3)重积分及其应用ppt课件

1、数学学院数学学院西安交通大学数学与统计学院 复变函数课程责任教授最优化理论博士、硕导中国-经济数学与管理数学学会理事长办公室电话动电话报告人 魏平数学学院数学学院数学学院数学学院1. 二重积分的概念二重积分的概念nkkkkf10),(limd ),(Dyxf2. 积分存在的条件与性质积分存在的条件与性质定理定理1 连续必可积连续必可积xzyoD),(yxfz i),(ii( ,)iif 数量值函数积分：数量值函数积分： 二重积分；二重积分；三重积分；三重积分；第一型线积分；第一型线积分；第一型面积分。

2、第一型面积分。 数学学院数学学院21( )( )(1)d( , )dbyxayxxf x yy21( )( )(2)d( , )ddxycxyyf x yxxyo)(xyd dx yabcd:,D axb12( )( ),y xyyx:,D cyd 12( )( ),xyxxy 在直角坐标系、极坐标系、曲线坐标下二重积分的计算在直角坐标系、极坐标系、曲线坐标下二重积分的计算01( , )dlim(,)nkkkkDf x yf dd dx y 1. 1. 在直角坐标系下二重积分的计算在直角坐标系下二重积分的计算数学学院数学学院xyo)(xyd dx yabcd(1)dr rd = d21( )(

3、 )(2)d( cos , sin ) drrf rrr r21( )( )(3)d( cos , sin ) dbrarrf rrr2. 2. 极坐标系下二重积分的计算极坐标系下二重积分的计算01( , )dlim(,)nkkkkDf x yf 12:, ( )( )Drrr :, ( )( ).D arbrr :cos ,sin ,Txryr 数学学院数学学院xyoxy3. 3. 曲线坐标系下二重积分的计算曲线坐标系下二重积分的计算( , )dDf x y ( , )0( , )uvuvxxx yJyyu v d d|d d .x yJu v :( , ),( , )Txx u vyy u

4、 v ouvuv( , )dDf x y ( ( , ), ( , )|d dDf x u vy u vJu v uov*( ( , ), ( , )|d dDf x u vy u vJu v 数学学院数学学院例例 1 1 改改变变积积分分 xdyyxfdx1010),(的的次次序序.原原式式 ydxyxfdy1010),(.解解积分区域如图积分区域如图oxyD1yx1:01,01.Dxyx :01,01.Dyxy 数学学院数学学院 njninjninn1221)(lim.d)1)(1 (1d(B).d)1)(1 (1d(A)0100210yyxxyyxxxx.d)1)(1 (1d(D).d)

5、1)(1 (1d(C)102101010yyxxyyxx【 】 2022-2-118例例2解解2211()()nnijnni nj 221111(1)(1( ) )nnijijnnn 21d d(1)(1)Dx yxy 1120011dd11xyxy (),n :01,01.DxyD数学学院数学学院max41kkI1| , 1|),(yxyx12(A ). (B).II如图，正方形如图，正方形),4 , 3 , 2 , 1( kDk被其对角线划分为四个区域被其对角线划分为四个区域那么34(C ). (D ).IIcos d d ,kkDIyxx y2022-2-119例3解11cos d dD

6、Iyx x y 22cos d dDIyx x y 33cos d dDIyx x y 44cos d dDIyx x y 0, 0, 3Dcos0yx 0, cos0yx 0, A数学学院数学学院oxyD 例4 10sinddxxyxyy 解解计算二重积分计算二重积分sind dDyx yy 11210sinddyyyyxy 10sin (1)dyyy 10(1)dcosyy 1100(1)coscos dyyy y 101sin y1sin1. :01,Dxxyx2:01,Dyyxy数学学院数学学院 例5 22max,d dxyDex y 计算积分计算积分 解 ( , )|01,01Dx

7、yxyoxy1D112D212222,( , )max,( , )yx yDxyxx yD 12DDD21d dyDex y 2100ddyyeyx 210dyey y 21012ye 1(1),2e1.e数学学院数学学院oxyD 例6 设积分域为22()d dDxyx y 解解222( , )|Dx yxya 计算二重积分计算二重积分2d dDrr r 2300ddarr 4024ar 42a cos ,sinxryr 例7 设积分域为22()d d49Dxyx y 22( , )|4Dx yxy 计算二重积分计算二重积分 数学学院数学学院oxyD 例8 设积分域为22d dxyDex y

