数列知识点复习

1、数列知识点复习cab21、如果、如果a,b,c成等差数列，则称成等差数列，则称b为为a、c的的等差中项等差中项a,b,c成等差数列成等差数列2cab即：一、等差数列等比数列的通项公式：一、等差数列等比数列的通项公式：2、等差数列通项公式：、等差数列通项公式：),()() 1(*1Nmndmnaadnaamnn 则：满足：若项数、等差数列qplmqplman,32qplqplmlm 时，特别地：qplaaa2qplmaaaa二、证明一些数列是等差数列二、证明一些数列是等差数列 是，求出公差和首项是否是等差数列，如果数列判断的通项公式是例、已知数列nnnanaa, 34 注：注： qpnaann的

2、通项公式可表示为：等差数列其中其中p,q均是常数均是常数当当d0时，数列时，数列an是递增数列是递增数列当当d0时，数列时，数列an是递减数列是递减数列当当d=0时，数列时，数列an是常数列是常数列P为公差为公差首项为首项为p+q二、等比数列的通项公式：二、等比数列的通项公式：1、如果、如果a,b,c成等比数列：成等比数列：bcab那么：那么：a,b,c成等比数列成等比数列acb 22 2、等比数列的通项公式：、等比数列的通项公式：称称b为为a、c的的等比中项等比中项acb即：)(*11Nnqaann 则：满足：若项数、等比数列qplmqplman,32pqmlmlpql 特特别别地地：时时，

3、2lpqaaaqplmaaaa),(*)(Nmnqaamnmn即：等比数列单调性：等比数列单调性：步骤：步骤： 1n1nqaa 写写出出通通项项公公式式1 找找到到对对应应的的函函数数2指数函数指数函数(3)结合指数函数的单调性进行研究结合指数函数的单调性进行研究结论：结论： 递增递增1011 q,a 递递减减1021 q,a递增递增101 q0 ,a10 01a,q 递递减减说明： 等差数列的项可以为等差数列的项可以为0，公差也可以是，公差也可以是0 等比数列的项等比数列的项不可以不可以为为0，公比也，公比也不可以不可以是是0常数数列常数数列c,c,c,是等差数列还是等比数列是等差数列还是等

4、比数列一、直接或间接运用公式法一、直接或间接运用公式法等差数列的求和公式：等差数列的求和公式：dnaSnnaannn2) 1(12)(1等比数列的求和公式：等比数列的求和公式：还有一些常用公式：还有一些常用公式：6) 12)(1(2222321 nnnn11111)1 (11111qqqaaqnaqqqaqnaSnnn三、等差数列和等比数列的求和公式：Sn= _qn ?,3.为等比数列数列什么条件时满足当常数项和为的前数列例nnnnaaaSna注注: :时1qqqaSnn1)1 (1nnqqaqaS1111AA例、在等比数列例、在等比数列 an 中，它的前项和是中，它的前项和是sn ，当当s3

5、 = 3a3时，求公比时，求公比 q 的值的值解解：（：（1）当）当q = 1 时时 an 为常数列，为常数列， s3 =3a3=3a1恒成立恒成立（2） 当当q 1时时 a1（1 q3）1 - qS3 = 3a3 a1 . (1 + q + q2 ) = 3 a1 q2 a1 0 2 q2 - q -1= 0解得解得 q = - 或或 q = 1（舍去）（舍去）12综上所述：综上所述： q = 1 或或 q = -12注意特别考虑注意特别考虑q=1的情况的情况 等差数列判定方法：等差数列判定方法：（1）定义法：）定义法：（2）递推公式法：）递推公式法：（3）看通项法：）看通项法：（4）看前）

6、看前n项和法：项和法：1nnaa常数,naknbk b（其中为常数）112nnnaaa2()nSAnBn AB、 为常数 等比数列判定方法：等比数列判定方法：（1）定义法：）定义法：（2）递推公式法：）递推公式法：（3）看通项法：）看通项法：（4）看前）看前n项和法：项和法：)0, 0( qkkqann001nnSAAq ( A,q,q) 1nnaa 常常数数0 0112 nnnaaa四、数列求通项公式的几种方法： )(330,. 1*11Nnaaaaannnn中数列 )(21210,. 2*11Nnaaaaaannnnn中数列 2333nan 12nan 构造等差数列 nnnnaaaaa求：

