2017-2020年江西省赣州市高二上期末数学试卷(理科)(有答案)

1、2019-2020学年江西省赣州市高二（上）期末数学试卷（理科）、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的1. （5分）命题“ ？ nC N*, f （n） ?N*且f （n） & n”的否定形式是（）A? nC N, f（n）?2且 f（n）>nB.? nC M, f（n）?2或 f（n）>nCfG。）住 N* 且 f（n0）>n0D 3noe由 N* 或 f（n0）>n。2. （5分）若复数且4二2-i其中a, b是实数，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（ b-iA第一象限B.第二象限 C第

2、三象限D.第四象限3. （5分）已知a, b, c均为实数，则"b 2=ac”是“a, b, c构成等比数列”的（>A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. （5分）抛物线x2=%的准线方程是（）A. y=1 B . y= - 1C. y=- D. y=-5. （5 分）在等差数列an中，a=1, a3+a4+&+a6=20,则 a8=（）A. 7B. 8 C 9D. 106. （5分）已知 ABC勺两个顶点A （5, 0）, B （-5, 0）,周长为22,则顶点C的轨迹方程是A.22K J -1 36 11I 22K-1+- 19

3、 1& 1B.D.22卷+仔1r°）22仁上述为）7.（5分）函数fQ”A.x=e为函数f（x）的极大值点B.x=e为函数f（x）的极小值点C:为函数f（x）的极大值点D. 为函数f（x）的极小值点ee8. （5分）如图所示，在正方体 ABCD ABGD中，已知M, N分别是BD和AD的中点，则BM与DN所成角的余弦值为（A B 2i_L_C.； D.,101530152 a9. （5分）已知数列an, ai=1, a =,则aio的值为an+2A. 5B.二 C. £ D.工5211m的取值范围是（10. （5分）若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则

4、实数A. （-i-, +00）B. （ OO,二C.二,+00）D. （一 00, X）11. （5分）已知x, y （0, +oo）,且满足那么x+4y的最小值为（ x 2yA寸飞C.丁D.3手"212. （5分）如图，Fi, F2是双曲线C:三9 a2J=1 （a>0, b>0）的左、右两个焦点.若直线y=x与双曲线C交于P、Q两点，且四边形PFQF为矩形，则双曲线的离心率为（A. 2+ =B. 2+.，C. : D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. （5 分）若£（-3, 2, 5）, b=（h -3,0）t

5、c=（7（ 2 1）,贝奴7+工六工=.14. （5 分）J ：dx=.15. （5分）椭圆C的中心在坐标原点，左、右焦点 F1, F2在x轴上，已知A, B分别是椭圆的 上顶点和右顶点，P是椭圆上一点，且PFx轴，PR/ AB,则此椭圆的离心率为 .16. （5 分）已知 f （x, y） =ax+by,若 10f （1, 1） <2 且-1&f （1, - 1） < 1,则 f （2,1)的取值范围为三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. (10 分)设数列an满足 ai=1, an+i=3an, nCN.(I )求an的

6、通项公式及前n项和S；(H)已知bn是等差数列，且满足 b尸&, b3=ai+a2+a3,求数列bn的通项公式.18. (12分)已知抛物线y2=2px (p>0),焦点对准线的距离为4,过点P (1, -1)的直线交 抛物线于A, B两点.(1)求抛物线的方程；(2)如果点P恰是线段AB的中点，求直线AB的方程.19. (12分)如图，直三棱柱 ABC- ABG中，D, E分另I是AB, BB的中点，AA=AC=CB=2AB=2力. (I )证明：BC/平面ACR(H)求锐二面角D- A1C- E的余弦值.20. (12分)在圆x2+y2=4上任取一点P,点P在x轴的正射影为点

7、Q,当点P在圆上运动时, 动点M满足而二2祗，动点M形成的轨迹为曲线C.(I)求曲线C的方程;(H)点A (2, 0)在曲线C上，过点(1, 0)的直线l交曲线C于B, D两点，设直线AB斜率为忆，直线A皿率为k2,求证：k1k2为定值.21. (12分)如图，四棱锥P-ABCDK 底面ABC师平行四边形,兀 AB=2AD=2 4AE二年,PD±AD PD£DC(I)证明：平面 PBCL平面PBD(n)若二面角P-BC- D为二，求AP与平面PBCf成角的正弦化6CA22. (12 分)设函数 f (x) =x2ex.(1)求曲线f (x)在点(1, e)处的切线方程；(2

