小学奥数中国剩余定理及余数性质拓展精选练习例题含答案解析(附知识点拨及考点)

1、教学目标5-5-4.中国剩余定理及余数性质拓展1.系统学习中国剩余定理和新中国剩余定理2.掌握中国剩余定理的核心思想，并灵活运用切住 知识点拨中国剩余定理一一中国古代趣题(1)趣题一中国数学名著孙子算经里有这样的问题：今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰： 七十三。”此类问题我们可以称为 物不知其数”类型，又被称为 韩信点兵韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人。刘邦茫然而不知其数。我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、1

2、3人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945 (注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小 公倍数为这些数的积)，然后再加3,得9948 (人)。孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说 上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国 剩余定理(Chinese Remainder Theorem)在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。(2)趣题二我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答物不知其数”问题(即：有物不知其数，三三数之剩二，五五

3、数之剩三，七七数之剩二，问物几何？)时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知.”这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为中国剩余定理 ”(Chinese RemainderTheorem),是我国古代数学的一项辉煌成果.诗中的每一句话都表示一个步骤：三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘.五树梅花廿一枝，是说除以 5所得的余数用21乘.七子团圆正月半，是说除以 7所得的余数用15乘.除百零五便得知，是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数.此题的中国剩余定理的解法是：用 70乘3除所得的余数，21

4、乘5除所得的余数，15乘7除所得的 余数，把这3个结果加起来，如果它大于 105,则减去105,所得的差如果仍比105大，则继续减去105, 最后所得的整数就是所求.也就是 2父70+3父21+2父15 = 233, 233T05 = 128, 128-105=23为什么70, 21, 15, 105有此神奇效用？ 70, 21, 15, 105是从何而来？先看70, 21, 15, 105的性质：70被3除余1,被5, 7整除，所以70a是一个被3除余a而被5与7整除的数；21是5除余1,被3与7整除的数，因此21b是被5除余b,被3与7整除的数；同理15c 是被7除余c,被3、5整除的数，

5、105是3, 5, 7的最小公倍数.也就是说， 70a+21b+15c是被3除余 a,被5除余b,被7除余c的数，这个数可能是解答，但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数.了解了剩余定理”的秘密后，对类似于上面的题目，我们都可以用中国剩余定理来解答.二、核心思想和方法对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以孙子算经 中的问题为例，分析此方法：今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3, 5, 7后，得到三个余数分别为2, 3, 2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1

6、 ,并且还是5和7的公倍数。先由5 M7 =35,即5和7的最小公倍数出发，先看 35除以3余2,不符合要求，那么就继续看 5和7的 下一个"倍数35M2 =70是否可以，很显然 70除以3余1类似的，我们再构造一个除以5余1,同时又是3和7的公倍数的数字，显然 21可以符合要求。最后再构造除以7余1,同时又是3, 5公倍数的数字，45符合要求，那么所求的自然数可以这样计算：2 M70+3父21+2父45 ±k3,5,7 =233-k3,5,7,其中 k是自然数。也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求 的数。例如对上面的问

7、题加上限制条件满足上面条件最小的自然数 ”，那么我们可以计算 2父70+3父21+2父45-2父3,5,7 =23得到所求如果加上限制条件 满足上面条件最小的三位自然数”，我们只要对最小的 23加上3,5,7即可，即23+105=128。例题精讲模块一、余数性质综合【例1】 一个数除以3的余数是2,除以5的余数是1,则这个数除以15的余数是。【考点】余数性质综合【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，初赛，8题【解析】 除以3余2的数有：2、5、8、11、14除以5余1的数有：1、6、11、16、21 观察得到符合条件的答案是11【答案】11【例2】 有一群猴子正要分 56个桃子.每

8、只猴子可以分到同样个数的桃子。这时.又窜来 4只猴子。只好 重新分配，但要使每只猴子分到同样个数的桃子，必须扔掉一个桃子.则最后每只猴子分到桃子 一个。【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，六年级，初赛，第 19题，6分【解析】56的约数有：1、2、4、7、8、14、28、56,55 的约数有：1、5、11、55,其中只有11=7+4,所以原来有7只猴，后来有11只猴，每只猴子分到 55 41=5个.【答案】5【巩固】一群猴子分桃，桃子共有 56个，每只猴子可以分到同样多的桃子。但在它们正要分桃时，又来了 4 只猴子，于是重新分配这些桃子，结果每只猴子分到的桃子数量相同