8、解解222( , )|Dx yxya 计算二重积分计算二重积分2d drDe r r 2200ddare r r 20are 2(1)ae 例9 2dxex 计算定积分计算定积分 解 222d dxyIex y 2200ddrer r , 20re I 数学学院数学学院1利用对称性和奇偶性计算 DDyxfyxfyxfyxfyxfdyxfx),(),(; 0),(),(;d),(2),(0 Dy1) 1) 若积分域若积分域关于关于轴对称轴对称, , 那么那么: : DDyxfyxfyxfyxfyxfdyxfy),(),(0),(),(d),(2),(0 Dx2) 2) 若积分域若积分域关于关于轴

9、对称轴对称, , 那么那么: :2利用变量对称性计算Dxy .d),(d),( DDxyfyxf 假设假设关于关于对称对称, , 那么那么数学学院数学学院数学学院数学学院(1)先单后重oxyz)(xy),(1yxzz ),(2yxzz ( ):( , )()xyvx y),(),(21yxzzyxzA. A. 直角坐标系下三重积分的计算法直角坐标系下三重积分的计算法(2)先重后单 ( ):, ( , )().zvazbx y01( , , )dlim()nkkkVf x y zvf Pv 问题问题4. 4. 三重积分的计算问题三重积分的计算问题数学学院数学学院B.B.柱面坐标系下三重积分的计算

10、柱面坐标系下三重积分的计算cos02sin0 xyzzz ( , , )( , , )( , , )x y zJzz ( )( , , )dvf x y zv( )( cos ,sin , ) d d dvfzz C.C.球面坐标系下三重积分的计算球面坐标系下三重积分的计算sincos02sinsin0cos0 xryrzrr 2( , , )( , , )sin( , , )x y zJ rrr ( )( , , )dvf x y zv2( )( sincos , sinsin , cos )sin d d d .vf rrrrr 数学学院数学学院18 设设 ， ，那么那么 22221( ,

11、 , )|,0 x y zxyzRz 例112.d4d ;Ax vx v oxyz22222( , , )|,0,0,0 x y zxyzRxyz 12.d4d ;By vy v 12.d4d ;Cz vz v 12.d4d .Dxyz vxyz v C数学学院数学学院19 设设 ，那，那么么 . .1| ),(222zyxzyxzyxzddd2例2解解121dzz d dzDx y oxyzzD1221(1)dzzz 222:1zDxyz 112 ()35 415 数学学院数学学院20例3解解dddx vy vz v oxyz1xyz 1(23 )dxyzxyzv 设 是由平面与三个坐标平面

12、围成的空间区域,则dz v 10dd dzDz zx y 1201(1) d2zzz 1201(1)d2zzz 1.24 (23 )dxyzv 6dx v 1.4 1.4数学学院数学学院数学学院数学学院 重积分的应用微元法）重积分的应用微元法）;,)() 1 (dQd 上的量元素求出对应进行剖分先对.)()2(QdQ量上进行积分即得到所求在区域再将1、区域函数及其对域、区域函数及其对域 的导数的导数)( FF),()(lim0yxfF2、微分与积分的关系、微分与积分的关系),(yxfddFdyxfdF),(),(),()()(fdyxf),(lim)(lim00fdyxfd),()(3. 微元

13、法应用举例微元法应用举例数学学院数学学院2022-2-11rm ,) 1 (为距一直线或平面的距离的质点质量为.称为静矩则mr.,)2(使静矩保持相等量集中在该点质点系的质心即指当质oxy1m2m3m1y2y3yyymmm)(321321332211mmmymymymyiiimymyiiimxmx同理x332211ymymymMx A.质心与形心质心与形心数学学院数学学院非均匀物质薄板的质心非均匀物质薄板的质心oxy)(d( ),( , ).x y 设其区域为密度为 =xy),(yxM(1):轴的静矩分别为轴及它对yxydmdMx,y d xdmdMy,x d :,)()2(有作积分在区域;)

14、,()(dyxm();xMy d ();yMx d :),() 3(则由静矩平衡有设质心为yxxyMymMxm()(),x dxd ()()y dyd 数学学院数学学院设平面薄板由 )cos1()sin(tayttax，)20( t与x轴围成，它的面密度1 ，求形心坐标解解先先求求区区域域 D的的面面积积 A， adxxyA20)( 2022)cos1(dtta.32a Da 2a )(xy DydxdyAy1 )(0201xyaydydxA例例122404sind2tat 2408sindau u 56a 5( , )(,)6ax ya 数学学院数学学院B. B. 转动惯量转动惯量, , ,