8、)若f (x) <ax对xC (-8, 0)恒成立，求a的取值范围；(3)求整数n的值，使函数F (x) =f (x)-在区间(n, n+1)上有零点.2019-2020学年江西省赣州市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1. （5分）命题“ ？ nC N*, f （n） ?N*且f （n） & n”的否定形式是（）A. ? nC M,f（n）?2且 f（n）>nB. ? nC M,f（n）?2或 f（n）>ncfG。）住/且 f（n0）>n0

9、D. fG。）住 N* 或 f（，）>n。【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“？ nCN*, f （n） ?N*且f （ n） <n”的否定形式是：Eln口 £n二£（口口）却率或£（佻） >n。.故选：D.2. （5分）若复数要注=2-i其中a, b是实数，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（ b-iA.第一象限B.第二象限C第三象限D.第四象限【解答】解：复数坐=2-i ,其中a, b是实数，b-i. a+i= (2i) (b-i ) =2b - 1- (2+b) i,(小 2b-L h=-C2+b)解得b=-3,a=-

10、 7.则复数a+bi在复平面内所对应的点（-7, -3）位于第三象限.故选：C.3. （5分）已知a, b, c均为实数，则"b 2=ac”是“a, b, c构成等比数列”的（A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解：由"b 2=ac”推不出“a, b, c构成等比数列，比如a=b=c=0,反之成立，故选：A.4. (5分)抛物线x2=Ly的准线方程是(4A. y=1 B . y= 1C. y=-16D. y=-【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=ly,焦点在y轴上;4所以：2p=L,即p=L 48所以：2=X, 2 16所以

11、准线方程y=-116故选：D.5. （5 分）在等差数列an中，ai=1, a3+a4+&+a6=20,则 a8=（A. 7B. 8C. 9D. 10【解答】解：设公差为d,贝U 1+2d+1+3d+1+4d+1+5d=20 . . d邑a8=1+7d=9,故选C.6. (5分)已知 ABC勺两个顶点A (5, 0), B (-5, 0),周长为22,则顶点C的轨迹方程是【解答】解： ABC的两个顶点A (5, 0), B (-5, 0),周长为22,则顶点C的轨迹是椭圆,可知 c=5, 2a=12,解得 a=6, c=/U.22则顶点C的轨迹方程是：.36 11”故选：B.7. (5

12、分)函数式力仝三，则(A. x=e为函数f (x)的极大值点C. W为函数f (x)的极大值点B. x=e为函数f (x)的极小值点D. 为函数f (x)的极小值点【解答】解：式不 Ji1的定义域（0, +8）,求导f' （X）上空，工J令f，（X）=LTn >0,解得：0<x<e,令 f' （x）上垣邑 <0,解得：x>e,XX,函数二互区在（0，e）上递增，在（e, +00）上递减， "" £二当x=e时，函数有极大值，故选A.8. （5分）如图所示，在正方体 ABCD ABGD中，已知M, N分别是BD和AD的中

13、点，则BiM与DN所成角的余弦值为（15【解答】解：建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2,则Bi （2, 2, 2）, M （1,1, 0）,D (0, 0, 2), N (1, 0, 0),Bjf= (1, - 1, -2), O= (1, 0, -2),BM与DN所成角的余弦值为|、=空当=卡叵,V1+1+4-V1+410故选：A.9. （5分）已知数列an,曰二1,A. 5 B.C112D.211+1%n + 2,则a10的值为（【解答】解：.数列an, ai=1,2X1 = 22xf 七q一 r22Xy5'a4二 2 %由此猜想an- n+1卜面利用数学归纳法进行证明:5

14、Gl，二i，成立；假设ak=, k+14eh4己k12,【、.、.人雇 1=丁+J(k+l)+成乂' k+1 ', _ _ 年'故选：D.10. （5分）若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数 m的取值范围是（【解答】解：若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，只需y' =3x2+2x+m> 0恒成立，即4 =4-12mC0,.3故选C.11. (5分)已知x, y (0, +oo),且满足L匕那么x+4y的最小值为( x 2yA y -41 B 3-Py- C. +V D.【解答】解：:x, y (0, +oo),且满足"

