01计数原理与排列(经典题型+答案)

1、分类计数与排列加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有皿种不同的方法，在第二类办法中 有叱种不同的方法，在第n类办法中有小种不同的方法.那么完成这件事共有N=nh十叱十十m 种不同的方法.例1由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条.从A村经B村去C村，共有多少种不同的 走法？这里，从A村到B村有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B村后，再从B村到C村 又有2种不同的走法.因此，从A村经B村去C村共有3X2=6种不同的走法.乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步有皿种不同 的方法，做第n步有叱种不同的方法.那么完成

2、这件事共有N=m,叫叫种不同的方法.例2书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书.1)从中任取一本，有多少种不同的取法？2)从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？解：(1)从书架上任取一本书，有两类办法：第一类办法是从上层取数学书，可以从6本书中任取一本， 有6种方法；第二类办法是从下层取语文书，可以从5本书中任取一本，有5种方法.根据加法原理，得 到不同的取法的种数是6十5=11.(2)从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完成：第一步取一本数学书，有6种方法： 第二步取一本语文书，有5种方法.根据乘法原理，得到不同的取法的种数是N=6X5 = 30.例3：

3、(D由数字1, 2, 3, 4, 5可以组成多少个数字允许重复三位数？(2)由数字1, 2, 3, 4, 5可以组成多少个数字不允许重复三位数？(3)由数字0, 1, 2, 3, 4, 5可以组成多少个数字不允许重复三位数？解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选一个数 字，共有5种选法：第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，这仍有5种选法，第三步确定个位上的数字，同理，它也有5种选法.根据乘法原理，得到可以组成 的三位数的个数是N=5X5X5=125.1 . 一件工作可以用两种方法完成.有5人会用第一种方法完成，另有4人会用第二种方法完成.选出一

4、个 人来完成这件工作，共有多少种选法？2 .在读书活动中，一个学生要从2本科技书、2本政治书、3本文艺书里任选一本，共有多少种不同的 选法？3 .乘积(ai+2k+a3) (bi+b2+bs+bi) (ci+c：+c3+c：+co)展开后共有多少项？4 .从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通：从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地 有2条路可通.从甲地到丙地共有多少种不同的走法？5 . 一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同.(1)从两个口 袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？ (2)从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？ 6. 一

5、名儿童做加法游戏.在一个红口袋中装着20张分别标有数1、2、19、20的红卡片，从中任抽一 张，把上面的数作为被加数：在另一个黄口袋中装着10张分别标有数1、2、9、10的黄卡片，从中任 抽一张，把上而的数作为加数.这名儿童一共可以列出多少个加法式子？7.由09这10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？排列:从n个不同元素中，任取m(m个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的 顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列-用符号表示.排列数公式：(n-2)-(n-m+l)n£A；r =、7)!A； =； A? =: Ar =; A： =：计算：/=：=： 4；二：

6、什么叫不同的排列？元素和顺序至少有一个不同.什么叫相同的排列？元素和顺序都相同的排列.8,写出：（1）从五个元素a、b、c、d、e中任意取出两个、三个元素的所有排列： 由1、2、3、4组成的无重复数字的所有3位数.由0、1、2、3组成的无重复数字的所有3位数.9 .计算：P；。 区 P；-2p；午Pl210 .由数字1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的三位数？1L已知a、b、c、d四个元素，写出每次取出3个元素的所有排列；写出每次取出4个元素的所有排 歹例4：7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：7个元素的全排列一=50407位同学站成两排（前3后4）,共有多少种不同的

7、排法？解：根据分步计数原理：7X6X5X4X3X2X1 = 71 =50407位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列人=7207位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？解：根据分步计数原理：第一步甲、乙站在两端有A；种：第二步余下的5名同学进行全排列有种 则共有A； Al =240种排列方法7 A同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？解法一（直接法）：第一步从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有母种 方法：第二步从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有应种方法 所以一共有=240

8、0种 排列方法.解法二：（排除法）若甲站在排头有 4种方法：若乙站在排尾有A：种方法；若甲站在排头且乙站在 排尾则有种方法.所以甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有A； - 2A； +A：=2400种. 小结一：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，对某些特殊元素可以优先考虑.例5： 7位同学站成一排.甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？解：先将甲、乙两位同学“搠绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有A： 种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有力；种方法.所以这样的排法一共有=1440甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？解：方法同

