第三讲 图型变换与裁减3

1、1p平面几何投影平面几何投影p平行投影平行投影p透视投影透视投影p观察坐标系与透视投影变换观察坐标系与透视投影变换第三讲第三讲 图型变换与裁减图型变换与裁减-投影变换投影变换2o 投影变换就是把三维立体（或物体）投射到投投影变换就是把三维立体（或物体）投射到投影面上得到二维平面图形的过程。影面上得到二维平面图形的过程。n 平面几何投影主要指平行投影、透视投影以平面几何投影主要指平行投影、透视投影以及通过这些投影变换而得到的三维立体的常及通过这些投影变换而得到的三维立体的常用平面图形：三视图、轴测图和透视图等。用平面图形：三视图、轴测图和透视图等。n 观察投影是指在观察空间下进行的图形投影观察投

2、影是指在观察空间下进行的图形投影变换。变换。平面几何投影变换平面几何投影变换o 投影投影n将将n n维的点变换成小于维的点变换成小于n n维的点维的点 n将将3 3维的点变换成维的点变换成2 2维的点维的点o 投影中心投影中心(COP:Center of Projection)(COP:Center of Projection)n三维空间中的一个点。三维空间中的一个点。n视觉系统视觉系统观察点、视点观察点、视点o 投影面投影面n不经过投影中心不经过投影中心n平面平面-照相机底片照相机底片n曲面曲面球幕电影球幕电影, ,视网膜视网膜平面几何投影变换平面几何投影变换o投影线投影线n从投影中心向物体

3、上各点发出的射线。从投影中心向物体上各点发出的射线。 o投影投影 n投影线与投影面之间的交点，即为物体上某个投影线与投影面之间的交点，即为物体上某个点点在投影面上的投影。投影面上的投影。o投影变换投影变换n将三维空间中的物体变换到二维图像的过程。将三维空间中的物体变换到二维图像的过程。 平面几何投影变换平面几何投影变换5平面几何投影变换平面几何投影变换图图1 1 线段线段AB的平面几何投影的平面几何投影 透视中心与投影平面之间的 透视中心在无穷处 距离是有限的o中心投影法（灯光）中心投影法（灯光）透视投影透视投影o平行投影法（阳光）平行投影法（阳光） 斜投影法、正投影法斜投影法、正投影法 透视

4、投影最接近于视觉效果；正投影法是绘制工程图透视投影最接近于视觉效果；正投影法是绘制工程图样的基础。样的基础。6平面几何投影可分为两大类：平面几何投影可分为两大类：o透视投影的投影中心到投影面之间的距离是有限的；透视投影的投影中心到投影面之间的距离是有限的；o平行投影的投影中心到投影面之间的距离是无限的。根据平行投影的投影中心到投影面之间的距离是无限的。根据投影线与投影面之间的夹角不同，又分正投影和斜投影。投影线与投影面之间的夹角不同，又分正投影和斜投影。平面几何投影变换平面几何投影变换图图2 平面几何投影分为透视投影和平行投影平面几何投影分为透视投影和平行投影图图3 平面几何投影的分类平面几何

5、投影的分类8p 平行投影可分成两类：正投影和斜投影。平行投影可分成两类：正投影和斜投影。1.1. 正投影：投影方向与投影面的夹角为正投影：投影方向与投影面的夹角为90902.2. 斜投影：投影方向与投影面的夹角不为斜投影：投影方向与投影面的夹角不为9090o 性质：能够精确地反映物体的实际尺寸。性质：能够精确地反映物体的实际尺寸。平面几何投影变换平面几何投影变换平行投影平行投影图图4 平行投影平行投影 根据投影面与坐标轴的夹角，正投影又可分为：三视图根据投影面与坐标轴的夹角，正投影又可分为：三视图和正轴测。和正轴测。1. 三视图：三视图：投影面与某一坐标轴垂直，投影面与某一坐标轴垂直，2.正轴

