例析中考中探索性问题

1、例析中考中探索性问题索性试题是近几年来中考比较常见的开放型试题，也是中考数学试题中出现的一种新题型。今后的中考数学试题中必将继续出现这种题型，而且在质量上也会上一个新台阶。一. 常见的问题的类型： 1. 条件探索型结论明确，而需探索发现使结论成立的条件的题目。 2. 结论探索型给定条件，但无明确结论或结论不惟一。 3. 存在探索型在一定条件下，需探索发现某种数学关系是否存在。 4. 规律探索型发现数学对象所具有的规律性与不变性的题目。二. 常用的解题切入点： 1. 利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置）进行归纳、概括，从而得出规律。2. 反演推理法(反证法)，即假设结论成立，根据假

2、设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致 3分类讨论法当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果4、类比猜想法即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证以上并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用ABDEFGHC三、探索性问题归纳有四种题型:1、探索题设下的图形或数量之间的关系;2、探索解决问题的方法;3、探索图形具备某性质或关系的条件或结论;4、探索改变题设条件后结论是否变化.四、知识运用举例（一）条件探

3、索型例1（呼和浩特市中考）在四边形中，顺次连接四边中点，构成一个新的四边形，请你对四边形填加一个条件，使四边形成为一个菱形这个条件是_解：或四边形是等腰梯形（符合要求的其它答案也可以）。例2（荆门市中考）将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1图1图3图4图2（1）四边形ABCD是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_（2）如图2，将RtBCD沿射线BD方向平移到RtB1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_（3）在RtBCD沿射线BD方向平移的过程中，当点B的移动距离为_时，四边形ABC1D1为矩形，其理由是_；当点B的移动距

4、离为_时，四边形ABC1D1为菱形，其理由是_(图3、图4用于探究)解：（1）是，此时ADBC，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（2）是，在平移过程中，始终保持ABC1D1，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（3），此时ABC190°，有一个角是直角的平行四边形是矩形，此时点D与点B1重合，AC1BD1，对角线互相垂直的平行四边形是菱形（二）结论探索型例1 （北京市中考）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在中，点分别在上，设相交于

5、点，若，请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；图1（3）在中，如果是不等于的锐角，点分别在上，且探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论解：（1）回答正确的给1分（如平行四边形、等腰梯形等）（2）答：与相等的角是（或）四边形是等对边四边形（3）答：此时存在等对边四边形，是四边形证法一：如图1，作于点，作交延长线于点 ，为公共边， ， 可证 所以四边形是等边四边形证法二：如图2，以为顶点作，交于点图2，为公共边， ， ， 四边形是等边四边形说明：在结论探索题中，常见的一类就是探索存在性的问题，这类问题的特点是探求命题的结论是否存在。一般的求解方法是

6、：假设结论存在，如果求出的结论符合已知条件则结论存在；如果求出结论不符合已知条件或与定理、公理等相矛盾，则结论不存在。探求存在型试题可以考查学生的判断能力和发现问题、解决问题的能力。（三）存在探索型 存在性探索问题是指在某种题设条件下，判断具有某种性质的数学对象是否存在的一类问题.解题的策略与方法是：先假设数学对象存在，以此为条件进行运算或推理.若无矛盾，说明假设正确，由此得出符合条件的数学对象存在；否则，说明不存在例1 (内蒙古自治区呼和浩特市中考题)如图1，把矩形ABCD折叠使点C落在AB上的C¢处(不与A、B重合)，点D落在D¢处，此时，C¢D¢交

7、AD于E，折痕为MN. 如果AB=1，BC=，当点C¢在什么位置时，可使NBC¢C¢AE？图1 如果AB=BC=1，使NBC¢C¢AE的C¢还存在吗？若存在，请求出C¢的位置，若不存在，请说明理由.分析与解答 当C¢在距A点的时，可使NBC¢C¢AE.当矩形ABCD是边长为1的正方形时，假设存在这样的C¢，使NBC¢C¢AE，设AC¢=x，则有ÞBC¢=NC¢，这与B=90°矛盾，假设错误，故这样的C¢不存

8、在.例2 (湖北省武汉市中考题)已知：二次函数y=x2 -(m+1)x+m的图象交x轴于A(x1，0)、B(x2，0)两点，交y轴正半轴于点C，且x12 +x22 =10.求此二次函数的解析式；是否存在过点D(0，-)的直线与抛物线交于点M、N，与x轴交于点E，使得点M、N关于点E对称？若存在，求直线MN的解析式；若不存在，请说明理由. 分析与解答 依题意，得x1x2=m，x12 +x22 =10，x1 +x2 = m +1，(x1 +x2)2 -2x1x2 =10，(m+1)2 -2m=10，m=3或m= -3，又点C在y轴的正半轴上，m=3.所求抛物线的解析式为y=x2 -4x+3.假设存

