求曲线、曲面积分的方法与技巧概要

1、求曲线、曲面积分的方法与技巧一.曲线积分的计算方法与技巧计算曲线积分一般采用的方法有：利用变量参数化将曲线积分转化为求定积分、利用格林公式将曲线积分转化为二重积分、利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积分、利用积分与路径无关的条件通过改变积分路径进行计算、利用全微分公式通过求原函数进行计算等方法。Wt+爪、例一.计算曲线积分其中£是圆工+V=上从原点叫到M.。的一段弧。本题以下采用多种方法进行计算。x=,解1:。.4的方程为L二，/'由0-4A由dv=.dx.0->2,71a-地+xdy-j2x-x'+,"W*iv2x-x2CFl1JMl一打,JM

2、l-i),=xy2i-x.dr+.ax|fJ"6T7衍7=2747-0=0.分析：解1是利用变量参数化将所求曲线积分转化为求定积分进行计算的，选用的参变量为尤因所求的积分为第二类曲线积分，曲线是有方向的，在这种解法中应注意参变量积分限的选定，应选用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。解2：在弧。月上取BU）点,«,dx=-dy.。打的方程为由。-&y由(JI、小-y=%ydx-dy.zm的方程为1=1+/l由8TAy由It。，wF分析：解2是选用参变量为J；利用变量参数化直接计算所求曲线积分的，在方法类型上与解1相同。不同的是以为参数时，路径，.不能用一个方

3、程表示，因此原曲线积分需分成两部分进行计算，在每一部分的计算中都需选用在该部分中参数的起始值作为定积分的下限。解3：0A的参数方程为'=1+cos化尸疝化L由OtBt08由tt。，dx=-疝0曲，加雎0M.J地+.助J卜疝0+(I+cos0icos。|曲-jJ-叱°-cos10d0=(-sin0sin功=(k解4：Q4的极坐标方程为-2我代”,因此参数方程为4“ro)s&-2雌8*八疝八2疝8cos机工由0t8TAS由力今02勺'd="4sincos0(10.dy-2(cos2fl-sin20)(10.jydx+xdy=r-8sin20cos2fl+

4、4cos2(cos:0-n'0)d&匕.241,.1131=413cos8+4cos8dd=4(3*-4'-)=0,Jo22422分析：解3和解4仍然是通过采用变量参数化直接计算的。可见一条曲线的参数方程不是唯一的，采用不同的参数，转化所得的定积分是不同的，但都需用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。解5:添加辅助线段A0,利用格林公式求解。因PQ ZPP"Q二 X dx cy1-1 = 0,于是,yds+xdy=dxdyaoafydxxdy=JOrfv=0,而20dPfP(a,y)dx+0(茁y)dy-Jj(-jdxdy分析：在利用格林公式,“将所求

5、曲线积分转化为二重积分计算时，当所求曲线积分的路径非封闭曲线时，需添加辅助曲线，采用“补路封闭法”进行计算再减去补路上的积分，但匕Q必须在补路后的封闭曲线所围的区域内有一阶连续偏导数。,是。的正向边界曲线。解5中添加了辅助线段4°，使曲线£+4。为正向封闭曲线。OQIP_解6：由于P二乂Q二工办'于是此积分与路径无关，故fydx+xdy-fydx+产期/的J.J，二ydx:xdy-Orfx=0.LOAiia"分析：由于匕。在闭区域。上应具有一阶连续偏导数，且在。内竺竺山,。丁因此所求积分只与积分路径的起点和终点有关，因此可改变在I.上的积分为在。4上积分，

6、注意0点对应的起点。一般选用与坐标轴平行的折线段作为新的积分路径，可使原积分得到简化。解7:由全微分公式0.分析：此解根据被积表达式的特征，用凑全微分法直接求出。t(z-+(a-z)rfr+(x-丁)改，例二.计算曲线积分厂,其中C是曲线*->+*=2,从轴正向往/轴负向看的方向是顺时针的。解1:设、表示平面Y-J'+z二2上以曲线为边界的曲面，其中工的正侧与1的正向一致，即工是下侧曲面，工在''面上的投影区域Qi:G心 dzdx dxdyA Jz- y x- z x-J+y=1由斯托克斯公式L,上7Jj)dv+(x-，)W+It-y)dzc解2:利用两类曲面积分

