三角函数教案设计

1、第四章 三角函数 总 第1教时4.1-1角的概念的推广1教学目的：推广叫的概念，引入正角、负角、零角；象限角、坐标上的角的概念；终边相同角的表示方法。让学生掌握用“旋转定义角的概念，并进而理解“正角“负角“象限角“终边相同的角的含义，以及相应的表示方法。从“射线绕其端点旋转而形成角的过程，培养学生用运动变化的观点审视事物；通过与数轴的类比，理解“正角“负角“零角，让学生感受图形的对称美、运动美。教学重点：理解并掌握正角、负角、零角、象限角的定义；掌握总边相同角的表示方法及判定。教学难点：把终边相同角用集合和符号语言正确的表示出来。过程：一、提出课题：“三角函数 回忆初中学过的“锐角三角函数它是

2、利用直角三角形中两边的比值来定义的。相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。二、角的概念的推广回忆：初中是任何定义角的？从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘 讲解：“旋转形成角P4突出“旋转 注意：“顶点“始边“终边“始边往往合于轴正半轴 “正角与“负角这是由旋转的方向所决定的。记法：角或 可以简记成由于用“旋转定义角之后，角的范围大大地扩大了。1( 角有正负之分 如：(=210( (=(150( (=(660(2( 角可以任意大 实例：体操

3、动作：旋转2周360(×2=720( 3周360(×3=1080(3( 还有零角 一条射线，没有旋转三、关于“象限角 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，那么此角不属于任何一个象限例如：30( 390( (330(是第象限角 300( (60(是第象限角 585( 1180(是第象限角 (2000(是第象限角等四、关于终边相同的角 1观察：390(，(330(角，它们的终边都与30(角的终边相同2终边相同的角都可以表示成一个0(到36

4、0(的角与个周角的和 390(=30(+360( (330(=30(360( 30(=30(+0×360( 1470(=30(+4×360( (1770(=30(5×360( 3所有与(终边相同的角连同(在内可以构成一个集合 即：任何一个与角(终边相同的角，都可以表示成角(与整数个周角的和4P6例1例1 在0°到360°范围内，找出与以下各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角(1)-120°；(2)640°；(3)-950°12解：(1)-120°=240°-360°，所以与-120

5、°角终边相同的角是240°角，它是第三象限角；(2)640°=280°+360°，所以与640°角终边相同的角是280°角，它是第四象限角；(3)-950°12=129°48-3×360°，所以与-950°12角终边相同的角是129°48，它是第二象限角 P5五、小结： 1( 角的概念的推广,用“旋转定义角 角的范围的扩大 2(“象限角与“终边相同的角六、作业： P7 练习1、2、3、4 习题1.4 1 总 第2课时 4.1-2 角的概念的推广(2)教学目的：进一步

6、理解角的概念，能表示特殊位置或给定区域内的角的集合；能进行角的集合之间的交与并运算；讨论等分角所在象限问题。教学重点与难点：角的集合之间的交与并运算；判断等分角的象限。过程：复习、作业讲评.新课：例一、P6例2 写出终边在y轴上的角的集合(用0°到360°的角表示)解：在0°到360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°，270°角(图4-4)因此，所有与90°角终边相同的角构成集合S1=|=90°+k·360°，kZ=|=90°+2k·180°，kZ，而所有与

7、270°角终边相同的角构成集合S2=|=270°+k·360°，kZ =|=90°+180°+2k·180°，kZ =|=90°+(2k+1)180°，kZ，于是，终边在y轴上的角的集合S=S1S2=|=90°+2k·180°，kZ|=90°+(2k+1)180°，kZ=|=90°+180°的偶数倍|=90°+180°的奇数倍=|=90°+180°的整数倍=|=90°+n

8、83;180°，nZ例二、P6例3、写出与以下各角终边相同的角的集合S,并把S 中适合不等式 -360o<720o的元素写出来： (1)60o (2)-21o (3)363o14解：(1)S=|=60°+k·360°，kZS中适合-360°720°的元素是60°-1×360°=-300°，60°+0×360°=60°，60°+1×360°=420°(2)-21°不是0°到360°的

9、角，但仍可用上述方法来构成与-21°角终边相同的角的集合，即S=|=-21°+k·360°，kZS中适合-360°720°的元素是-21°+0×360°=-21°，-21°+1×360°=339°，-21°+2×360°=699°(3)S=|=363°14+k·360°，kZS中适合-360°720°的元素是363°14-2×360°=-

10、356°46，363°14-1×360°=3°14，363°14+0×360°=363°14例三、用集合表示：1第二象限的集合；2终边落在y轴右侧的角的集合。解：1因为在0o360o范围内，第二象限角的范围为90o<0<180o，而与每个0角终边相同的角可记为o+k360o,(kZ),故该范围内每个角适合90o+k360o <0<90o+k360o,(kZ)所以第二象限的集合为|-90o+k360o <<90o+k360o,kZ。2因为在-180o180o范围内，y轴右

11、侧的角的范围为-90o<0<+90o，而与每个0角终边相同的角可记为o+k360o,(kZ),故该范围内每个角适合-90o+k360o <0<180o+k360o,(kZ)所以第二象限的集合为|90o+k360o <<180o+k360o,kZ。说明：特殊位置或给定区域内的角的集合的表示过步骤:1) 在0o360o范围内，找到特殊位置或给定区域内的角并记为0；然后写出与上述终边相同角的集合(二)习题4.1 .5(1)是锐角,那么2是 ( )(A)第一象限角. (B)第二象限角.(C)小于180o的角. (D)不大于直角的角.练习：课本第7页练习5, 习题4.