6、测：正轴测：投影面与所有坐标轴不垂直投影面与所有坐标轴不垂直平面几何投影变换平面几何投影变换正投影正投影图图5 正投影正投影10p 三视图投影面分别与三视图投影面分别与X X轴、轴、Y Y轴和轴和Z Z轴垂直，分为：轴垂直，分为：1.1. 正视图正视图V V（主视图）：投影线平行与（主视图）：投影线平行与y y轴，轴，XOZXOZ坐标面坐标面2.2. 俯视图俯视图H H（水平投影面）：投影线平行与（水平投影面）：投影线平行与z z轴，轴，XOYXOY坐标面坐标面3.3. 侧视图侧视图W W（左视图）：投影线平行与（左视图）：投影线平行与x x轴，轴，YOZYOZ坐标面坐标面平面几何投影变换平面

7、几何投影变换三视图三视图图图6 三维形体及其三视图三维形体及其三视图o 正投影的图形，在长宽高三个方向上的比例与实正投影的图形，在长宽高三个方向上的比例与实物保持一致，因此，常用于工程制图。物保持一致，因此，常用于工程制图。o 三视图规律三视图规律1. 正视图反映长、高；俯视图反映长、宽；侧视图正视图反映长、高；俯视图反映长、宽；侧视图反映高、宽。反映高、宽。2. 主、俯视图主、俯视图长对正长对正；主、侧视图；主、侧视图高平齐高平齐；侧、俯；侧、俯视图视图宽相等宽相等。平面几何投影变换平面几何投影变换三视图三视图12p 确定三维形体上各点的位置坐标；确定三维形体上各点的位置坐标；p 引入齐次坐

8、标，求出所作变换相应变换矩阵；引入齐次坐标，求出所作变换相应变换矩阵；p 将所作变换用矩阵表示，通过运算求得三维形将所作变换用矩阵表示，通过运算求得三维形体上各点体上各点(x,y,z)经变换后的相应点经变换后的相应点(x,y)或或(y,z) ；p 由变换后的所有二维点绘出三维形体投影后的由变换后的所有二维点绘出三维形体投影后的三视图。三视图。平面几何投影变换平面几何投影变换三视图三视图图 正投影三视图变换(a) 三面投影； (b) 三面投影展开； (c) 三面投影平移 为使三个视图出现在同一个平面上，通常：为使三个视图出现在同一个平面上，通常：1.1. 投影变换，得投影变换，得V V、W W或

9、或H H面；面；2.2. 一般一般V V面不动，面不动，H H面绕面绕X X轴旋转轴旋转-90-90、W W面绕面绕Z Z轴旋转轴旋转9090；3.3. H H面沿面沿Z Z方向平移方向平移-Z-Z0 0； W W面沿面沿X X方向平移方向平移-X-X0 0 。(a)(b)(c)XHVZWOYZVOXH(a)(b)ZVWXH Z0O X0(c)W平面几何投影变换平面几何投影变换三视图三视图14p 主视图：将三维形体向主视图：将三维形体向xoz面（又称面（又称V面）作垂面）作垂直投影（即正平行投影），得到主视图。直投影（即正平行投影），得到主视图。平面几何投影变换平面几何投影变换三视图三视图图图

10、7 三维形体及其主视图三维形体及其主视图151000010000000001vTp主视图投影矩阵为：主视图投影矩阵为：平面几何投影变换平面几何投影变换三视图三视图16p 俯视图：三维形体向俯视图：三维形体向xoyxoy面（又称面（又称H H面）作垂直面）作垂直投影得到俯视图。投影得到俯视图。平面几何投影变换平面几何投影变换三视图三视图图图8 三维形体及其主、俯视图三维形体及其主、俯视图(1) (1) 投影变换投影变换xzyOZYXY俯视图1000000000100001xoyT(2) (2) H H面绕面绕x x轴负转轴负转9090，使俯视图与主视图在同一个平，使俯视图与主视图在同一个平面上。

11、面上。xzyOZYXY俯视图100000100100000110000)90cos()90sin(00)90sin()90cos(00001RxT(3)使使H H面沿面沿z z方向平移一段距离方向平移一段距离- -z z0 0，使俯视图与主视，使俯视图与主视图之间有一定的间距。图之间有一定的间距。xzyOZYXY俯视图1000100001000010zTTz20p俯视图投影矩阵为：俯视图投影矩阵为：1000000010000010zTTTTtzRxxoy平面几何投影变换平面几何投影变换三视图三视图21p 侧视图：获得侧视图是将三维形体往侧视图：获得侧视图是将三维形体往yoz面面（侧面（侧面W）