7、间的联系，所求曲线积分了可用斯托克斯公式的另一形式求得出1cosacospcos7-Lxrx-y=j(0+0+2cosy)dS,-CVS而平面E：'JT/-2的法向量向下，故取n=-U,-lf,分析：以上解1和解2都是利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积分计算的。在利用斯托克斯公式计算时首先应验证函数PJ'R在曲面E连同边界,上具有一阶连续的偏导数，且的正向与丫的侧符合右手规则。在计算空间曲线积分时，此法也是常用的。解3：将积分曲线用参数方程表示，将此曲线积分化为定积分。设COS&y=sinU,则，2-K六2-cos0+sin也6从27T0.f(z-jF)dv+(

8、a-/)W+M-|(2-cos)(-sintf)+(2cos-2-sin)cos0+(cos0sin0)(sin0+costf|2(sin9+cosd)-2cosS-cos20|曲=|2sin0-l-CGS=-2<f+炉+2公d羽例三.计算其中为曲线T+产+/=A"(I)星+y+z=0.(2)解1：由于当积分变量轮换位置时，曲线方程不变，而且第一类曲线积分与弧的方向无关，故有y' + z' )ds = j ds.jfd$=J/=j/由=；j(x由曲线是球面一 y iR上的大圆周曲线，其长为2盘故、2,4(F+yds=jR'2ff/f=不R.由于关于原点对

9、称，由被积函数为奇函数，得于是6( A2 +r、4y2+2为小=欣3解2：利用在上，R,=6(X' +4- z - z +原式2z)ds = R ds+ 21 zdsD262'ds2izR再由对称性可得,3（同解i）,于是i/?4=R'、?我R-、2rrR+2'0=trR*+上式分析：以上解1解2利用对称性，简化了计算。在第一类曲线积分的计算中，当积分变量在曲线方程中具有轮换对称性（即变量轮换位置，曲线方程不变）时，采用此法进行计算常常是有效的。, dx- xdv-r-例四.求 .一二：=其中£为椭圆曲线 9上在上半平面内从4-2t机4°卜的

10、弧。j12解：添加辅助线/为:二底的顺时针方向的上半圆周以及有向线段八C阴，其中£是足够小的正数，使曲线/二J包含在椭圆曲线+V=19-内。由于设广£而仇)=£颂仇有rvdx-xdvf*£2sin2O-E2ci2Of；i-曲-n,x'+y:屋-ydx-xdy-ydx-xdy|=0，再由上y图一y于是fydx-xdyrydxxdyJ一一L二JL"力+yJx'+/L*1*分析：利用格林公式求解第二类曲线积分往往是有效的，但必须要考虑被积函数和所考虑的区域是不是满足格林公式的条件。由于本题中在（°）点附近y八»xP

11、-tQ=-f+Ff+/无定义，于是采用在椭圆内部（°）附近挖去一个小圆，使被积函数在相应的区域上满足格林公式条件。这种采用挖去一个小圆的方法是常用的，当然在内部挖去一个小椭圆也是可行的。同时在用格林公式时，也必须注意边界曲线取正向。例五.求八分之一的球面?*yd（），川&/>°的边界曲线的重心，设曲线的密度解：设边界曲线£在三个坐标面内的弧段分别为Lh人，则上的质量为设边界曲线1的重心为（*，f/，则Ix= 一I xds邮£-Ards +10(Zs+ J由对称性可知分析：这是一个第一类曲线积分的应用题。在计算上要注意将曲线/分成三个部分：E

12、L,:z=OiAiR.y=4R：f.乙：,=0,°工，£*-jL另一方面由曲线关于坐标系的对称性，利用可、二y二尸简化计算。.曲面积分的计算方法与技巧计算曲面积分一般采用的方法有：利用“一投，二代，三换”的法则，将第一类曲面积分转化为求二重积分、利用“一投，二代，三定号”的法则将第二类曲面积分转化为求二重积分，利用高斯公式将闭曲面上的积分转化为该曲面所围区域上的三重积分等。D滥nT例六.计算曲面积分其中工为锥面，在柱体炉S2x内的部分。解：E在血平面上的投影区域为D:9+尸2*曲面工的方程为广(a,y)a因此jjzdS=jNT+yy,l+(ZJ2*储“瞰=<2J+/d

13、xdy.x=rcos日.对区域。作极坐标变换JF'in。，则该变换将区域。变成(,°)坐标系中的区域：-上M94二0442cos仇122因此U J £ + y dxdy =/而/J drQ ，L _-f? cos ' 8d® 3J4分析：以上解是按“一投，二代，三换”的法则，将所给的第一类曲面积分化为二重积分计算的。“一投”是指将积分曲面£投向使投影面积不为零的坐标面。“二代”是指将E的方程先化为投影面上两个变量的显函数，再将这显函数代入被积表达式。“三换”是指将的换成投影面上用直角坐标系中面积元素dS=Jj+()+()'dxdy