12、1 .5(2)作业：习题4.1. 3 (2)、(4)、(6)、(8) , 4总 第3教时4.2-1弧度制1教学目的：理解1弧度的角及弧度的定义，掌握弧度制与角度制互化，并能熟练的进行角度与弧度的换算；熟记一些的数角的弧度数。并进而建立角的集合与实数集一一对应关系的概念。通过弧度制的学习，使学生认识到角度与弧度都是度量角的制度，二者虽单位不同，但却是相互联系、辩证统一的；在弧度制下角的加、减运算可以象十进制一样进行，而不需要进行角度制与十进制之间的转化，化简了六十进制给角的加减、运算带来的诸多不便，表达了弧度制的简洁美。教学重点：使学生理解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。教学难点：1

13、、弧度制的概念及其与角度的关系，2、角的集合与实数集一一对应关系。过程：一、回忆复习度量角的大小第一种单位制角度制的定义。二、提出课题：弧度制另一种度量角的单位制，它的单位是rad 读作弧度 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。 如图：(AOB=1rad ，(AOC=2rad 周角=2(rad 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0；角(的弧度数的绝对值 为弧长，为半径用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同都是0 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。三、角度制与弧度制的换算 抓住：360(=2(rad 180(=( rad 1(=

14、 例一 把化成弧度 解： 例二 把化成度 解： 注意几点：1度数与弧度数的换算也可借助“计算器?中学数学用表?进行； 2今后在具体运算时，“弧度二字和单位符号“rad可以省略 如：3表示3rad sin(表示(rad角的正弦 3一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住见课本P9表 4应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。 任意角的集合 实数集R四、练习P11 练习1、 2 例三 用弧度制表示：1(终边在轴上的角的集合 2(终边在轴上的角的集合 3(终边在坐标轴上的角的集合 解：1(终边在轴上的角的集合 2(终边在轴上的角

15、的集合 3(终边在坐标轴上的角的集合 五、 小结：1弧度制定义 2与弧度制的互化六、作业： 课本 P11 练习 3、4 P12习题4.2 2、3总 第4教时4.2-2弧度制2教学目的：加深学生对弧度制的理解，理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活的在具体应用中运用弧度制解决具体的问题。通过弧度制与角度制的比拟使学生认识到映入弧度制的优越性，激发在学生的学习兴趣和求知欲望，培养良好的学习品质。教学重点:弧度制下的弧长公式，扇形面积公式及其应用。教学难点：弧度制的简单应用。1、过程：一、复习：弧度制的定义，它与角度制互化的方法。 口答 二、由公式： 比相应的公式简单 弧长等于弧所对的

16、圆心角的弧度数的绝对值与半径的积 例一 课本P10例三 利用弧度制证明扇形面积公式其中是扇形弧长，是圆的半径。 证： 如图：圆心角为1rad的扇形面积为： 弧长为的扇形圆心角为 比拟这与扇形面积公式 要简单 例二 直径为20cm的圆中，求以下各圆心所对的弧长 解： ： ： 例三 如图，扇形的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。解：设扇形的半径为r，弧长为，那么有 扇形的面积例四 计算 解： 例五 将以下各角化成0到的角加上的形式 解： 例六 求图中公路弯道处弧AB的长精确到1m图中长度单位为：m 解： 三、练习：P11 6、7 、8、9、10四、作业： 课本 P11 -12

17、P12-13 习题4.2 514总 第5教时4.3-1任意角的三角函数定义教学目的：生掌握任意角的三角函数的定义，熟悉三角函数的定义域及确定方法；理解(角与(=2k(+(k(Z)的同名三角函数值相等的道理。重点难点：三角函数的定义域及确定方法，终边相同角的同名三角函数值相等。过程：一、提出课题：讲解定义：设(是一个任意角，在(的终边上任取异于原点的一点Px,y那么P与原点的距离见图4-102比值叫做(的正弦 记作： 比值叫做(的余弦 记作： 比值叫做(的正切 记作： 比值叫做(的余切 记作： 比值叫做(的正割 记作： 比值叫做(的余割 记作： 注意突出几个问题： 角是“任意角，当(=2k(+(

18、k(Z)时，(与(的同名三角函数值应该是相等的，即但凡终边相同的角的三角函数值相等。 实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。下面有例子说明 三角函数是以“比值为函数值的函数 ，而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定今后将专题研究 定义域： 二、例题：例一 (的终边经过点P(2,(3)，求(的六个三角函数值 解： sin(=( cos(= tan(=( cot(=( sec(= csc(=( 例二 求以下各角的六个三角函数值 0 ( 解： 的解答见P16-17 当(=时 sin=1 cos=0 tan不存在 cot=0 sec不存在 csc=1 例三 求函数的值

19、域解： 定义域：cosx(0 x的终边不在x轴上 又tanx(0 x的终边不在y轴上当x是第象限角时， cosx=|cosx| tanx=|tanx| y=2 ,|cosx|=(cosx |tanx|=(tanx y=(2 , |cosx|=(cosx |tanx|=tanx y=0例四 角(的终边经过P(4,(3),求2sin(+cos(的值 角(的终边经过P(4a,(3a),(a(0)求2sin(+cos(的值 解：由定义 ： sin(=( cos(= 2sin(+cos(=( 假设 那么sin(=( cos(= 2sin(+cos(=( 假设 那么sin(= cos(=( 2sin(+cos(=三、小结：定义及有关注意内容四、作业： 课本 P19 练习1 P20习题4.3 3 总 第6教时4.3-2三角函数线教学目的：理解有向线段的概念、正弦线、余弦线、正余切线。要求学生掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。过程：一、复习三角函数的定义，指出：“定义从代数的角度揭示了三角函数是一个“比值二、提出课题：从几何的观点来揭示三角函数的定义：用单位圆中的线段表示三角函数值三