12、作垂直投影。作垂直投影。平面几何投影变换平面几何投影变换三视图三视图图图7-12 三维形体及其三视图三维形体及其三视图(1) (1) 侧视图的投影变换侧视图的投影变换1000010000100000yozTxzyOZYXY侧视图(2)使使W面绕面绕z轴正转轴正转90，使侧视图与主视图在同一个，使侧视图与主视图在同一个平面上。平面上。1000010000010010100001000090cos90sin0090sin90cosRzT(3)使使W面沿负面沿负x方向平移一段距离方向平移一段距离x0，使侧视图与主视，使侧视图与主视图之间有一定的间距。图之间有一定的间距。100010000100001

13、0 xTRxxzyOZYXY侧视图25p侧视图投影矩阵为：侧视图投影矩阵为：1000100000100000 xTTTTtRzyoz平面几何投影变换平面几何投影变换三视图三视图26p 最后的三视图：最后的三视图：平面几何投影变换平面几何投影变换三视图三视图图图9 三维形体及其三视图三维形体及其三视图o正轴测有分等轴测（正等测）、正二侧和正三侧三种：正轴测有分等轴测（正等测）、正二侧和正三侧三种：1.1.正等侧：投影面与正等侧：投影面与3 3个坐标轴之间的夹角都相等。个坐标轴之间的夹角都相等。2.2.正二侧：投影面与正二侧：投影面与2 2个坐标轴之间的夹角都相等。个坐标轴之间的夹角都相等。3.3

14、.正三侧：投影面与正三侧：投影面与3 3个坐标轴之间的夹角都不相等。个坐标轴之间的夹角都不相等。 (a)等轴图 (b)正二侧 (c)正三侧图 正轴测投影投影面投影面投影面平面几何投影变换平面几何投影变换正轴测图正轴测图2022-2-1128 / 68o正轴测投影正轴测投影n当投影方向当投影方向不取坐标轴方向不取坐标轴方向，投影平面不垂直于坐标轴时，投影平面不垂直于坐标轴时，产生的正投影称为正轴测投影。产生的正投影称为正轴测投影。n正轴测投影分类：正轴测投影分类：正等测、正二测、正等测、正二测、正三测正三测n正等测正等测：投影平面与三个坐标轴的交点到坐标原点的距离：投影平面与三个坐标轴的交点到坐

15、标原点的距离都相等。都相等。n沿沿三个轴线三个轴线具有相同的变形系数。具有相同的变形系数。2022-2-1129 / 68o正轴测投影正轴测投影n正二测正二测：投影平面与两个坐标轴的交点到坐标原点的距离：投影平面与两个坐标轴的交点到坐标原点的距离都相等。都相等。n沿沿两个轴线两个轴线具有相同的变形系数。具有相同的变形系数。平面几何投影变换平面几何投影变换正轴测图正轴测图2022-2-1130 / 68o正轴测投影正轴测投影n正三测正三测：投影平面与三个坐标轴交点到坐标原点距离都不：投影平面与三个坐标轴交点到坐标原点距离都不相等。相等。n沿沿三个轴线具有各不相同三个轴线具有各不相同的变形系数。的

16、变形系数。平面几何投影变换平面几何投影变换正轴测图正轴测图图图10 正轴测图正轴测图xzyOABCDEF 令：令：E E为原点为原点O O在投影面在投影面ABCABC上的投影点，延长线上的投影点，延长线BEBE与与ACAC交于交于D D，OFOF（E E在在OFOF的延长线）为投影面的延长线）为投影面ABCABC的投影方向矢量（简称投影的投影方向矢量（简称投影矢量），矢量），OAD=CODOAD=COD，记为，记为；EOD=DBOEOD=DBO，记为，记为。 正轴投影步骤：正轴投影步骤：将将OFOF通过旋转变换到通过旋转变换到Z Z轴上，使投影面轴上，使投影面ABCABC与与XOYXOY平行；