14、,表示的曲面面积元素，即西沙或<fS=,11+(+(),dzdx,dS=Jl+1y)+(-)dxdzr1或V1/上解中的投影区域在dS1+()2+():dxdy,'0'平面上，因此用代换M,由于投影区域是圆域，故变换成极坐标计算。例七.设半径为R的球面工的球心在定球面1F*/二丁轴>0)上，问R为何值时，球面£在定球面内部的那部分的面积最大？解：不妨设工的球心为口°，.，那么工的方程为'¥：(/d/二及二它与定球面的交线为X*+y+z2=A2,a+p=R"即设含在定球面内部的E上那部分球面在立卜面上的投影区域为D,那么

15、-R2)4 J且这部分球面的方程为/7J/，/)D.则:的面积为$叩鉴=jJJ+区六十(4财=砧/fjyy/?"-X*yn/r以下只需求函数S(iF在曲环上的最大值。3*SWM2K)=0，由令21得唯一驻点4a_4aR=,S)=-4*t<0.3且3由问题的实32 ：v ，不r的面积最大，为27K4宜R4白际意义知鼠R)在3处取得最大值。即3时,分析：本题是第一类曲面积分的应用题，在计算中关键是利用了球面的对称性，础上，按上题分析中的投，二代，三换”的法则即可解得结果和确定了含在定球面内部的E上那部分球面在"彷面上的投影区域/)0在此基例八.计算曲面积分J(2k+ z)

16、dydz4 zdxdy,其中S为有向曲面+V(O'?£lh其法向量与2轴正向的夹角为锐角解1：设%外分别表示s在N处平面，叩，平面上的投影区域,则,J(2ap4-z)dydz+zdxdyz)dydx+f|(a+y:)dxdyr%=-4jj，/二dyd/+jj(a'+y')dxdy./fjJ"。由应=f囹:/色=：仙-加力其中jj(21+z)dydz+zdxdy-4j+=-.所以分析：计算第二类曲面积分，若是组合型，常按“一投，二代，三定号”法则将各单一型化为二重积分这里的“一投”是指将积分曲面£投向单一型中已指定的坐标面。“二代”是指将E的

17、方程先化为投影面上两个变量的显函数，再将这显函数代入被积表达式。“三定号”是指依曲面£的定侧向量，决定二重积分前的“+”，“-”符号，当£的定侧向量指向坐标面的上(右，前)方时，二重积分前面取“+”，反之取“-”。,八dyd/d/dxdxdydS=解2:利用80口cos/化组合型为单一型.”也1十z)dy(k+zdxdy=|j12"2)："+zdxdy.cosa=-2xt因S的法向量与2轴正向的夹角为锐角,取八故有cos/于是二。|(2"z)(-2x)+zdxdy原式=|l-4x:-2x(x2+/)+(/+八八J|-2s(x:+y:dxdy=0

18、,因为"所以=Jj-4x-+(x-+y2JJdvrfx上式-4jrftfj(-4r'm'0+r')rdr=-yt分析：计算第二类曲面积分，若是组合型，也可利用公式5dydzdzdxdxdy<fS=三=8s口期P期7,先化组合型为统一的单一型，再按“一投，二代，三定号”法则将单一型化为为二重积分求得。解3:以5表示法向量指向2轴负向的有向平面1二1。十.产£1),D为辞在二呼平面上的投影区域，则jj(2*zdydz卜zdxdy=jj(-dxdy)=设。表示由S和所围成的空间区域，则由高斯公式得i + zdydz + zi/vJv-3(dO/i/r

19、.dz=-6#(r-rdrJoJoJrJflrr4I3=一6片1=和.24b2jj(2a+z)dydz+zdxdy=-匕-(-直二因此dparftPdy&+Qd/dx+Rdxdy=ff(-+-+)dxdyd/分析：利用高斯公式工口*,可将曲面积分化为三重积分求得。但必需满足巴Q，R在闭区域口上有一阶连续的偏导数，E是边界曲面的外侧。本题中的曲面5不是封闭曲面，故添加了金，使”为封闭曲面，并使S&S的侧符合高斯公式对边界曲面的要求。/=。*8户l)rfj/z+2(1-y2)dzdx-4yzdxdy例九：计算曲面积分其中工是由7=L14后工曲线v=0绕y轴旋转一周而成的曲面，其法向量与y轴正向的火角恒大于x2+/£2.Ei：1解：设1=3表示了二3上与y轴正向同侧的曲面，由£和一I所围立体记为Q,由高斯公式得件I）型也 + 2（1 y lt/zdr-4yzifxdy - JJ| dxdydz,口y+）dydz+2（1-炉）dzdx-4ydxdy因此11片由于£在工