15、;L+4二2，)(x+4y) 2y12当且仅当x=2近尸1+二时取等号.2故选：C.212. (5分)如图，Fi, F2是双曲线C:当 a2J=1 (a>0, b>0)的左、右两个焦点.若直线 t/y=x与双曲线C交于P、Q两点，且四边形PFQF为矩形，则双曲线的离心率为(A. 2+ = B. 2+. ： c. ： D.，【解答】解：由题意，矩形的对角线长相等，2222y=x代入/一言=1,可得x=±、烹彳，2a2b2= (b2 - a2) c2,2a2 (c2- a2) = (c2- 2a2) c2, 2 (e2 - 1) =e4- 2e2,.e4-4e2+2=0,.

16、e>1, . e2=2+J2, e= /J! .：.故选：C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13. (5 分)若 £-3, 2, 5), X=(l, 7, 0)，工二(0-2, 1),贝八%+工”工=-7【解答解：2, 5), k(l, T, 0)、£仃，也 1)，则a+Z"c= (-2, - 1, 5)? (7, - 2, 1) =- 14+2+5=- 7;故答案为：-7.14. (5 分)J：d广x【解答】解：1 1e'1_dx=lnx| 1e=lne - ln1=1 ,故答案为115. （5分）椭圆C的

17、中心在坐标原点，左、右焦点上顶点和右顶点，P是椭圆上一点，且 PFx轴,F1, F2在x轴上，已知A, B分别是椭圆的PF2/ AB,则此椭圆的离心率为 逅 .一5 一=1 (a>b>0).【解答】解：如图所示，把x=-c代入椭圆标准方程:22v2贝十三=1,解得y=±-.a2 b£a,2取 P"a J),又 A (0, b), B (a, 0), F2 (c, 0),kAB=-, a. PE II AB.=-上3,化为:a 2acb=2c.4c2=b2=a2 - c2, 即 a2=5c2, 解得 a=/5c,e=。工 ea 5故答案为：近.516.

18、(5 分)已知 f (x, y) =ax+by,若 10f (1, 1) <2 且-1&f (1, - 1) < 1,则 f (2,1)的取值范围为1 , 工一 2【解答】解：f (x, y) =ax+by,若 10f (1, 1) 02 且1&f (1, - 1) < 1,可得,画出不等式组的可行域如图：1 -1< a-b< 1则f (2, 1) =2a+b,当直线z=2a+b经过A时取得最小值，经过B时取得最大值,由/可得b (工工)34)二12 2f (2, 1) =2a+b的最小值为：！，最大值为：一.故答案为：n ,十.三、解答题(本大题

19、共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. (10 分)设数列an满足 a=1, an+1=3an, nCN.(I )求an的通项公式及前n项和S；(H)已知bn是等差数列，且满足 b1=a2, b3=a+a2+a3,求数列bn的通项公式.【解答】解：(I)由题设可知an是首项为1,公比为3的等比数列，(2分)所以"二3k1-3JL _3n-l1-3 -T(6分)（H ）设数列bn的公差为 db1=a2=3, b3=a+a2+a3=S=13, .b3b1=10=2d, . d=5,（8分） .bn=5n2（10分）的直线交18. (12分)已知抛物线y2=2px

20、 (p>0),焦点对准线的距离为4,过点P (1, - 1) 抛物线于A, B两点.(1)求抛物线的方程；(2)如果点P恰是线段AB的中点，求直线AB的方程.【解答】解：(1)由题设焦点对准线的距离为 4,可知p=4,所以抛物线方程为y2=8x;(2)方法一：设 A (xi, y1)，B(X2, y2),则 Xi+X2=2, yI+y2= 2,尸2又_，相减整理得-=-=-=-4,y3x29一万山+上一2所以直线 AB的方程是y=-4 (x- 1) -1,即4x+y-3=0.方法二：由题设可知直线 AB的斜率存在，设直线 AB 的方程为 y=k (x-1) -1, A (玄，y。，B (