17、平行；针对针对XOYXOY面作投影；面作投影；图图 先绕先绕y轴顺时针旋转轴顺时针旋转-角角(1) (1) 先绕先绕y y轴顺时针旋转轴顺时针旋转角角xzyOABCDEFxzyOABCDEF33(1) 先绕先绕y轴顺时针旋转轴顺时针旋转角角10000cos0sin00100sin0cos10000)cos(0)sin(00100)sin(0)cos(RyT平面几何投影变换平面几何投影变换正轴测图正轴测图图图 再绕再绕x轴逆时针旋转轴逆时针旋转角角(2)再绕再绕x轴逆时针旋转轴逆时针旋转角角xzyOABCDEFxzyOABCDEF35(2) 再绕再绕x轴逆时针旋转轴逆时针旋转角角10000cos

18、sin00sincos00001RxT平面几何投影变换平面几何投影变换正轴测图正轴测图36(3) 将三维形体向将三维形体向xoy平面作正投影平面作正投影1000000000100001pT平面几何投影变换平面几何投影变换正轴测图正轴测图37p 最后得到正轴测图的投影变换矩阵最后得到正轴测图的投影变换矩阵：100000sincossin00cos000sinsincos pRxRyTTTTp 此矩阵是一般正轴测图的投影变换矩阵。此矩阵是一般正轴测图的投影变换矩阵。平面几何投影变换平面几何投影变换正轴测图正轴测图2022-2-1138 / 68平面几何投影变换平面几何投影变换正轴测图正轴测图下面主

19、要讨论下面主要讨论正二测和正等测的投影变换矩阵，即确定变换矩正二测和正等测的投影变换矩阵，即确定变换矩阵中的阵中的 角和角和 角。角。-如何度量沿三个轴线方向的变形系数？如何度量沿三个轴线方向的变形系数？10cossinsin110010cos0101010sinsincos1001正轴侧投影正轴侧投影正轴侧投影2022-2-1139 / 68形体的投影变换形体的投影变换 正二侧投影需满足：正二侧投影需满足：假定假定Z Z轴上的单位矢量经变换后长度变为轴上的单位矢量经变换后长度变为1/21/2；即；即Z Z轴的变形系轴的变形系数恒为数恒为1/21/2：可得：可得： =22.21=22.21。,

20、 =20.71, =20.71。 变换矩阵为：变换矩阵为： 变换矩阵为变换矩阵为2222cossinsincos4/1sincossin222.1000003273. 03780. 0009354. 00001336. 0926. 0T2022-2-1140 / 68形体的投影变换形体的投影变换 正等侧投影需满足：正等侧投影需满足：可得：可得： =45=45。, =35, =35。 变换矩阵为：变换矩阵为： 变换矩阵为变换矩阵为2222cossinsincos2222cossincossin.1000004082. 07071. 0008166. 00004082. 07071. 0T41p

21、能同时反映物体的多个面，具有一定的立体效果。能同时反映物体的多个面，具有一定的立体效果。p 能使空间任意一组平行线的投影仍然保持平行。能使空间任意一组平行线的投影仍然保持平行。p 不能保持三维空间的角度关系。不能保持三维空间的角度关系。p 沿三个坐标轴的方向均可测量距离，但要注意比沿三个坐标轴的方向均可测量距离，但要注意比例关系。例关系。平面几何投影变换平面几何投影变换正轴测图正轴测图42o 斜投影图，即斜轴测图，是将三维形体向一个单一的投斜投影图，即斜轴测图，是将三维形体向一个单一的投影面作平行投影，但投影方向不垂直于投影面所得到的影面作平行投影，但投影方向不垂直于投影面所得到的平面图形。平

22、面图形。o 通常选用垂直于某个坐标轴的投影面，使得平行于投影通常选用垂直于某个坐标轴的投影面，使得平行于投影面的形体表面可以进行距离和角度的测量，而其他面可面的形体表面可以进行距离和角度的测量，而其他面可以沿坐标轴测量距离。以沿坐标轴测量距离。o 特点：既可以进行测量距离和角度，又可以同时反映三特点：既可以进行测量距离和角度，又可以同时反映三维形体的多个面，具有立体效果。维形体的多个面，具有立体效果。平面几何投影变换平面几何投影变换斜投影图斜投影图43p常用的斜轴测图有斜等测图和斜二测图。常用的斜轴测图有斜等测图和斜二测图。1.1.斜等测：投影方向与投影面成斜等测：投影方向与投影面成4545角