9、，那么最后每只猴子分到 个桃子。【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第 7题，4分【解析】56的因数有1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56,其中只有4和8相差4,所以最后有猴子 8只，每只猴 子分到56 6=7个桃子。【答案】7【例3】 一个小于200的数，它除以11余8,除以13余10,这个数是几？【考点】余数性质综合【难度】3星【题型】解答【解析】根据总结，我们发现这两个除数与余数的差都等于11-8=13-10=3 ,观察发现这个数加上 3后就能同时被11和13整除，所以11、13=143 ,所以这个数是143-3=140。【答案】14

10、0【巩固】不足100名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组5人，其他人按8人一组围在外圈；另一种是中间一组8人，其他人按5人一组围在外圈。问最多有多少名同学 ？【考点】余数性质综合【难度】3星【题型】填空【关键词】华杯赛，初赛，第 10题【解析】 此题实际是一个不足 100的整数，减去5能被8整除，即除以8余5,减去8能被5整除，即除以5 余3,求其最大值。13除以8余5,除以5余3, 8和5的最小公倍数为 40, 13+2M0=93,为满 足条件的整数，即最多有 93名同学。【答案】93【例4】5年级3班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6排多5人， 问上

11、体育课的同学最少 人。【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】填空【关键词】小数报，初赛【解析】 题意相当于：除以3余2,除以4余3,除以5余4,除以6余5,这样我们根据总结知道都只能凑缺”，所以都缺1 ,这样班级人数就是3、4、5、6-1=60-1=59人。【答案】59【巩固】有一个自然数，除以 2余1,除以3余2,除以4余3,除以5余4,除以6余5,则这个数最小 是 O【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】填空【关键词】华杯赛，五年级，决赛，第 7题，10分【解析】这个数加1能同时被2, 3, 4, 5, 6整除，而2, 3, 4, 5, 6=60所以这个数最小是60 - 1=59 。【

12、答案】59【巩固】n除以2余1,除以3余2,除以4余3,除以5余4,，除以16余15。n最小为。【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】填空【关键词】走美杯，5年级，决赛，第1题，8分【解析】n加上1后变成1K6的公倍数，所以n+1最小为16乂9区5黑7父11黑13=720720, n最小为720719。 【答案】720719【巩固】小朋友们要做一次“动物保护”宣传活动，若1人拿3个动物小玩具，则最后余下2个动物小玩具； 若1人拿4个动物小玩具，则最后余下 3个动物小玩具；若 1人拿5个动物小玩具，则最后余下 4 动物小玩具。那么这次活动中小朋友至少拿了 个动物小玩具。【考点】余数性质综合【难

13、度】2星【题型】填空【关键词】学而思杯，3年级，第9题【解析】那么再加一个玩具，玩具总数就能同时被3,4,5整除，能同时被3,4,5整除最小整数位60。所以这次活动小朋友至少拿了 59个玩具。【答案】59【巩固】小朋友们做游戏，若 3人分成一组，则最后余下 2人；若4人分成一组，则最后余下 3人；若5人 分成一组，则最后余下 4人。那么一起做游戏的小朋友至少有 人。【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第15题，6分【解析】 这个数除以3余2,除以4余3,除以5余4,那么加上一个人这些小朋友的数量能整除3、4、5,3 >4X5=60,那么小朋友至少

14、59人【答案】59【例5】 一个自然数被7, 8, 9除的余数分别是 1, 2, 3,并且三个商数的和是 570,求这个自然数.【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】解答【解析】 这个数被7, 8, 9除的余数分别是1 , 2, 3,所以这个数加上6后能被7, 8, 9整除，而7,8,9】二504 , 所以这个数加上 6后是504的倍数.由于这个数被 7, 8, 9除的三个商数的和是 570,那么这个数 加上6后被被7, 8, 9除的三个商数的和是 570+1 +1 +1=573,而 504 + 9 +504小8 +504+7 =7 黑 8 +7x9 +8 父9 =191, 573T191

15、=3 , 所以这个数加上 6等于504的3倍，这个数是5043-6=1506.【答案】1506【例6】 数119很奇特：当被2除时，余数为1;当被3除时，余数为2;当被4除时，余数为3;当被5 除时，余数为4;当被6除时，余数为5.问：具有这种性质的三位数还有几个？【考点】余数性质综合【难度】3星【题型】解答【解析】1, 2, 3, 4, 5, 6=60.三位数中60的倍数15个.所以，除了 119外，还有15-1=14 （个）.【答案】14【巩固】有一批图书总数在 1000本以内，若按24本书包成一捆，则最后一捆差2本；若按28本书包成一捆， 最后一捆还是差 2本书；若按32本包一捆，则最后

