【高考四元聚焦】2014届高三数学一轮复习 第16讲 导数的综合应用对点训练 理

1、1.(2012·广东省深圳市期末)在半径为R的半球内有一内接圆柱，则这个圆柱的体积的最大值是( A )A.R3 B.R3C.R3 D.R3解析：设圆柱的高为h，则圆柱的底面半径为，圆柱的体积为V(R2h2)hh3R2h(0<h<R)，V3h2R20，当h时，V有最大值为VR3，故选A.2.(2013·山东济南模拟)已知函数yf(x)是定义在R上的奇函数，且当x(，0)时，都有不等式f(x)xf(x)<0成立若a30.3·f(30.3)，b(log3)·f(log3)，clog3·f(log3)，则a，b，c的大小关系是( C

2、)Aa>b>c Bc>b>aCc>a>b Da>c>b解析：令F(x)x·f(x)，则F(x)f(x)x·f(x)，又由x<0时，F(x)f(x)x·f(x)<0，可知F(x)在(，0)上为减函数因为f(x)为R上的奇函数，所以F(x)x·f(x)为R上的偶函数，则F(x)在(，0)上为减函数，在(0，)上为增函数，图象关于y轴对称因为1<30.3<<2,0<log3<1，log32，因为F(x)x·f(x)为R上的偶函数，所以F(2)F(2)，因为log

3、3<30.3<2，而F(x)在(0，)上为增函数，所以c>a>b，故选C.3.(2012·河北邢台市11月)已知函数f(x)x3x，则不等式f(2x2)f(2x1)>0的解集是( D )A(，1)(1，)B(1，1)C(，1)(3，)D(1,3)解析：因为f(x)x3xf(x)，所以函数f(x)为奇函数又f(x)x21>0，所以函数f(x)为增函数，于是由f(2x2)f(2x1)>0得f(2x1)>f(2x2)f(x22)，所以2x1>x22，解得1<x<3.4.(2013·江西省考前适应性训练)已知正六棱柱

4、的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大(柱体体积底面积×高)时，其高的值为( B )A3 B2C. D.解析：以正六棱柱的最大对角面作截面，如图设球心为O，正六棱柱的上下底面中心分别为O1，O2，则O是O1O2的中点设正六棱柱的底面边长为a，高为2h，则a2h29.正六棱柱的体积为V6×a2×2h，即V(9h2)h，则V(93h2)，令V0得极值点h，不难知道这个极值点是极大值点，也是最大值点故当正六棱柱的体积最大时，其高为2.5.(2012·江苏省南京市、盐城市第一次模拟)若关于x的方程kx1ln x有解，则实数k的取值范围是(，.

5、解析：因为x0，所以分离参数可得k，故方程kx1ln x有解，即k的取值为函数f(x)的值域又f(x).令f(x)0，则xe2，当x(0，e2)时，f(x)>0，当x(e2，)时，f(x)<0，所以f(x)maxf(e2)，故实数k的取值范围是(，6.某企业现有甲、乙两个项目的投资计划，若投资甲项目资金p万元，则获得利润p万元；若投资乙项目资金q万元，则获得利润ln q万元已知该企业投资甲、乙两项目资金共10万元，且甲、乙两项目投入资金都不低于1万元，则甲项目投入6万元，乙项目投入4万元，能使企业获得的最大利润为1.6万元(精确到0.1，参考数据ln 20.7)解析：设投入乙项目x

6、万元，则甲项目投入(10x)万元，且1x9，所获总利润y(10x)ln x(1x9)，所以y，由y0，得x4.而当x(1,4)时，y>0；当x(4,9)时，y<0，所以当x4时，ymax×2×0.71.561.6.故甲项目投入资金6万元，乙项目投入资金4万元，企业获得最大总利润1.6万元7.(2013·浙江台州市模拟)已知f(x)x33xm在区间0,2上任取三个数a，b，c，均存在以f(a)，f(b)，f(c)为边长的三角形，则m的取值范围是(6，).解析：由f (x)3x230得x11，x21(舍去)，所以函数f(x)在区间(0,1)上单调递减，在区

7、间(1,2)上单调递增，则f(x)minf(1)m2，f(x)maxf(2)m2，由题意知，f(1)m2>0，f(1)f(1)>f(2)，得到42m>2m，由得到m6为所求8.(2012·江西省上饶县第三次模拟)已知函数f(x)x2ln x.(1)若a1，证明f(x)没有零点；(2)若f(x)恒成立，求a的取值范围解析：(1)当a1时，f(x)x2ln x，f(x)x.由f(x)0，得x1，可得f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，故f(x)的最小值f(x)minf(1)>0，所以f(x)没有零点(2)f(x)ax，()若a>0时，令f(

8、x)0，则x，故f(x)在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增，故f(x)在(0，)上的最小值为f()ln a，要使f(x)恒成立，只需ln a，得a1.()若a0，f(x)<0恒成立，f(x)在(0，)上单调递减，f(1)0，故不可能f(x)恒成立，综上所述，实数a的取值范围是a1.9.某工厂生产某种产品，每日的成本C(单位：元)与日产量x(单位：吨)满足函数关系式C1000020x，每日的销售额R(单位：元)与日产量x的函数关系式R，已知每日的利润yRC，且当x30时，y100.(1)求a的值；(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值解析：(1)由题意可得y.因为x30时，y100，所以100×303a×302270×3010000，所以a3.(2)当0<x<120时，yx33x2270x10000，yx26x270.由yx26x