23、度（角度（arctan1arctan1）。）。和投影面垂直的任何直线段，其投影的长度不变。和投影面垂直的任何直线段，其投影的长度不变。 比如比如op=op=opop。平面几何投影变换平面几何投影变换斜投影图斜投影图图图11 斜平行投影斜平行投影投影平面法向投影方向投影平面(a)斜等测pOp44p常用的斜轴测图有斜等测图和斜二测图。常用的斜轴测图有斜等测图和斜二测图。2.2. 斜二测：投影方向与投影面成斜二测：投影方向与投影面成arctan2arctan2角度。和投影面角度。和投影面垂直的任何直线段，其投影的长度为原来的一半。垂直的任何直线段，其投影的长度为原来的一半。 比如比如op=2opop

24、=2op。平面几何投影变换平面几何投影变换斜投影图斜投影图图图12 斜平行投影斜平行投影(b)斜二测投影方向投影平面pOp投影平面法向45图图13 斜平行投影的形成斜平行投影的形成m=m=z zp p/tan/tan= =z zp pctgctg； 对于点对于点q(xq(xq q,y,yq q,z,zq q) )x xp p=mcosmcos= =z zp pcoscosctgctg x xq q=x xq q+z+zq qcoscosctgctgy yp p=msinmsin= =z zp psinsinctgctg y yq q=y yq q+z+zq qsinsinctgctg平面几何投

25、影变换平面几何投影变换斜投影图斜投影图46p 斜平行投影的投影变换矩阵为：斜平行投影的投影变换矩阵为： 1 1 0 0 0 00 0 1 0 0 0 1 0 0 0= 0 = 0 1 1 0 0 0 1 0 00 0 0 1 0 0 coscosctgctg sinsinctgctg 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 10 1 0 0 0 1 0 0 0 1 x x、y y按按z z值成比例的移动值成比例的移动 xoyxoy投影投影100000sincos00100001ctgctgT平面几何投影变换平面几何投影变换斜投影图斜投影图 对于斜等测图有：对于斜等测图

26、有：=45,ctg=1。斜二测图则有：斜二测图则有：=arctg(2),ctg=1/2。通常通常取取30或或45。图图14 斜平行投影斜平行投影48平面几何投影变换平面几何投影变换斜投影图斜投影图图图15 单位立方体的斜平行投影单位立方体的斜平行投影为为4545时时两种斜等测投影两种斜等测投影所有与投影面垂直的直线在投所有与投影面垂直的直线在投影中长度不变影中长度不变为为arctan2arctan2时时两种斜等测投影两种斜等测投影所有与投影面垂直的直线在投影所有与投影面垂直的直线在投影中成一半长度中成一半长度对平行投影，所有与投影面平行的直线，其投影后长度均不对平行投影，所有与投影面平行的直线

27、，其投影后长度均不变变图图16 16 透视投影透视投影 yP(x, y, z)zOE观察方向投影平面P*(x*, y*, z*)x 从视点（从视点（投影中心投影中心）发出的所有通过对发出的所有通过对象象( (景景) )的射线和投的射线和投影平面的交点形成影平面的交点形成三维立体的三维立体的“像像”，这 就 是这 就 是 透 视 投 影透 视 投 影 , , 如图所示。如图所示。 平面几何投影变换平面几何投影变换透视投影透视投影50)(zddyyxx图17 透视投影 设：投影面为设：投影面为xoyxoy，投影，投影中心在中心在z z轴上（轴上（z=-dz=-d）处，）处，则空间点则空间点p(x,

28、y,zp(x,y,z) )的透的透视投影视投影p(x,y,zp(x,y,z)的坐标为：的坐标为：相似三角形，相似三角形， x=x/(1+z/d) x=x/(1+z/d) y=y/(1+z/d) y=y/(1+z/d) z=0 z=01000/100000100001d 1000000000100001100011000010000111dzyxzyx 100000000010000110001000010000111rzyxzyx 透视矩阵透视矩阵 xoyxoy投影矩阵投影矩阵生成透视图分两步进行：生成透视图分两步进行：1.1.对立体进行透视变换；对立体进行透视变换； 设：设：r=1/dr=1