16、一捆是 30本.那么这批图书共有 本.【考点】余数性质综合【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯，六年级，初赛， 3题【解析】由题意可知，这批书如果再多2本，那么按24本，28本，32本一捆全书时，都将恰好分成整数本.所以这批书的本数加上2之后是24, 28 , 32的公倍数，而24,28,32 =672,所以这批书的本数是672k _2（k是整数）.由于这批书少于1000本，所以k只能为1,这批书有670本.【答案】670本【例7】 某个自然数除以2余1,除以3余2,除以4余1,除以5也余1,则这个数最小是 。【考点】余数性质综合【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，初赛，第

17、5题，6分【解析】 除以2余1,除以4余1,除以5余1的最小的数减去1能被2、4、5整除，所以，所以这个数可以 表示为20n+1,n是自然数，所以20n+1中除以3余2的最小数是41.【答案】41【例8】 一个大于10的自然数，除以5余3,除以7余1,除以9余8,那么满足条件的自然数最小为多少？【考点】余数性质综合【难度】4星【题型】解答【解析】根据总结，我们发现三个数中前两个数的除数与余数的和都是5+3 = 7+ 1=8,这样我们可以把余数都处理成8,即一个数除以5余3相当于除以5余8,除以7余1相当于除以7余8,所以可以看成 这个数除以5、7、9的余数都是8,那么它减去8之后是5、7、9的

18、公倍数.而 fe,7,9 = 315,所以 这个数最小为315+8=323.【答案】323【巩固】一个大于10的数，除以3余1,除以5余2,除以11余7,问满足条件的最小自然数是多少？【考点】余数性质综合【难度】4星【题型】解答【解析】法：仔细分析可以发现3M2+1=5+2 = 7,所以这个数可以看成被3、5、11除余7,由于13,5,11= 165,所以这个数最小是 165+7 =172.法二：事实上，如果没有 大于10这个条件，7即可符合条件，所以只需要在7的基础上加上3、5、11的最小公倍数，得到 172即为所求的数.【答案】172【例9】a是一个三位数.它的百位数字是 4, a+9能被

19、7整除，a-7能被9整除，问a是多少？【考点】余数性质综合【难度】4星【题型】解答【解析】a+9能被7整除，说明a+97 =a+2能被7整除；a7能被9整除，说明a 7+9 = a + 2能被9 整除；7 M9 =63,则632= 61符合上述两个条件.（因63 2=61 ,则a可以写成这样的形式：a =63父？+61）.又a是一个百位数字是 4的三位数，估算知，a =63父6+61 = 439.【答案】439【例10】一个八位数，它被 3除余1,被4除余2,被11恰好整除，已知这个八位数的前6位是257633,那么它的后两位数字是 。【考点】余数性质综合【难度】4星【题型】填空【关键词】10

20、1中学，入学测试【解析】 设后面这个两位数为 ab,前面数字和为26除以3余2,所以补上的两位数数字和要除以3余2。同理要满足除以4余2;八位数中奇数位数字和为（2+7+3+a）,偶数位数字和为（5+6+3+ b）这样要求 a=b+2,所以满足条件的只有 86。【答案】86模块二【例11【考点】【分析】【答案】【例12【考点】【解析】中国剩余定理】 民间流传着一则故事 韩信点兵.秦朝末年，楚汉相争.一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战.苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人.忽有后军来报，说有楚军骑兵追来，韩信便急速点兵迎敌.他命令士兵3人一排，结果多出 2名；接着命令士兵

21、5人一排，结果多出3名；他又命令士兵 7人一排，结果又多出 2名.韩信马上向将士们宣布：我军有 1073 名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人.”根据故事中的条件，你能算出韩信有多少将士么？中国剩余定理【难度】3星【题型】解答也就是说：一个自然数在 1000和1100之间，除以3余2,除以5余3,除以7余2,求符合条件的数.方法一：先列出除以 3余2的数：2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26,；再列出除以5余3的数：3, 8, 13, 18, 23, 28, -.这两列数中，首先出现的公共数是8. 3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就

