第二章 系统模拟与控制器设计

1、第二章 系統模擬與控制器設計 第二章 系統模擬與控制器設計( 張正達、李冠德、張志瑋、蘇郁棣 共同製作 ) 2.1 數學模式化倒立單擺的模型如Fig.2-1所示，在X方向施以一定力f，使車子在X方向左右移動，同時桿子也相對的左右搖擺。本專題的目的就是設計一控制器控制施力f，使的桿子能持續向上直立，也就是=0，甚至進一步控制車子的位置到達某一定點X。：車子質量1.35kg：桿子質量0.0827kg：桿子長度0.48m：桿子密度：重力加速度9.8：對車子所施的力：桿子距中間的角度：車子移動的距離 Fig.2-1 Inverted pendulum model使用Lagrange Equa

2、tion來分析這個系統。Lagrange Equation即是完整系統用廣義座標表示的動力學方程。其典型表示式為 (j=1,2N)，式中T是系統的動能，它必須用N個廣義座標和N個廣義速度來表示；是對應於廣義坐標的廣義力。對於保守系統還存在著勢函數V，因為有和的關係，所以令後，即得 ，其中L稱為Lagrange函數或稱為動勢。先根據模型求出系統動能T，其中Vm為桿子上微小質量dm的速度，可由dm位置座標的微分求得： (1) (2)再根據模型求出系統位能V： (3)如此一來便可算出Lagrange函數L： (4)對x這座標以Lagrange Equation 表示成一微分方程 (5) (6)同時對

3、這座標也可表示成相對的微分方程 (7) (8)將兩個座標得到的微分方程(6)(8)整理成矩陣形式 (9)為了之後分析方便，特地就跟整理成如下另一種矩陣形式 (10)2.2 控制器設計由數學模式化部分，已推出一非線性的數學式，但在設計控制器時，非線性系統並非設計者樂於見到，也不是能輕鬆處理的模式。一般而言，必須透過線性化(Linearlization)的過程來簡化系統，使系統成為方便設計的線性系統。簡化過程首先假設桿子左右移動的角度()很小，可以當成有如線性移動，透過假設( )，而非線性項()因影響不大，予以忽略。可將式(9)簡化成 (11)接著我們嘗試用兩種方法設計控制器(PID contro

4、ller及Pole assignment)分述如下2.2.1 PID controller由於一個PID控制器只能對一個方向作控制，在此選擇先控制角度，經由控制器提供一個力，使車子左右移動而將角度控制在零度。根據簡化後的線性微分方程式(11)可列出一聯立方程 (12) (13)由式(13) 代入式(12)整理可得 (14)經由拉氏轉換並整理得 (15)由式(15)可整理出原系統的數學式 (16)可求得原開路系統的極點為 ±5.66。發現原系統含有一個極點5.66在s平面右半面，為非穩定根，導致系統不穩定，需加上控制器將極點的位置修改到左半平面，使系統穩定。將原開路系統數學式G(s)通

5、分成如下型式以方便設計控制器 (17)而PID控制器的數學式則表示成PID(s) (18)Fig.2-2 System with PID controller根據Fig.2-2可列出閉路數學式(Close-loop Function)表示為M(s) (19)特徵方程式 所得的解即為閉迴路的極點，透過欲設計的極點位置即可獲得相對應的PID值。2.2.2 Pole Assignment根據簡化過的線性矩陣式(11)可整理成另一形式 (20) (21)將式(21)化成State-variable Form (22) (23)定義 (24) (25)其中 欲得其Free-motion Poles，可在

6、Matlab中執行eig(A)=0,0, ±5.6578。同樣可以發現原系統有一個極點5.6578在s平面的右半平面，為非穩定根，需藉由控制器將極點修正到左半平面，使系統穩定。Fig.2-3System with pole assignment control令 (26) (27)將(27)式經過拉氏轉換，並移項整理得 (28)已知為非零向量，所以 (29)K值的求法可藉Matlab中的 K= placeA b p 指令求得，其中p為控制後的迴路極點向量，將欲設計的左半平面極點代入，即可獲得相對的K值，使系統變成穩定。要使用Pole Assignment的控制方法，需先確定系統是否為

7、可控的(Controllable)。可利用Kalman Theorem：如果系統是State Controllable，那麼其controllability matrix 必須要滿秩。 (30)透過Matlab求得rank(s)=4，可確定此系統為Controllable。Controllable：存在一個控制力，可以將系統在任意初始狀態，於有限時間內到達原點或某一特定的值。2.3 電腦模擬根據式(10)的矩陣形式，可在Matlab中的simulink中將倒立單擺完整的數學模式描繪出來。要注意在設計控制器時，為了方便起見，將數學式線性化後才進行設計，但是在電腦模擬時，要將設計好的控制器套入未簡

