2018中考相似三角形-动点问题-分类讨论问题(培优及答案)

1、2018年中考复习相似动点分类讨论1.如图，已知一个三角形纸片 ABC, BC边的长为8, BC边上的高为6, B和 C都为 锐角，M为AB一动点（点M与点A、B不重合），过点M作MN / BC ,交AC于点N , 在八AMN中，设MN的长为x , MN上的高为h .（1）请你用含x的代数式表示h .（2）将4AMN沿MN折叠，使ZXAMN落在四边形BCNM所在平面，设点 A落在平面的点为A1, AMN与四边形BCNM重叠部分的面积为 y ,当x为何值时，y最大，最大值为多少？【答案】解：（1） Q MN /h AMN abc 6BC QAAMNA1MN A1MN的边MN上的高为当点A落在四边

2、形BCNM内或BC边上时，c1yS»aa(mn = MN ' h213-x- - x2 43 2-x (08当A1落在四边形BCNM外时，如下图（48),设 A1EF的边EF上的高为h1 ,则几 2h3x 6 2Q EF / MN A1EFAMNQA A1MN s& abc AEF abc& AEFS*A ABCSA Ai EF23.x 62 2463 2-x 12x 242Q ySA A1MNSA A1EF3 2-x2 12x 2429 2-x2 12x 2481Q Sa ABC6 8 2429 2. 八 ,y -x2 12x 24 (48综上所述：当0 x

3、 0 4时,.-9 o当 4 x 8 时，y x8x 8)3 2y - x ,取x 4 , y最大6 816°12x 24 ,取 x 一 , y最大 8Ai3Q8 6当x二时，y最大，y最大832.如图，抛物线经过 A(4,0) B(1,0), C(0, 2)三点.(1)求出抛物线的解析式;(2) P是抛物线上一动点，过 P作PM x轴，垂足为M,是否存在P点，使得以A, P, M为顶点的三角形与 4OAC相似？若存在，请求出符合条件的点 P的坐标；若不存在，请 说明理由；【答案】解：(1)Q该抛物线过点C(0, 2), 可设该抛物线的解析式为 y ax2 bx 2 .将 A(4,0

4、), B(1,0)代入，16a 4b 2 0, a b 2 0.解得12此抛物线的解析式为5.2(2)存在.1 c 5如图，设P点的横坐标为 m,则P点的纵坐标为 -m2 5m 2,2 2当 1 m 4时，AM 4 m, PM1m2 -m 2 .22AM AO 2又Q COA PMA 90°, 当 -O 时，APMsZaco,PM OC 1一1 o 5即4 m 2 m -m222解得m1 2, m2 4 (舍去)，P(21) .AMOC1当 时， APM s/XCAO ,即2(4 m)PMOA2解得n 4, m2 5 (均不合题意，舍去) 当1 m 4时，P(2,1).类似地可求出当

5、 m 4时，P(5, 2).当m 1时，P( 3, 14) .综上所述，符合条件的点 P为(2,1)或(5, 2)或(3, 14).283.如图，已知直线l1:y 2x 8与直线l2 : y 2x 16相交于点C,小l2分别父x轴于 33A B两点.矩形DEFG的顶点D、E分别在直线ll2上，顶点F、G都在x轴上，且点G与点B重合.(1)求 ABC的面积；(2)求矩形DEFG的边DE与EF的长；(3)若矩形DEFG从原点出发，沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t(0 w t w 12)秒，矩形DEFG与 ABC重叠部分的面积为 S,求S关于t的函数关系式，并写出相应的t的

6、取值范围.ZA O F (GB x4. A点坐标为4,0 .28【答案】(1)解：由2x 8 0,得x33由 2x 16 0,得 x 8.B点坐标为8,0 . AB 8412.28y 3x 3,解得 y 2x 16.x 5, y &C 点的坐标为c1 1-八 “SaabcAB，yc12 6 36.222八8八(2)解：二,点 D 在 11 上且 xD xB 8, yD 8 8.33D点坐标为8,8 .又丁点E在12上且yEyD 8,2xe 16 8. xe 4. E 点坐标为 4,8.OE 8 4 4, EF 8.（3）解法当0W t 3时，如图1,矩形DEFG与4ABC重叠部分为五边