22、是8+15N整数，列出这一串数是8,23,38,，再列出除以7余2的数2,9,16,23,30,，就得出符合题目条件的最小数是23.而3, 5, 7 =105,我们就把题目转化为：求10001100之间被105除余23的数.韩信有10510 + 23 = 1073 （个）将士.方法二：我们先找出被3 除余 2 的数：2,5,8, 11,14,17, 20, 23,26,29,32,35,38, 41,44；被 5 除余 3 的数：3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48, 53, 58；被 7 除余 2 的数：2, 9, 16, 23, 32, 37, 44,

23、51 .三个条件都符合的最小的数是23,以后的是一次加上 3, 5, 7的公倍数，直到加到 1000和1100之间.结果是23+105父10=1073.具体到实际的做题过程中时，从较大的除数开始做会方便一些.方法三：利用程大位的解法，将题目转化为：求 233加上105的倍数在10001100之间的数.通过尝试可以求出这个数是 233 +105父8 =1073 .1073一个数除以3余2,除以5余3,除以7余4,问满足条件的最小自然数中国剩余定理【难度】3星【题型】填空方法一、根据总结，我们发现前面两种都不符合，所以我们只能用最普遍的中国剩余定理3、5的公倍数3、7的公倍数5、7的公倍数1521

24、3530427045631056084140找出除以7余4的除以5余3除以3余2可以找出分别是：606335可见 60+63+35=158满足我们的条件，但不是最小的自然数使结果在最小公倍数之内O所以答案为：158-105=53。处理方法就是减去最小公倍数的若干倍,方法二：逐步构造符合条件的最小自然数，首先求符合后面两个条件的最小自然数，依次用7的倍数加4,当4被加上两个7时得到18,恰好除以5余3,此时符合后两个条件；再依次用7和5的最小公倍数的倍数加 18,当18被加上1个35个，得到53,检验符合三个条件.所以所求的最小自然数就是53.【答案】53【例13】一个自然数在1000和1200

25、之间，且被3除余1,被5除余2,被7除余3,求符合条件的数.【考点】中国剩余定理【难度】3星【题型】解答但不是1000到1200之间的数，处理方法就是加上最小公倍数【解析】 方法1:中国剩余定理3、5的公倍数3、7的公倍数5、7的公倍数15213530427045631056084140找出除以7余3的除以5余2除以3余1可以找出分别是：454270可见45+42+70=157满足我们的条件,105M10+52=1102。的若干倍，使结果在最小公倍数之内。所以答案为: 方法2:我们先找出被3除余1的数：1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31 , 34,

26、37, 40, 43, 46, 49, 52,；被 5 除余 2 的数：2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47, 52, 57,；被 7 除余 3 的数：3, 10, 17, 24, 31, 38, 45, 52,；三个条件都符合的最小的数是52,其后的是一次加上 3、5、7的最小公倍数，直到加到 1000和1200 之间.结果是 105M10 +52=1102.方法3:先列出除以3余1的数：1, 4, 7, 10, 13, 16,；再列出除以5余2的数：2, 7, 12, 17, 22, 27,；这两列数中，首先出现的公共数是7. 3与5的最小公倍数是15.

27、两个条件合并成一个就是7+15M整数，列出这一串数是7, 22, 37, 52,；再列出除以7余3的数：3, 10, 17, 24, 31, 38, 45, 52,；就得出符合题目条件的最小数是52.事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余52.那么这个数在1000和1200之间，应该是10510+52=1102.方法4：设这个自然数为a ,被3除余1,被5除余2,可以理解为被3除余3M 2+1 ,被5除与5+2 , 所以满足前面两个条件的 a=15m+7 （m为自然数）,只需15m+7除以7余3,即15m除以7余3, 而15*7=2|1,只需m除以7余3, m最小为3,所以满足

28、三个条件的最小自然数为 3M15+7 = 52, 其后的是一次加上 3、5、7的最小公倍数， 直到加到1000和1200之间.结果是105父10+52 = 1102.【答案】1102【例14】一个数除以3、5、7、11的余数分别是2、3、4、5,求符合条件的最小的数.【考点】中国剩余定理【难度】3星【题型】解答【解析】法一：将3、5、7、11这4个数3个3个一起分别计算公倍数，如表:Ik11公偌数3、111公借数3、111金倍皴工工7公倍数如回105770462330210U55叩3碗315-a_ a .J 1 .:t. J. . 3 -.除M全口的最小 就是1TC除5余3的盍小 值是6更除7

