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文档简介
1、第二章 系統模擬與控制器設計 第二章 系統模擬與控制器設計( 張正達、李冠德、張志瑋、蘇郁棣 共同製作 ) 2.1 數學模式化倒立單擺的模型如Fig.2-1所示,在X方向施以一定力f,使車子在X方向左右移動,同時桿子也相對的左右搖擺。本專題的目的就是設計一控制器控制施力f,使的桿子能持續向上直立,也就是=0,甚至進一步控制車子的位置到達某一定點X。:車子質量1.35kg:桿子質量0.0827kg:桿子長度0.48m:桿子密度:重力加速度9.8:對車子所施的力:桿子距中間的角度:車子移動的距離 Fig.2-1 Inverted pendulum model使用Lagrange Equa
2、tion來分析這個系統。Lagrange Equation即是完整系統用廣義座標表示的動力學方程。其典型表示式為 (j=1,2N),式中T是系統的動能,它必須用N個廣義座標和N個廣義速度來表示;是對應於廣義坐標的廣義力。對於保守系統還存在著勢函數V,因為有和的關係,所以令後,即得 ,其中L稱為Lagrange函數或稱為動勢。先根據模型求出系統動能T,其中Vm為桿子上微小質量dm的速度,可由dm位置座標的微分求得: (1) (2)再根據模型求出系統位能V: (3)如此一來便可算出Lagrange函數L: (4)對x這座標以Lagrange Equation 表示成一微分方程 (5) (6)同時對
3、這座標也可表示成相對的微分方程 (7) (8)將兩個座標得到的微分方程(6)(8)整理成矩陣形式 (9)為了之後分析方便,特地就跟整理成如下另一種矩陣形式 (10)2.2 控制器設計由數學模式化部分,已推出一非線性的數學式,但在設計控制器時,非線性系統並非設計者樂於見到,也不是能輕鬆處理的模式。一般而言,必須透過線性化(Linearlization)的過程來簡化系統,使系統成為方便設計的線性系統。簡化過程首先假設桿子左右移動的角度()很小,可以當成有如線性移動,透過假設( ),而非線性項()因影響不大,予以忽略。可將式(9)簡化成 (11)接著我們嘗試用兩種方法設計控制器(PID contro
4、ller及Pole assignment)分述如下2.2.1 PID controller由於一個PID控制器只能對一個方向作控制,在此選擇先控制角度,經由控制器提供一個力,使車子左右移動而將角度控制在零度。根據簡化後的線性微分方程式(11)可列出一聯立方程 (12) (13)由式(13) 代入式(12)整理可得 (14)經由拉氏轉換並整理得 (15)由式(15)可整理出原系統的數學式 (16)可求得原開路系統的極點為 ±5.66。發現原系統含有一個極點5.66在s平面右半面,為非穩定根,導致系統不穩定,需加上控制器將極點的位置修改到左半平面,使系統穩定。將原開路系統數學式G(s)通
5、分成如下型式以方便設計控制器 (17)而PID控制器的數學式則表示成PID(s) (18)Fig.2-2 System with PID controller根據Fig.2-2可列出閉路數學式(Close-loop Function)表示為M(s) (19)特徵方程式 所得的解即為閉迴路的極點,透過欲設計的極點位置即可獲得相對應的PID值。2.2.2 Pole Assignment根據簡化過的線性矩陣式(11)可整理成另一形式 (20) (21)將式(21)化成State-variable Form (22) (23)定義 (24) (25)其中 欲得其Free-motion Poles,可在
6、Matlab中執行eig(A)=0,0, ±5.6578。同樣可以發現原系統有一個極點5.6578在s平面的右半平面,為非穩定根,需藉由控制器將極點修正到左半平面,使系統穩定。Fig.2-3System with pole assignment control令 (26) (27)將(27)式經過拉氏轉換,並移項整理得 (28)已知為非零向量,所以 (29)K值的求法可藉Matlab中的 K= placeA b p 指令求得,其中p為控制後的迴路極點向量,將欲設計的左半平面極點代入,即可獲得相對的K值,使系統變成穩定。要使用Pole Assignment的控制方法,需先確定系統是否為
7、可控的(Controllable)。可利用Kalman Theorem:如果系統是State Controllable,那麼其controllability matrix 必須要滿秩。 (30)透過Matlab求得rank(s)=4,可確定此系統為Controllable。Controllable:存在一個控制力,可以將系統在任意初始狀態,於有限時間內到達原點或某一特定的值。2.3 電腦模擬根據式(10)的矩陣形式,可在Matlab中的simulink中將倒立單擺完整的數學模式描繪出來。要注意在設計控制器時,為了方便起見,將數學式線性化後才進行設計,但是在電腦模擬時,要將設計好的控制器套入未簡