15、) 1 (角速度为距一轴为的质点质量为rm.的转动惯量则质点对直线LLmr, rv则.)(2121222mrmv 动能2mrIL.平面的转动惯量质点对xy2mzIxy.的转动惯量质点对原点O)(222zyxmIo.轴的转动惯量则质点对z)(22yxmIzoxyz),(zyxp数学学院数学学院物质薄板的转动惯量物质薄板的转动惯量oxy)(d).,(),(yx密度为设其区域为xy),(yxM,),() 1 (dyxM处面积元素取点,),(dyxdm 对应的质量元素:轴的转动惯量分别为轴及它对yxdmydIx2,),(2dyxydmxdIy2,),(2dyxx:,)()2(有作积分在区域;),()(

16、2dyxyIx;),()(2dyxxIy.)()(22)(2dyxdmrIo.yxII 数学学院数学学院 设设 ，那么那么 的形心的竖坐标的形心的竖坐标 .1| ),(22zyxzyxz28例2解解10dz d dzDx y 10dz z 12 oxyz1dxyVMz v 10dz z d dzDx y 120dzz 13 2( , )(0,0,)3x y z zDdVVv 数学学院数学学院例例32222.xyzz求的形心坐标oxyz1解解2z222( ):02 2;vzxyzz20()dd dzz zx ydzzzz202)2(.34vVvd43xyvMz vd( , , )(0,0,1)x

17、 y z dvz vdVzv 4.3 积分技巧积分技巧数学学院数学学院例例4.)(DIR直径的转动惯量对密度为的球体求半径为解解)(22)(VzDdvyxII20d522235R.1585R积分技巧230si nd 40dRoxyz0d2220si nsi n dR ,32,zyzoIIIII oI 22sin d d dVr rr 5225R 23zoII 数学学院数学学院补充：利用对称性化简三重积分计算补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性；、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的、被积函数在积分区

18、域上的关于三个坐标轴的 一一般般地地，当当积积分分区区域域 关关于于xoy平平面面对对称称，且且被被积积函函数数),(zyxf是是关关于于z的的奇奇函函数数，则则三三重重积积分分为为零零，若若被被积积函函数数),(zyxf是是关关于于z的的偶偶函函数数，则则三三重重积积分分为为 在在xoy平平面面上上方方的的半半个个闭闭区区域域的的三三重重积积分分的的两两倍倍.奇偶性奇偶性数学学院数学学院解解积分域关于三个坐标面都对称，积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是被积函数是 的奇函数的奇函数,z. 01)1ln(222222 dxdydzzyxzyxz222222222ln(1)d ,( ):1.1

19、VzxyzIvVxyzxyz利用对称性简化计算其中例5数学学院数学学院数学学院数学学院（1 1第一类线积分概念第一类线积分概念01( , )dlim(,)nkkkkLf x ysfs （2转化为定积分计算:( ),( ),.L xx tyy tt 22( , )d( ( ), ( )dLf x ysf x ty txyt oxyABC1kpkp 例1 求 的周长。222xya问题问题1. 1. 在第一型线积分和第一型面积分中在第一型线积分和第一型面积分中dsd?S与是什么意思数学学院数学学院（3 3第一类曲面积分的概念第一类曲面积分的概念01( , , )dlim(,)nkkkkkf x y

20、zSfS kSxyk,nkSd cosd dSx y d cosd dSx z d cosd dzSy （4 4第一型面积分的计算第一型面积分的计算1( , , )d( , , ( , )d dcosDf x y zSf x y z x yx y 例2 求 的表面积。2222xyza数学学院数学学院1）.设光滑曲面 的方程是Dxyyxzz平面的投影为在且),(Szyxfd),(Dyxzyxf),(,(d122yxzz ( , )( ( , ), ( , ), ( , ),( , )2).如果 :rr u vx u vy u v z u vu vD( , , )d( , , )|d duvDf x y zSf x y zrru v( , , )03).如果 :F x y z1( , , )d( , , ( , )d dcosDf x y zSf x y z x yx y数学学院数学学院37例1解解22:1Lxy 2221,()d .LLyxxys 设平面曲线 为计算oxy22()dLxys dLs . 例2解解22221,(234)