7、形CHFGR ( t 0 时，RtARGBRtACMB.过C作CM为四边形CHFG ）（图2）（图3）.BG RG 日口 t RG一，即一， RGBM CM 36Q RtAAFH s Rt/XAMC,2t.SA ABCSABRG SA AFH11236 - t 2t - 8 t - 8 t .2234,2 16, 44-t 一t 一333当3 t 8时，如图2,为梯形面积，: G (8 1,0)GR=2 . .8(8 t) 一332t, 3803，12,，8 c 2tl 8, 4k(4 t) - 8 -t333312时，如图3,为三角形面积,1 2t2(8 予(12t2t) 8t 4834.如

8、图,矩形ABCD中，AD 3厘米,AB a厘米(a出发，分别沿BA, BC运动，速度是1厘米/秒.过3) .动点M , N同时从B点M作直线垂直于 AB ,分别交 AN , CD 于 P,N到达终点C时，点M也随之停止运动.设运动时间为t秒.(1)(2)若a 4厘米,若a 5厘米,t 1秒,则PM厘米;求时间t,使PNBspad,并求出它们的相似比;PMBN ,梯形 PQDA ,梯形PQCN的面积都相等？若存在，求(3) Q PM ± AB, CB ± AB, AMP ABC ,AMPPM AMBN ABPMta t，Q PM at(a at)(3)若在运动过程中，存在某时

9、刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值(4)是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形3【答案】解： (D PM -, 4 t 2,使PNBsPAD,相似比为3: 2QM当梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，即(QPAD)DQ 2(MP BN)BM23 t(a 1)3 a 6a化简得t6 at(a t) 3 (a 1)-(a t) t ta a226aQt < 3,&3,则 a&6, 3 a<6,6 a(4) Q3 a< 6时梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等PM梯形PQCN的面积与梯形PMBN的面积相等即可，则 CN-(a t) 3

10、 t,把t -6a-代入，解之得a2J3,所以a6 a所以，存在a ,当a 2百 时梯形PMBN与梯形PQDA的面积、梯形PQCN的面积相等.5.如图，已知 ABC是边长为6cm的等边三角形，动点 P、Q同时从A、B两点出发，分另沿AB、BC匀速运动，其中点 P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t (s),解答下列问题：(1)当t=2时，判断 BPQ的形状，并说明理由；(2)设 BPQ的面积为S (cm2)，求S与t的函数关系式；(3)作QR/BA交AC于点R,连结 PR,当t为何值时， APRA PRQ?【答案】 解： B

11、PQ是等边三角形，当t=2时,AP=2 X 1=2,BQ=2X 2=4，所以BP=AB-AP=6-2=4，所以BQ=BP又因为/ B=60,所以 BPQ等边三角形.(2)过 Q作 Q吐 AB,垂足为 E,由 QB=2y,得 QE=2t sin60 0= J3t,由 AP=t,得 PB=6-t,113 2所以 SA BPQ=1 XBPX QE=1 (6-t) X %；3t=- -t +333 t ；(3)因为 QR/ BA,所以/ QRCW A=60°, / RQCW B=60°,又因为/ C=6C0,所以 QRB等边三角形，所以 QR=RC=QC=6-2t因为 BE=BQ

12、cos600=1 X 2t=t,2所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t, 所以EPII QR,EP=Q即以四边形EPRQ平行四边形所以 PR=EQ=3 t,又因为/ PEQ=90, 所以/ APR=Z PRQ=90.因为 APK PRQ,所以/ QPRW A=60°,所以 tan60 0=QR ,即 6M J3 ,所以 t= 6 ,所以当 t=9 时，PR 、3t55APR- PRQ 6.在直角梯形 OABC 中，CB/OA, /COA = 90o, CB= 3, OA=6, BA=3x/5.分别以 OA、 OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系.(1)

13、求点B的坐标；(2)已知D、E分别为线段 OC、OB上的点，OD=5, OE = 2EB,直线DE交x轴于点F.求 直线DE的解析式；(3)点M是(2)中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N.使以0、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.(第26题图1)P «» ¥ PT1M-4 F(1)用解U,釉于电乩则四边博附:为也影，二 - CfS 3 画匚丽j/my/*/.感出的用;凉为c, 件 AC 1X 轴干点 C. W EC/HH./. CEMACHH. (4分).OE 一" EG OB -而

14、布乂 0K-2EB.，）£ 22 OC EC，川 3 * 3 3 f> 1A UJ2, EC 7 ,点我的坐标为（2. 4） .（5分）乂二 点"的坐标为（0. 5）.设K线t）E的解析式为y=4r *6.则吃”加二在线"2的钟析式为；y«（7分）（3）答：存在如图I.当“）= IM = W.V .N。«5时.四边形DDMN为菱形.作好口 刎于点心 M MPx . AMP2AFM 赤" 丽二.。乂，当 "-。时.-yr SxO. ttij X = 10, ，点的坐标为 （10. 0）. OF = 10.在 RiAfW