8、化過的完整非線性系統,才能反應出真實系統的狀況,而且也可證明線性化的過程,並不會影響到實際系統的特性,仍可達到控制的效果。2.3.1 Pole Assignment控制器模擬根據上一節的討論,pole assignment的方法同時讀取位置與角度的狀態回授,再透過受控體閉迴路極點的選取,可同時控制位置及角度兩個變量。所以要有良好的控制結果,極點的選取將佔著極重要的角色。選擇控制後系統閉迴路的極點,有以下幾點準則:a. 倒立單擺為機械結構,一般而言反應時間約在1、2秒左右,太快的時間常數對系統而言是無意義的,配合這反應時間,其支配性極點( Dominant Pole )只須選在 1附近即可滿足需
9、求。b. 系統的時間響應特性主要由支配性極點決定,其他的極點若太靠近支配性極點太近,會破壞主極點的特性,一般而言其餘極點大都選擇在主極點的4-5倍遠,讓這些極點的時間響應迅速衰減。c. 根據上個原則所述,極點取的越遠衰減得越快,但也不能輕易將極點擺在太遠處,因為極點越遠衰減時所需的施力也越大,需平衡速度跟功率之間的關係。先前提到倒立單擺為機械結構,為一低頻系統,若極點大到超出系統的反應能力,會有無法控制的結果。d. 避免選取重根,根據根軌跡(root locus)法則,在重根那一點的根靈敏度(root sensitivity)為無窮大,k值只要有一點小變動,取得的根就可能有很大的差別,何況經由
10、計算出來的結果,必定經過四捨五入的進位,含有一定量的誤差,求出的根往往不再是重根,甚至連共軛複數根都不是,可能會造成不穩定的響應結果。e. 儘量不要選擇相距過遠的共軛複數根,此時複數的虛部相當大。已知實部影響衰減速度,虛部影響震盪頻率。虛部越大,震盪頻率越快,造成時間響應的震盪(damping)也會越大。由以上數點選取方法,選取數組數據加以模擬,經過不斷嘗試,其中當極點選在 P -1 4 5 -7有最佳的控制效果。使用Matlab指令K= placeA b p,運算結果得K=-6.2660 -9.9809 -59.4685 -10.6504。將此數值代回Simulink作模擬,Simulink
11、的接線圖如Fig.2-4所示。改變位置及角度前方積分器的初始值,即為系統一開始的位置及角度值,再加以模擬,模擬結果則列於下頁表2.1中。模擬結果不論是角度還是位置,最後都能控制到零點。當位置向右移動時,角度值則向左偏回,這現象和實際的狀況是相符合的,而且當起始位置或起始角度距零點越遠,則回歸零點的現象越激烈,經過兩變量互相的調整,最後同時回到零點。此控制器是經由線性化所設計出的控制器,只能用來控制小幅度的角度誤差,若是給予太大的值,可能模擬結果則無法與事實相結合。若要將此模擬結果直接套用到實際系統可能會是不適用的,須根據實際系統再加以調變。表2.1 Pole Assignment控制器位移與角
12、度的時間響應Initial value位置角度Position=-3 mAngle=0.7 radPosition=8 mAngle=-0.5radPosition=0 mAngle=1.3 radPosition=11 mAngle=0 radFig.2-4 Simulink with Pole Assignment Controller 2.3.2 PID控制器模擬PID控制器自角度取得誤差訊號,經由設計控制器回授系統來控制角度。 由式(19)閉迴路函數中得到的特徵方程式, 其中k = -2.28、a = 32。先設計閉迴路的極點位置,代入特徵方程式可分別求出KP、KI、KD的值。選取極點
13、的方法同Pole Assignment控制器時選取的方法一致,然後再微調KP、KI、KD的值,以達到最佳控制狀態。根據嘗試結果,最後獲得最佳的參數分別為KP = -25、KI = -0.19、KD = -5。帶回特徵方程式,求得最後閉迴路的極點分別為P -0.0175 -2.9364 -8.4461,這結果仍滿足當初選取極點的準則。將這三個參數代回Simulink中以作模擬,接線圖如Fig.2-5所示。改變角度前方積分器的初始值,即系統一開始角度的數值,根據不同的值進行模擬,其模擬結果列在下頁表2-2中。模擬結果角度最後均能回到零點,而位置則朝向另一方向一直增加,根據此一結果,若直接使用PID控制器來控制實際的倒立單擺,車子將會朝某一方向直到無窮遠,所以我們必須在倒立單擺兩端各加一段橫桿如實際系統照片所示,當車子往某一方向持續移動,桿子將會撞到加上的橫桿,而改變角度的偏向,帶動著車子馬上朝另一方向駛回,不至於有跑到無窮遠的疑慮。設計PID控制器時,先將系統線性化,而前提就是角度的數值不能太大。所以角度越小,此控制器的控制效果越好,若不停的將角度加大,可能會導致無法控制的結果,經過模擬,持續將角度增大,由位置的時間響應圖可知,車子在定時間內移動的位置將倍增,而能控
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