29、/d2.2.然后向然后向XOYXOY坐标平面作正投影。坐标平面作正投影。 当当d-d-，r-0r-0，透视，透视-平行平行52p透视投影特性透视投影特性1.1. 物体的透视投影的大小与物体到投影中心的物体的透视投影的大小与物体到投影中心的Z Z方方向距离成反比向距离成反比符合符合近大远小近大远小的视觉效果。的视觉效果。2.2. d d 的取值不同，可对形成的透视投影图起放大和的取值不同，可对形成的透视投影图起放大和缩小的作用。缩小的作用。平面几何投影变换平面几何投影变换透视投影透视投影图图 18 透视缩小效应透视缩小效应53p透视投影的深度感更强，更加具有真实感，但透透视投影的深度感更强，更加

30、具有真实感，但透视投影不能够准确反映物体的大小和形状。视投影不能够准确反映物体的大小和形状。p透视投影的大小与物体到投影中心的距离有关。透视投影的大小与物体到投影中心的距离有关。p一一组平行线若平行于投影平面时，它们的透视投组平行线若平行于投影平面时，它们的透视投影仍然保持平行。影仍然保持平行。p只有当物体表面平行于投影平面时，该表面上的只有当物体表面平行于投影平面时，该表面上的角度在透视投影中才能被保持。角度在透视投影中才能被保持。平面几何投影变换平面几何投影变换透视投影透视投影投影中心投影面图图19 19 灭点灭点o不平行于投影面的平行线的投影会汇聚到一个点，这个不平行于投影面的平行线的投

31、影会汇聚到一个点，这个点称为点称为灭点灭点(Vanishing Point)(Vanishing Point)。55o 坐标轴方向的平行线在投影面上形成的灭点称作坐标轴方向的平行线在投影面上形成的灭点称作主灭点主灭点。o 一点透视一点透视有一个主灭点，即投影面与一个坐标轴正交，与另有一个主灭点，即投影面与一个坐标轴正交，与另外两个坐标轴平行。外两个坐标轴平行。o 两点透视两点透视有两个主灭点，即投影面与两个坐标轴相交，与另有两个主灭点，即投影面与两个坐标轴相交，与另一个坐标轴平行。一个坐标轴平行。o 三点透视三点透视有三个主灭点，即投影面与三个坐标轴都相交。有三个主灭点，即投影面与三个坐标轴都

32、相交。图图20 20 透视投影透视投影561000100010001rqpp 透视投影的变换矩阵：透视投影的变换矩阵：平面几何投影变换平面几何投影变换透视投影透视投影(1) (1) 一点透视一点透视设设r r 0 0，p=q=0, p=q=0, 对点对点xx，y y，zz进行变换：进行变换： 1 0 0 01 0 0 0 x y z 1 0 1 0 0 = x y z rz+1 x y z 1 0 1 0 0 = x y z rz+1 0 0 1 r0 0 1 r 0 0 0 10 0 0 1= x/(rz+1) y/(rz+1) z/(rz+1) 1 = x/(rz+1) y/(rz+1)

33、z/(rz+1) 1 （齐次化）（齐次化）1.1.当当z=0z=0（在（在XOYXOY坐标平面内）：坐标平面内）：x y z 1 = x yx y z 1 = x y 0 10 12.2.当当 z z x y z 1 = 0 0 1/rx y z 1 = 0 0 1/r 1 1 平面几何投影变换平面几何投影变换透视投影透视投影现在来对现在来对z z的取值情况进行讨论：的取值情况进行讨论： 当当z z值无限变大时，所有点经过变换后均集中于值无限变大时，所有点经过变换后均集中于z z轴上的轴上的 1/r 1/r 处，于是处，于是所有平行于所有平行于z z轴的直线将延伸轴的直线将延伸相交于此点。相交