29、余4的衰小值是1653、5、7的公倍数中被11除余5的数不太好找，但注意到210除以11余1,所以210M5=1050 被11除余5,由此可知770+693+165+1050 = 2678是符合条件的一个值，但不是最小值，还 需要减去3、5、7、11的公倍数使得它小于它们的最小公倍数.由于3、5、7、11的最小公倍数是1155,所以26781155黑2 =368是符合条件的最小值.法二：对于这种题目，也可以先求满足其中3个余数条件的，比如先求满足除以3、5、7的余数分别是2、3、4的，既可采用中国剩余定理，得到70黑2+21 乂3+154 = 263是满足前3个余数条件的，从而其中最小的是26

30、3-105父2 =53；由于53除以11的余数为9, 105除以11的余数为6,可知9+6乂3=27除以11的余数为5,所以53+105父3 = 368是满足条件的最小数. 也 可以直接观察发现这个数乘以2之后除以3、5、7的余数分别是4、6、8,也就是除以3、5、7的余数都是1,所以满足前三个条件的数最小为(3X5X7+1)4-2=53,后面的步骤与上面的解法相同.【答案】53【例15】有连续的三个自然数 a、a+1、a+2,它们恰好分别是 9、8、7的倍数，求这三个自然数中最小 的数至少是多少？【考点】中国剩余定理【难度】3星【题型】解答【解析】法一：由a+1是8的倍数，得到a被8除余7,

31、由a+2是7的倍数，得到a被7除余5,现在相当于一个数a除以9余0,除以8余7,除以7余5.运用中国剩余定理求 a (用逐步满足的方法也可以)7和名 由公倍数79 的&倍数眯9 鳍公借效5663721121J6144168189216224252288弱口315373441r r.，r7和8的公倍数中除以 9余1的最小为280; 7和9的公倍数中除以8余1的最小是441; 8和9的 公倍数中除以7余1的最小是288,根据中国剩余定理，280 M0+441父7十288父5 =4527符合各个余数条件，但 4527不是最小的，还需要减去7、8、9的公倍数，可知4527 -(7X8X98=4

32、95是满足各个余数条件的最小值，所以 a至少是495.法二：仔细观察，可知由于 a、a+1、a+2恰好分别是9、8、7的倍数，那么a+9、a+1+8、a + 2+7也 分别是9、8、7的倍数，即a+9是9、8、7的公倍数，那么a+9的最小值是9父8父7 = 504,即a至 少是 504 -9 =495 .【答案】495模块三、余数性质的拓展应用新中国剩余定理【例16】有一个数，除以3余2,除以4余1,问这个数除以12余几？【考点】余数性质的拓展应用新中国剩余定理【难度】3星 【题型】解答【关键词】首师大附中，分班考试【解析】方法一：除以3余2的数有：2, 5, 8, 11, 14, 17, 2

33、0, 23,；它们除以12的余数是：2, 5, 8, 11, 2, 5, 8, 11,；除以 4余 1 的数有：1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29,；它们除以12的余数是：1, 5, 9, 1, 5, 9,；一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5.方法二：一个数，除以 3余2,除以4余1,可以理解为除以 3余3+2 ,除以4余4+1 ,所以这个 数减去5后，既能被3整除，又能被4整除，设这个数为a,则a=12m+5 , （m为自然数）所以这个 数除以12余5【答案】5【例17如图，在一个圆圈上有几十个孔 （不到100个），

34、小明像玩跳棋那样，从 A孔出发沿着逆时针方向， 每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回到 A孔.他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到 B孔.他 又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到 B孔.最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到 A孔，你知道这 个圆圈上共有多少个孔吗 ？【考点】余数性质的拓展应用一一新中国剩余定理【难度】3星 【题型】解答【关键词】华杯赛【解析】设想圆圈上的孔已按下面方式编了号：A孔编号为1,然后沿逆时针方向顺次编号为2, 3, 4,，B孔的编号就是圆圈上的孔数.我们先看每隔2孔跳一步时，小明跳在哪些孔上 ？很容易看出应在1, 4, 7, 10,上，也就是说， 小明跳到的孔上的编号是 3的倍

35、数加1.按题意，小明最后跳到 B孔，因此总孔数是 3的倍数加1. 同样道理，每隔 4孔跳一步最后跳到 B孔，就意味着总孔数是 5的倍数加1;而每隔6孔跳一步最 后跳回到A孔，就意味着总孔数是 7的倍数.如果将孔数减1,那么得数既是3的倍数也是5的倍数，因而是15的倍数.这个15的倍数加上1就 等于孔数，设孔数为 a,则a=15m+1 （m为非零自然数）而且 a能被7整除.注意15被7除余1, 所以15父6被7除余6, 15的6倍加1正好被7整除.我们还可以看出，15的其他（小于的7）倍数加 1都不能被7整除，而15 M7 =105已经大于100. 7以上的倍数都不必考虑，因此，总孔数只能是 1