8、化過的完整非線性系統，才能反應出真實系統的狀況，而且也可證明線性化的過程，並不會影響到實際系統的特性，仍可達到控制的效果。2.3.1 Pole Assignment控制器模擬根據上一節的討論，pole assignment的方法同時讀取位置與角度的狀態回授，再透過受控體閉迴路極點的選取，可同時控制位置及角度兩個變量。所以要有良好的控制結果，極點的選取將佔著極重要的角色。選擇控制後系統閉迴路的極點，有以下幾點準則：a. 倒立單擺為機械結構，一般而言反應時間約在1、2秒左右，太快的時間常數對系統而言是無意義的，配合這反應時間，其支配性極點( Dominant Pole )只須選在 1附近即可滿足需

9、求。b. 系統的時間響應特性主要由支配性極點決定，其他的極點若太靠近支配性極點太近，會破壞主極點的特性，一般而言其餘極點大都選擇在主極點的4-5倍遠，讓這些極點的時間響應迅速衰減。c. 根據上個原則所述，極點取的越遠衰減得越快，但也不能輕易將極點擺在太遠處，因為極點越遠衰減時所需的施力也越大，需平衡速度跟功率之間的關係。先前提到倒立單擺為機械結構，為一低頻系統，若極點大到超出系統的反應能力，會有無法控制的結果。d. 避免選取重根，根據根軌跡(root locus)法則，在重根那一點的根靈敏度(root sensitivity)為無窮大，k值只要有一點小變動，取得的根就可能有很大的差別，何況經由

10、計算出來的結果，必定經過四捨五入的進位，含有一定量的誤差，求出的根往往不再是重根，甚至連共軛複數根都不是，可能會造成不穩定的響應結果。e. 儘量不要選擇相距過遠的共軛複數根，此時複數的虛部相當大。已知實部影響衰減速度，虛部影響震盪頻率。虛部越大，震盪頻率越快，造成時間響應的震盪(damping)也會越大。由以上數點選取方法，選取數組數據加以模擬，經過不斷嘗試，其中當極點選在 P -1 4 5 -7有最佳的控制效果。使用Matlab指令K= placeA b p，運算結果得K=-6.2660 -9.9809 -59.4685 -10.6504。將此數值代回Simulink作模擬，Simulink

11、的接線圖如Fig.2-4所示。改變位置及角度前方積分器的初始值，即為系統一開始的位置及角度值，再加以模擬，模擬結果則列於下頁表2.1中。模擬結果不論是角度還是位置，最後都能控制到零點。當位置向右移動時，角度值則向左偏回，這現象和實際的狀況是相符合的，而且當起始位置或起始角度距零點越遠，則回歸零點的現象越激烈，經過兩變量互相的調整，最後同時回到零點。此控制器是經由線性化所設計出的控制器，只能用來控制小幅度的角度誤差，若是給予太大的值，可能模擬結果則無法與事實相結合。若要將此模擬結果直接套用到實際系統可能會是不適用的，須根據實際系統再加以調變。表2.1 Pole Assignment控制器位移與角

12、度的時間響應Initial value位置角度Position=-3 mAngle=0.7 radPosition=8 mAngle=-0.5radPosition=0 mAngle=1.3 radPosition=11 mAngle=0 radFig.2-4 Simulink with Pole Assignment Controller 2.3.2 PID控制器模擬PID控制器自角度取得誤差訊號，經由設計控制器回授系統來控制角度。 由式(19)閉迴路函數中得到的特徵方程式， 其中k = -2.28、a = 32。先設計閉迴路的極點位置，代入特徵方程式可分別求出KP、KI、KD的值。選取極點

13、的方法同Pole Assignment控制器時選取的方法一致，然後再微調KP、KI、KD的值，以達到最佳控制狀態。根據嘗試結果，最後獲得最佳的參數分別為KP = -25、KI = -0.19、KD = -5。帶回特徵方程式，求得最後閉迴路的極點分別為P -0.0175 -2.9364 -8.4461，這結果仍滿足當初選取極點的準則。將這三個參數代回Simulink中以作模擬，接線圖如Fig.2-5所示。改變角度前方積分器的初始值，即系統一開始角度的數值，根據不同的值進行模擬，其模擬結果列在下頁表2-2中。模擬結果角度最後均能回到零點，而位置則朝向另一方向一直增加，根據此一結果，若直接使用PID控制器來控制實際的倒立單擺，車子將會朝某一方向直到無窮遠，所以我們必須在倒立單擺兩端各加一段橫桿如實際系統照片所示，當車子往某一方向持續移動，桿子將會撞到加上的橫桿，而改變角度的偏向，帶動著車子馬上朝另一方向駛回，不至於有跑到無窮遠的疑慮。設計PID控制器時，先將系統線性化，而前提就是角度的數值不能太大。所以角度越小，此控制器的控制效果越好，若不停的將角度加大，可能會導致無法控制的結果，經過模擬，持續將角度增大，由位置的時間響應圖可知，車子在定時間內移動的位置將倍增，而能控