34、于此点。该点该点( 0,0,1/r)( 0,0,1/r)称为灭点。称为灭点。(1) (1) 二点透视二点透视设设p0p0，r r 0 0，q=0, q=0, 对点对点xx，y y，zz进行变换：进行变换： 1 0 0 p1 0 0 p x y z 1 0 1 0 0 = x y z px+rz+1 x y z 1 0 1 0 0 = x y z px+rz+1 0 0 1 r0 0 1 r 0 0 0 10 0 0 1=x/(px+rz+1) y/(px+rz+1) z/(px+rz+1) 1 =x/(px+rz+1) y/(px+rz+1) z/(px+rz+1) 1 （齐次化）（齐次化）一

35、个灭点（一个灭点（x x）在轴上的）在轴上的1/p1/p处；处；另另一个灭点（一个灭点（z z）在轴上的）在轴上的1/r1/r处处。平面几何投影变换平面几何投影变换透视投影透视投影xy(3)(3)三点透视三点透视 以此类推，当以此类推，当 p p、q q、r r三个元素全为非三个元素全为非0 0时，变换的结时，变换的结果将形成三点透视。产生的三个灭点将分别位于轴上的果将形成三点透视。产生的三个灭点将分别位于轴上的1/p1/p处、轴上的处、轴上的 1/q 1/q 处和轴上的处和轴上的 1/r 1/r 处。处。 平面几何投影变换平面几何投影变换透视投影透视投影61 在生成一点透视图时，为了避免特殊

36、位置透视，在生成一点透视图时，为了避免特殊位置透视，使产生的透视图立体感较好，通常要在进行透视变使产生的透视图立体感较好，通常要在进行透视变换前先将立体平移到一个合适的位置（例如离开坐换前先将立体平移到一个合适的位置（例如离开坐标系中心），然后再进行透视变换。标系中心），然后再进行透视变换。平面几何投影变换平面几何投影变换透视投影透视投影设：视点（投影中心）在设：视点（投影中心）在Z Z轴上轴上（z=-dz=-d），投影面在），投影面在XOYXOY上，一点上，一点透视的步骤：透视的步骤：平移三维形体到（平移三维形体到（l l、m m、n n）确定确定d d的值，的值，透视变换透视变换向向XOY

37、XOY作正投影变换作正投影变换平面几何投影变换平面几何投影变换一点透视一点透视 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 01 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0Tp1=Tp1=0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 = 0 1 0 0 0 1 0 0 = 0 1 0 00 0 1 0 0 0 1 1/d 0 0 0 00 0 1 0 0 0 1 1/d 0 0 0 0 0 0 0 1/d 0 0 0 1/dl m n 1 0 0 0 1 0 0 0 1 l m 0 1+n/dl m n 1 0 0 0 1 0

38、0 0 1 l m 0 1+n/dXYZ(a) (a) 单位立方体单位立方体(b) (b) 一点透视一点透视举例：举例：单位立方体（如图单位立方体（如图a a）的一点透视）的一点透视投影。投影。要求：要求：将顶点（将顶点（0,0,00,0,0）平移（）平移（l,m,nl,m,n) )，并以并以(0,0,d)(0,0,d)为投影中心，将结果投影到为投影中心，将结果投影到z=0z=0得平面得平面（如图（如图b b），求变换矩阵。，求变换矩阵。已知：已知：l=0.8, m=-1.6, n=-2l=0.8, m=-1.6, n=-2，d=-2.5d=-2.51 0 0 0 1 0 0 00 1 0 0

39、 0 1 0 0Tp1= 0 0 0 1/d = 0 0 0 0.4l m 0 1+n/d 0.8 1.6 0 1.8两点透视绘图方法两点透视绘图方法1.1. 将顶点（将顶点（0,0,00,0,0）平移（）平移（l,m,nl,m,n) )2.2. 绕绕y y轴旋转轴旋转角度（角度（9090 ）3.3. 二点透视变换二点透视变换4.4. 向向xoyxoy平面平面( (z=0)z=0)进行正投影变换进行正投影变换平面几何投影变换平面几何投影变换二点透视二点透视xyXYZ(a)(a)单位立方体单位立方体 (b)(b)平移平移( (l,m,nl,m,n) ) (c)(c)绕绕y y旋转旋转 (d)(d