21、x2, y2),尸2 一由 了 =3k,消去 x,得 ky2-8y-8k-8=0,易知二320t*)2+56>0力+4*,又 y1+y2= 2 所以=一2, k=-4, k所以直线 AB的方程是y=-4 (x- 1) -1,即4x+y - 3=0.19. (12分)如图，直三棱柱 ABC- A1B1G中，D, E分另I是AB, BB的中点，AA=AC=CB=2 AB监.(I )证明：BC /平面ACD(H)求锐二面角D- A1C- E的余弦值.【解答】解：(I)连结AC,交AC于点O,连结DQ则O为AC的中点，因为D为AB的中点，所以OD/ BC,又因为OD?平面A1CD BC?平面AC

22、D 二BC/平面 ACD- (4分)(H)由孙二ACXB二幻AB二4叵，可知AC! BC以C为坐标原点，近方向为x轴正方向，CB 方向为y轴正方向，CC；方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系 Cxyz,则 D (1, 1, 0), E (0, 2, 1), Ai (2, 0, 2),而二 1, Q),而二3 2, 1)，西二(N 0, 2)设KMv，工）是平面ACD的法向量，则二巴？即bn-CAi =0 1.2"港 0I Lid -CE=0id PC A1 =0 LL可取t=Q, T, T）.（6分）同理，设4是平面AiCE的法向量，则可取盛（2, L -2）（8分）从而8s n-

23、m二 f ="（1。分）|n | J所以锐二面角D- AC- E的余弦值为亚（12分）20. （12分）在圆x2+y2=4上任取一点P,点P在x轴的正射影为点Q,当点P在圆上运动时， 动点M满足而二2同，动点M形成的轨迹为曲线C.（I ）求曲线C的方程；（H）点A （2, 0）在曲线C上，过点（1, 0）的直线l交曲线C于B, D两点，设直线AB斜 率为太，直线人皿率为k2,求证：k1k2为定值.【解答】解：（I）设点M的坐标为（x, y）,则由题意知点P的坐标为（x, 2y）因为P在圆。x2+y2=4,所以x2+4y2=42 日故所求动点M的轨迹方程为七+v.（4分）（H）方法一：

24、由题意知直线l斜率不为0,设直线l方程为x=my+1, B （xb y0 , D （x2, v2？工 2_由，4 y T消去 x,得（m2+4） y2+2my- 3=0, x=nry+l易知 =16m+48 > 0 ,得 y 4 yr,-7 + y, y 0（8 分）n>S4ip2+4除k一 空、一二一一g_二2=三二型,月（x j-2） （my j-1） （roYj-l） mZy1y2-iD（y j+yjJ+l -3m2 +2iD2+m2+4 4以如约二为定值（12分）方法二：(i )当直线l斜率不存在时,BCL 岑），Dtls73（6分）所以k/产工*工二卫产2 1-2 1-2

25、4(ii)当直线l斜率存在时,设直线l方程为y=k (x-1), B (Xi, yi), D(X2, v2由41 消去 y,得（1+4k2） x2-8k2x+4k2-4=0,、产k （工T） 22易知 =48k2+16 > 0 ,+ =_,（8 分）1） 1+妹21 ' 1 + 4k2y iVg k2 （ij-l ）（xz-l） k> -i-Q1十xj+l卜世 2一（芯12）（工工_?） 一（u-2）叼-2） . *2T2（¥4叼）44k2（4k2-4-8kZH4-4k?）3_ _ 一二41c2-4-16cW16k2 目 所以卜-|为定值(12分)21. (12分

26、)如图，四棱锥P-ABCDfr,底面ABC师平行四边形，AB=2AD=2/DAB二乙，PD 9±AD PDLDC(I)证明：平面 PBCL平面PBD(H)若二面角P-BC- D为:二 求AP与平面PBCT成角的正弦值.【解答】 证明：（I ） V PD± AD PDL CDACD=D AD?平面ABCDCD平面ABCD PDL平面 ABCD BC?平面 ABCD.PDLBC -（2 分）-_ 7T又.£ . ；二,，一 _ .2X亚V BE _ AB . . ZAnn Z 2 又岳Er/ADB . sinZ-=1/ADB=90 , AD± BD 又 AD/ BC BdBD -(4 分) 又 PDA BD=D BD?平面 PBD PD?平面