第五章模糊不确定性和模糊信息

1、 模糊信息处理理论与应用 又设 A(t 是性能退化的元件的集合，它的隶属函数是时间的函数，取做 % A ( , t = 1 e t / % m tm 这里 m > 0，tm > 0 。 则得到这组元件性能退化的概率为 1 P ( A(t = 2 % 0 0 (1 e t / mtm e / 0 d = 1 (1 + t 2 式中 = 0 / m tm 。 由上式可见 以及对 0 < t < 有 lim P( A(t 0， t 0 % lim P( A(t 0， 0 % lim P( A(t 1 t % lim P( A(t 1 % 5.5 一、可能性 可能性理论 可能性

2、概念和模糊集概念有着天然的联系，不过，可能性概念主要用于研究自然语言内 含的不精确性。在可能性的研究中变量通常呈现为语言变量而非数值变量。 1 0.7 年轻 0.2 28 35 年龄 基础变量 图 5.5.1 “年轻”的隶属函数 我们可以从下述例子引伸出可能性的含义。设“年轻”是论域 X=0，100的模糊集合， 它以图 5.5.1 所示的隶属函数来描述。给定某一个数值年龄，例如 x = 28 ，它在“年轻”这个 模糊集中的隶属度为 0.7。我们可以将 0.7 理解为 28 岁和“年轻”这个概念的相容程度。继而， 我们又可以设想到，若给定命题“约翰年轻” ，则约翰为 28 岁的可能性即为上述相容

3、程度， 即在给定“约翰年轻”的条件下，约翰年龄为 28 岁的可能性为 0.7。我们可以把“年轻”这 个模糊集看作为对约翰年龄取值的一个弹性约束。 下面，我们给出可能性分布的有关定义。 定义 5.5.1 的可能性。 设 X 是在 U 中取值的变量。关于 X 的可能性分布 X 看作是对 X 取值的 u u U） 1 来描述， X 表征了 X 取值为 （ 模糊约束。 X 以可能性分布函数 X (u ：U 0， 可能性公理 若 F 是 U 中的模糊集合且具有隶属函数 F (u ：U 0， 1 ，那么可 导出可能性分布 X ， X = F 。 也就是说， X 是F 给出了赋值方程 X = F ， 由命题

4、 “ X 是F ” 83 第五章 模糊不确定性和模糊信息 记作为 X 是F X = F (或记作X 是F X (u = F (u 上式表示，命题“ X 是F ”具有对 X 取值约束的效果，该约束以可能分布 X 来表征， 且X = F 。 上述公理说明，可能性分布可以由以自然语言表示的命题来导出。 例 5.5.1 设 U = 1 + 2 + L + 10 F = 小的 = 1/1 + 1/ 2 + 0.8 / 3 + 0.6 / 4 + 0.3 / 5 命题“ X 是小的”把可能性分布 X 联系于 X ，即 X = F 时，x 取值为 3 的可能性是 0.8， 即 X (3 = 0.8 。 以

5、0.8/3 这一项为例， 它说明给定 “ X 是小的” 类似于概率理论中的条件概率和联合概率，可以定义出条件可能性分布和联合可能性分 布。 定义 5.5.2 设 X 是 U 中的变量， Y 是 V 中的变量， F 是 U 中的模糊集合， G 是 V 中 的模糊集合。我们定义在给定“ X 是F ”的条件下，由“ Y 是G ”所导出的可能性分布为给 定 X 时 Y 的条件可能性分布，其可能性分布函数记作为 Y / X (v / u 。 定义 5.5.3 分布函数定义为 设 Y / X (v / u 是给定 X 时 Y 的条件可能性分布函数，X 和 Y 的联合可能性 ( X ,Y (u , v =

6、min X (u , (Y / X (v / u 二、可能性测度 定义 5.5.4 设 A 是论域 U 中的模糊集，它的隶属函数为 A (u ； X 是变量 X 在 U 中 取值的可能性分布函数。 A 的可能性测度定义为 % % % Poss X 是A = ( A % % uU = sup min A (u , X (u % 可能性测度是具有下列 3 条性质的映射 ：P ( X 0,1 ： 1º ( = 0 ； 2º A B ( A ( B ； % % % % 3º ( U Ai = sup ( Ai 。 iI % iI % 例 5.5.2 设可能性分布 X 如例 5.5.1 所述。又设模糊集 A = 0.6 / 3 + 1/ 4 + 0.4 / 5 。 可能性分布函数 X (u = F (u ， A 的可能性测度为 % ( A = maxmin(0.6, 0.8, min(1, 0.6, min(0.4, 0.3 % = 0.6 Poss X 是A = 0.6 % 84 % 即 模糊信息处理