36、5 6 1 =91.【答案】91【例18】三个连续三位数的和能够被 13整除，且这三个数中最大的数被9除余4,那么符合条件的三位数中最小的数最大是【考点】余数性质的拓展应用 一一新中国剩余定理【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，6年级【解析】 设中间数是a,三个连续自然数的和是中间数的3倍即3a,由1313a得I3|3a,所以中间数能被13整除，而其中最大的数被 9除余4,说明中间数被 9除余3,从1000往下试能被13整除的数为988, 975,， 975符合两个条件。所以符合条件的三位数中的最小的数的最大是975-1=974.【答案】974【例19】某小学的六年级有一百多名学生.若

37、按三人一行排队，则多出一人；若按五人一行排队，则多出 二人；若按七人一行排队，则多出一人.该年级的人数是 .【考点】余数性质的拓展应用 一一新中国剩余定理【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，六年级，二试，第 6题，5分【解析】符合第一、第三条条件的最少人数为3 >7+1=22人，经检验，22也符合第二个条件，所以 22也是符合三个条件的最小值，但该小学有一百多名学生，所以学生总人数为22+3 5歹=127。【答案】127【例20】智慧老人到小明的年级访问，小明说他们年级共一百多名同学，老人请同学们按三人一行排队， 结果多出一人，按五人一行排队，结果多出二人，按七人一行排队，结果多出

38、一人，老人说我知 道你们年级原人数应该是（）人。【考点】余数性质的拓展应用 一一新中国剩余定理【难度】3星【题型】填空【关键词】华杯赛决赛第 6题，10分【解析】根据条件，该数除以 3余1,除以5余2,除以7余1,逐级满足法，令该数为 a,则a+ 3.1a+ 5.2a+ 7.1符合条件的有1, 4, 7, 10, 13, 16.符合条件的有2, 7, 12.同时满足 、的最小值为7,以后a=7+15m均满足、；现在来看（7+15m） + 7,.1则15m+ 7，.1则m最小取1,符合，最小的符合的数为a=22。以后每隔 85,7】=105即符合。该年级有 100多名学生，为22+1-5=127

39、。【答案】127【例21】三个连续的自然数，从小到大依次是4、7、9的倍数，这三个自然数的和最小是 .【考点】余数性质的拓展应用 一一新中国剩余定理【难度】3星【题型】填空【关键词】 学而思杯，6年级，1试，第3题【解析】 本题看起来是一个关于整除或约数、倍数的题，但实际上不大用得上被4、7、9整除的数的特征或者约数、倍数的一些性质，而如果以这三个连续的自然数中的某一个为基础，比如以中间的那个数 为基础，那么另外的两个数分别为这个数减1和这个数加1,那么题目变为：一个数除以 4余1,除以9余8,且能被7整除，且这个数的最小可能值.这是一个余数问题，我们可以采用逐步满足法， 也可以采用中国剩余定

40、理来解.方法一：逐步满足法.除以4余1的数有：1 , 5, 9, 13, 17, 21,；除以9余8的数有：8, 17, 26,.可见同时满足这两条的数最小为17,由于14,9】=36 ,那么满足除以4余1且除以9余8的数有：17, 53, 89, 125, 161, 197其中能被7整除的数最小为161,所以所求的3个连续自然数的中间的那个数最小为161,那么它们的和最小为161父3=483.方法二：代数表示法.根据题意，设这三个数分别为7k -1、7k、7k+1 ( k是整数)，那么7k-1是4的倍数，7k + 1 是 9 的倍数，由于 7k1=8k(k+1 ), 7k+1=9k (2k1 ),所以 k + 1 是 4 的倍数，2k-1 是9的倍数，由k +1是4的倍数知2k +2是8的倍数，设2k - 1= n ,那么2k+2 =9n+3=8n+n+3,所以n+3是8的倍数，n最小为5,相应地k最小为23,那么 这三个自然数白和最小为 7M23M3=483 .小结：本题并不难，以上四种解法中法1、法2是同余问题的解法，尤其是法 2,是对中国剩余定理的典型应用，需要学生掌握.而法 3、法4则是采用代数方法来解，法 3的关键在于列出方程后要将三个未知数中的两个都用另一个未知数来表示，再对这一个未知数进行确定，法4则是采用代数变形和