记为。对于梯形模糊数有：当为成本型准则，则作下列变换：。若为效益型准则，则作下列变换：。变换后的梯形Fuzzy数记为。（2）确定每一准则的理想值和负理想值，。（3）计算和 由上述两式计算得到的值是模糊数，记为：，。（4）计算其中：，表示准则多数重要程度，一般取。（5）按、和的值从小到大排序，得到三个方案排序序列，每一序列中排在前面的方案较排在后面的方案好。（6）方案集的折衷解为：是的排在最前面的方案，并满足下列条件：条件1：,其中是

7、的排在第二位的方案；条件2：是或/和的排在最前面的方案。如果上述一个条件不满足，则： 如果条件2不满足，方案和是其折衷解。 如果条件1不满足，由方案是其折衷解，其中满足条件。例：有一个5个方案，8个准则的模糊多准则决策问题，其数据表1所示。表1 方案的模糊评价值及准则权系数3.7,3.7,4.7,4.75.9,5.9,6.9,6.98,8,10,1030,30,40,401.5,1.5,2.5,2.54.7,4.7,5.7,5.74,4,6,665,65,75,753.0,3.0,4.0,4.04.2,4.2,5.2,5.24,4,6,660,60,70,703.5,3.5,4.5,4.54.

8、5,4.5,5.5,5.57,7,9,935,35,45,452.5,2.5,3.5,3.55.0,5.0,6.0,6.06,6,8,850,50,60,60权重0.0419,0.0419,0.0491,0.04910.0840,0.0840,0.0982,0.09820.1211,0.1211,0.1373,0.13730.1211,0.1211,0.1373,0.13733,3,5,590,90,100,1003,3,5,56,6,8,83,3,5,570,70,80,807,7,9,94,4,6,67,7,9,980,80,90,907,7,9,95,5,7,78,8,10,1085,8

9、5,95,956,6,8,87,7,9,95,5,7,785,85,95,954,4,6,68,8,10,10权重0.1680,0.1680,0.1818,0.18180.2138,0.2138,0.2294,0.22940.0395,0.0395,0.0457,0.04570.1588,0.1588,0.1706,0.1706利用MATLAB编程计算得：S：0.4290，0.8002，0.5225，0.3294，0.3853；R：0.1008，0.1069，0.0606，0.0692，0.0336；Q：0.4221，1.0000，0.3510，0.0683，0.1071；三个排序序列为：S：

10、；R：；Q：；因此， 和为折衷最优方案。利用模糊TOPSIS方法得到的结果与上述结果相同。因而上述结果是合理的。直觉模糊多准则决策方法设是MCDM问题的t个准则， 是m个方案，。决策者给出方案在准则相对于模糊概念“优秀”值为，这里和分别表示在准则下相对模糊概念的隶属度和非隶属度，满足，。 是一直觉模糊集。是直觉指数。已知准则权系数，确定方案集的排序。决策者给出准则的权系数相对于模糊概念“重要”的直觉模糊集。决策者能够通通过过减少直觉指数来改变他对在准则下相对模糊概念“优秀”的评价，因为他的评价值在闭区间中变化，其中，。决策者能够通通过过减少直觉指数来改变他对在准则下相对模糊概念“重要”的评价，因为他的评价值在闭区间中变化，其中，。对于每一方案，其最优综合值由下列线性规划模型确定： 上式可转化为： 求解上式得到最优解为：。对方案，计算： 其中，。按大小确定方案排序，越大，方案越优。例:一个多准则决策问题，有三个方案，三个准则，决策者根据自己的知识和经验和统计数据等确定每一方案关于每一准则相对于“优秀”的隶属度和非隶属度如表1所示。决策者给出准则相