40、)透视投影透视投影XYZXYZXYZ1 0 0 0 1 0 0 0 coscos 0 sin 0 sin 0 1 0 0 p 1 0 0 0 0 1 0 0 p 1 0 0 00 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 00 0 0 0 -sin0 0 0 0 -sin 0 0 coscos 0 0 0 1 r 0 0 0 0 0 0 0 1 r 0 0 0 0l m n 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 m n 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 coscos 0 0 0 0 p

41、cospcos- -rsinrsin = 0 1 0 0= 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 psinpsin+ +rcosrcos lcoscos+ +n nsinsin m m 0 0 p(p(lcoscos+ +nsinnsin)+)+r(ncosr(ncos- -lsinsin)+1)+1xy两点透视另一种绘图方法：两点透视另一种绘图方法：1.1. 将形体绕将形体绕y y轴旋转轴旋转角度（右手法则，角度（右手法则，9090 ）；）；2.2. 将顶点（将顶点（0,0,00,0,0）平移（）平移（l,m,nl,m,n) )；3.3. 以以(0,0,d)(0,0,d)为投影中心向为投影

42、中心向xoyxoy平面平面( (z=0)z=0)进行透视投影变进行透视投影变换换coscos 0 -sin 0 -sin 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0sinsin 0 0 coscos 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1/d 0 0 1 0 0 0 0 1/d 0 0 0 1 0 0 0 1 l m n 0 0 0 0 1 m n 0 0 0 0 1 coscos 0 0 - 0 0 -sinsin/d/d= 0= 0 1 0 0 1 0 0 sin s

43、in 0 0 0 0 coscos/d/d l m 0 n/d+1 m 0 n/d+1三点透视绘图方法三点透视绘图方法1.1. 将顶点（将顶点（0,0,00,0,0）平移到适当位置平移到适当位置(l(l，m m，n)n)2.2. 将形体绕将形体绕y y轴旋转轴旋转角度角度3.3. 将形体绕将形体绕x x轴旋转轴旋转角度角度4.4. 三点透视变换三点透视变换5.5. 向向xoyxoy平面平面( (z=0)z=0)进行正投影变换进行正投影变换平面几何投影变换平面几何投影变换三点透视三点透视XYZXYZXYZXYZXYZ三点透视绘图方法三点透视绘图方法1.1. 将顶点（将顶点（0,0,00,0,0）

44、平移到适当位置平移到适当位置(l(l，m m，n)n)2.2. 将形体绕将形体绕y y轴旋转轴旋转角度角度3.3. 将形体绕将形体绕x x轴旋转轴旋转角度角度4.4. 三点透视变换三点透视变换5.5. 向向xoyxoy平面平面( (z=0)z=0)进行正投影变换进行正投影变换1 0 0 0 1 0 0 0 coscos 0 -sin 0 -sin 0 0 1 0 0 0 1 0 0 p 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 p 1 0 0 00 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 coscos -sin -sin 0 0 0 1 0 q 0 1 0 q 0

45、 1 0 0 0 1 0 00 0 0 0 sin0 0 0 0 sin 0 0 coscos 0 0 0 0 -sin-sin coscos 0 0 0 1 r 0 0 0 0 0 0 0 1 r 0 0 0 0l l m n 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 m n 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1平面几何投影变换平面几何投影变换三点透视三点透视三点透视三点透视另一种另一种绘图方法：绘图方法：1.1.将形体绕将形体绕y y轴旋转轴旋转角度；角度；2.2.将形体绕将形体绕x x轴旋转轴旋转角度；角度；3.3.将顶点（将顶点（

46、0,0,00,0,0）平移到适当位置平移到适当位置(l(l，m m，n)n)；4.4.以以(0,0,d)(0,0,d)为投影中心向为投影中心向xoyxoy平面平面( (z=0)z=0)进行透视投影变换进行透视投影变换。coscos 0 -sin 0 -sin 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 coscos sin sin 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0sinsin 0 0 coscos 0 0 0 -sin 0 -sin coscos 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1/d 0 0 1 0 0 0 0 1/d 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 l m n 1 0 0 0 1 m n 1 0 0 0 1 coscos sin sinc