15、中/'=，0、/)ZT- vFTlO2 =5 仔.二A WP，2Jf,小, A 点,W的坐标为2& 5+75).点A的坐标力（-2 6, 5）2如图2 .巧on = /ZV = VM W V。h S时.闪边 一的、M为菱形.延K NV交轴干点儿则 vr iiM.,-点W化仃线y- - 9 5匕.谀M点坐除方（a. -yn*5）,在Hl AOPM中.。户 /|=。千，解力*=4.%=。（禽去）. 点M的坐标为3. 3）, /. 点用侑坐标为（4. K）. （12分） 3 如图 5,=A 0时,边形“”/八为费心.连接AM交川）T点.则,VM1。"，上相垂直丫分.】m。，

16、工，：/ 5 ; ； , t xv-S, * «、=一4”一5./.点'的牛你为（-5. 2）- -W分）煤I所述.”柏L方的点N疗二个，分别为M（ -2仔，仔, NJ4. «）.«5 2）-A 01.7.在图15-1至图15-3中，直线 MN与线段 AB相交于点 O, / 1 = /2 = 45 .B(1)如图15-1 ,若AO = OB,请写出AO与BD的数量关系和位置关系；(2)将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到图 15-2,其中AO = OB .图7-1求证：AC = BD, AC ± BD;(3)将图15-2中的OB拉长为 AO的

17、k倍得到图15-3,求-BD的值.AC【答案】 解：(1) AO = BD, AOLBD;rcC图7-2(2)证明：如图 4,过点 B 作 BE/ CA 交 DO 于 E,/ ACO = / BEO.又AO = OB, Z AOC = /BOE, AOC 9 ABOE. .1.AO = BE.又/ 1 = 45；，/ACO = Z BEO = 135 °.，/DEB = 45 °. /2 = 45 ； BE = BD, / EBD = 90 °. . . AC = BD. 延长 AC 交 DB 的延C长线于N图 7-3F,如图 4. . BE/AC, . AFD

18、= 90 °. ，AC，BD.(3)如图 5,过点 B 作 BE / CA 交 DO 于 E,/ BEO = / ACO.又. / BOE = Z AOC , .BOE s AAOC.BEACBOAO又 OB = kAO,由(2)的方法易得 BE = BD . z. -BD AC10.如图，已知过 A (2, 4)分另1J作x轴、y轴的垂线，垂足分别为 M N,若点P从O点出发,沿OM乍匀速运动，1分钟可到达M点，点Q从M点出发，沿MA作匀速运动，1分钟可到达A点。(1)经过多少时间，线段 PQ的长度为2?(2)写出线段PQ长度的平方y与时间t之间的函数关系式和 t的取值范围；(3)

19、在P、Q运动过程中，是否可能出现 PQ! MN若有可能，求出此时间 t ;若不可能，请说 明理由；(4)是否存在时间t ,使P、。M构成的三角形与 MON®似？若存在，求出此时间 t;若不可 能，请说明理由；考点五：相似三角形中的动点问题1 .在矩形 ABCD中，AB=12cm , AD=6cm，点P沿AB边从点 A开始向点 B以2cm/秒的 速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果 P、Q同时出发， 用t （秒）表示运动时间（0*6）,那么当t为何值时，4APQ与4ABD相似？说明理由.2 . （2011?乌鲁木齐）如图，在 4ABC中，/B=90

20、6;, AB=6米，BC=8米，动点 P以2米/ 秒的速度从A点出发，沿AC向点C移动.同时，动点 Q以1米/秒的速度从C点出发，沿CB向点B移动.当其中有一点到达终点时，它们都停止移动.设移动的时间为t秒.（1）当t=2.5秒时，求4CPQ的面积；求4CPQ的面积S （平方米）关于时间t （秒）的函数解析式；（2）在 巳Q移动的过程中，当 4CPQ为等腰三角形时，写出 t的值；3.（金华）如图所示，在 4ABC中，BA=BC=20cm , AC=30cm，点P从A点出发，沿 着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向 A点运动，设运动时间为 x.（1）当x为何值时，PQ/ BC;（2）当S欧求包股的值；,ABC §（3） AAPQ能否与4CQB相似？若能，求出 AP的长；若不能，请说明理由.4.如图，平面直角坐标系中，