9、上，一共有封A； =720种.甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？解法一：将甲、乙两同学“搠绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排 头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有种方法；将剩下的4个元素 进行全排列有种方法：最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有&种方法.所以这样的排法一共有 悬& =960种方法.解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站在排头或排尾 有2起种方法，所以丙不能站在排头和排尾的排法有（人-2封）& =960种方法.解法三：将甲、乙两同学“

10、搠绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头 和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有A：种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有封种方法, 最后将甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有A：父用=960种方法.小结二：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）.例6： 7位同学站成一排.甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？解法一：（排除法）A；-4： 用=3600解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有8种方法，此时他们留下六个位置（就称为“空”吧）， 再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有4种方法，所以一共有=3600种方法.甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多

11、少种？解：先将其余四个同学排好有A：种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入 这五个“空”有用种方法，所以一共有星=1440种.小结三：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）.1 .对有约束条件的排列问题，应注意如下类型：某些元素不能在或必须排列在某一位置：某些元素要求连排（即必须相邻）；某些元素要求分离（即 不能相邻）：2.基本的解题方法： 有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位 置）法（优限法）； 某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素 的内部排列，这种方法称为“

12、捆绑法”； 某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空 法”：（4）在处理排列问题时，一般可采用直接和间接两种思维形式，从而寻求有效的解题途径，这是学好排列问 题的根基.12.4x5x6x.x （n - 1） xn=（）A. Cn4 B. n!-3! C. Ann_3 D. Cnn-313 .已知A 2=7A .1则n的值为（）A. 7B. 8C. 9D. 1014 .己知自然数 x 满足 3Ax+13=2Ax+22+6Ax+ 12.则 x=（）A. 3B. 5C. 4D. 615 .世界华商大会的某分会场有A, B, C,将甲，乙，丙，丁共4名“双

13、语”志愿者分配到这三个展台，每个 展台至少1人，其中甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数（）A. 12 种B. 10 种C. 8 种 D. 6 种16 .若 qV19,则将（x-q） （x-q-1） （x-q-2） （x - 19）写成 A m 的形式是（）nA. A xT9 b. a x 20 c. A 19 Qd. A 20" x-qx-qx-qx-q17 .从3本不同的书中选2本送给2名同学，每人各1本，则不同的送法种数为（）A. 9 B. 8 C. 6 D. 318 .若从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四种不同工作，则选派方案有（）A. 180 种

14、B. 360 种 C. 15 种D. 30 种19 .用0, 3, 4, 5, 6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是 （）A. 36 B. 32 C. 24 D. 2020 .5本不同的课外读物分给5位同学，每人一本，则不同的分配方法有（）A. 20 种B. 60 种C 120 种 D. 100 种21 .一部记录影片在4个单位轮映，每一单位放映一场，则不同的轮映方法数有（）A. 16 B. 44 C. A44 D. 4322 .ffl 1, 2, 3, 4四个数字可以组成数字不重复的自然数的个数（）A. 64 B. 60 C. 24 D. 25623

15、.有5个不同的红球和2个不同的黑球排成一列，其中红球甲和黑球乙相邻的排法有（）A. 720 B. 768 C. 960 D. 144024 .高三（-）班学要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个 舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（）A. 1800 B. 3600 C. 4320 D. 504025 .某班新年联欢会原定的5个节目已排成行目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新行目插入 原节目单中，那么不同插法的种数为（）A. 42 B. 96 C. 48 D. 12426 .把ABCDE这5个字母排成一排，A, B都不和C相邻的排法有（）A. 24 种B. 30 种C. 32 种D. 36 种27 .由数字1, 2, 3, 4, 5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（）A. 60 个B. 48 个C. 36 个D. 24 个28.6张卡片上分别写有数字1, 1, 2, 3, 4, 5,从中取4张排成一排，可以组成不同的4位奇数的个数为 （）A. 180 B. 126 C. 93 D. 6029 .三个人坐在一排八个座位上，若每人的两边都要有空位，则不同的坐法种数为.30 .由数字0, 1, 2, 3, 4, 5组成没有重复