9、在过点D(0，-)的直线与抛物线交于M(xM，yM)、N(xN，yN)两点，与x轴交于点E，使得M、N两点关于点E对称.M、N两点关于点E对称，yM +yN=0. 设直线MN的解析式为：y=kx-.由得x2 -(k+4)x+=0，xM +xN =4+k，yM +yN =k(xM +xN)-5=0. k(k+4)-5=0，k=1或k = -5. 当k=-5时，方程x2 -(k+4)x+=0的判别式<0，k=1，直线MN的解析式为y=x-. 存在过点D(0，-)的直线与抛物线交于M、N两点，与x轴交于点E，使得M、N两点关于点E对称.例3（乐山市中考）如图（13），在矩形中，直角尺的直角顶点

10、在上滑动时（点与不重合），一直角边经过点，另一直角边交于点我们知道，结论“”成立（1） 当时，求的长；PAEBCD图（13）（2） 是否存在这样的点，使的周长等于周长的倍？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由解（1）在中，由，得，由知，（2）假设存在满足条件的点，设，则由知，解得，此时，符合题意例4 （临沂市中考）如图261，已知抛物线的顶点为A(O，1)，矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在轴上，CF交y轴于点B(0，2)，且其面积为8(1)求此抛物线的解析式；(2)如图262，若P点为抛物线上不同于A的一点，连结PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作轴的垂线，垂足分别为S、R

11、求证：PBPS；判断SBR的形状；试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似，若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由解：方法一：B点坐标为(0，2)，OB2，矩形CDEF面积为8，CF=4.C点坐标为(一2，2)F点坐标为(2，2)。设抛物线的解析式为其过三点A(0，1)，C(-22)，F(2，2)。得 解得 此抛物线的解析式为 方法二：B点坐标为(0，2)，OB2，矩形CDEF面积为8， CF=4.C点坐标为(一2，2)。 根据题意可设抛物线解析式为。其过点A(0，1)和C(-22) 解得此抛物线解析式为(2)解：过点B作BN，

12、垂足为NP点在抛物线y=+l上可设P点坐标为PS，OBNS2，BN。PN=PSNS= 在RtPNB中PB2PBPS 根据同理可知BQQR。，又 ，同理SBPB . SBR为直角三角形 方法一：设，由知PSPBb，。假设存在点M且MS，别MR 。若使PSMMRQ，则有。即。 SR2M为SR的中点. 若使PSMQRM，则有。M点即为原点O。综上所述，当点M为SR的中点时PSMMRQ；当点M为原点时，PSMMRQ 方法二：若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点三角形相似，有PSMMRQ和PSMQRM两种情况。 当PSMMRQ时SPMRMQ，SMPRQM 由直角三角形两锐角互余性质知PMS+

13、QMR90°。 取PQ中点为N连结MN则MNPQ= MN为直角梯形SRQP的中位线,点M为SR的中点 当PSMQRM时，。又，即M点与O点重合。点M为原点O。综上所述，当点M为SR的中点时，PSMMRQ；当点M为原点时，PSMQRM。 点拨：通过对图形的观察可以看出C、F是一对关于y轴的对称点，所以（1）的关键是求出其中一个点的坐标就可以应用三点式或 y=ax2+c型即可而对于点 P既然在抛物线上，所以就可以得到它的坐标为（a，a2+1）这样再过点B作BNPS得出的几何图形求出PB 、PS的大小最后一问的关键是要找出PSM与MRQ相似的条件（四）规律探索型规律探索问题是根据已知条件或

14、所提供的若干个特例，通过观察、类比、归纳，提示和发现题目所蕴含的本质规律与特征的一类探索性问题例1（资阳市中考）设a13212，a25232，an(2n1)2(2n1)2 (n为大于0的自然数)（1） 探究an是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2） 若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”. 试找出a1，a2，an，这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，an为完全平方数(不必说明理由) 解：（1） an(2n1)2(2n1)2，又 n为非零的自然数， an是8的倍数这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数 说明：

15、第一步用完全平方公式展开各1分，正确化简1分（2） 这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256n为一个完全平方数的2倍时，an为完全平方数 (五)其它五、探索最值问题 例 如图，ABC中，BC=4，AC=2，ACB=60°，P为BC上一点，过点P作PD/AB，交AC于D。连结AP，问点P在BC上何处时，APD的面积最大？ 分析：从题目条件看本题是一个几何问题，而从所求结论看，是求最大值的代数问题，因此把几何问题转化为代数中的函数问题是指导我们思路的灵魂。为了实现这种转化，就要把静止转化为运动，把位置关系转化为数量关系，得出函数的解析式，使问题得以解决。 如设BP=x，则点P在BC边上的运动转化为x的取值变化，并且图形中APD的存在条件制约了x的取值，所以0<x<4，这些都体现了位置关系与数量关系的转化。ABC的面积是常量，ABP，APD，PDC的面积都是变量，ABP面积虽然是变量，但BP边上的高是常量，PCD面积是变量，但变化中PCD始终与BCA相似，这些