7、，中，、已知数列, 13131113 nnakak 解解：设设（）（ ） 21321 1）（得nnaa构造等比数列构造等比数列迭加法迭加法 nnnnanaaaa求：，中，、已知数列,21411112 aa解：解：223 aa334 aa 11 naann+迭乘法迭乘法 nnnnannaaaa求：，中，、已知数列,11511121342312.1342312nnnnaaaaaaaann解：)( *Nnnan)(2222:*11NnaSaSnnnn解 的通项公式数列求且项和的前为数列S、已知nnnnnaaSna:22,6得到由)2(1nSSannn1122nnnnaaSS)(3223*11Nnaa

8、aannnn 322232,1111aaSaqan首项公比是等比数列数列)(32*Nnann 111722*nnnnaaanN,aa. 、已已知知数数列列中中，（）求求数数列列的的通通项项公公式式，解；解；4534231224321 aaaa）（猜测：* 1Nnnnan然后用数学归纳法证明然后用数学归纳法证明归纳法归纳法(1)分清等差数列与等比数列分清等差数列与等比数列(2) 分清首项分清首项,项数项数(及年份及年份)nnSa 与与分分清清)3(解有关等差、等比数列的实际问题应注意解有关等差、等比数列的实际问题应注意:五、常用数列极限五、常用数列极限)( lim)2(是是常常数数CCn nn1

9、lim) 1 (0C, )3(时时当当1 q0lim nnq0 1 21 21 ) (0)1(limxxxxxxxnn的取值范围是，则若A.B.C.D.的极限讨论数列 nq11- 0limqqnn解：B1 1q11 qq或不存在六、数列极限的四则运算：六、数列极限的四则运算：如果如果 那么那么 ,limaannbbnnlimbabannn)(limbabannn)(lim)0(limbbabannnaCaCnn)(lim注：上述法则可推广到注：上述法则可推广到有限个有限个数列的加和乘数列的加和乘有极限例、已知例、已知 , ,求求 , 5lim nna3lim nnb).43(limnnnba

10、等于多少？则若)6(lim5)27(lim, 7)45(limnnnnnnnnnbababa改题：nnnnnnnnbaBbaAba2745lim)6(lim124675BABA分析：分析：21BAnnnnnnnnnnnnnnbababababa27lim45lim2127214521lim)6(lim222222222123123000000nnnnn.nlim()nnnnnlimlimlimlimnnnn.判判断断：项数是无限的，所以是不可以直接用性质的项数是无限的，所以是不可以直接用性质的1、 已知已知 ，求常数，求常数 的值的值.1)2122(lim2 bnnannnba、有理型极限：有

11、理型极限：222221234lim.nnnnnnn2123lim()nnn 2(1)lim2nn nn 22lim2nnnn 12 指数型极限指数型极限1 (0 1nnnalima)a 例例、求求 10101,100 1) 1 ( :原式时当解aaa 01111,1)2( 原原式式时时当当a原式时当,10 1) 3(aaa11010 1111limnnnaa无理型极限：无理型极限：21nlim(nn)2101nlim()nn 1267nnnnaqaaalim.aaa 例例、已已知知数数列列为为等等比比数数列列，公公比比是是 ，求求的的值值时当101 qnnnnnnqqqqqaqaq555111

12、lim11lim12时，原式、当15lim1111annaqn时，原式、当解：51q原式时当12q1111lim1lim55nnnnnnqqqqqq原式1极限不存在时当,13q综上：。综上：。七、无穷递缩等比数列各项和七、无穷递缩等比数列各项和对一般的无穷等比数列对一般的无穷等比数列 ,112111 nqaqaqaa 01q 111nnnna (q )Slim Slimq 注意：注意：S与与 的不同的不同 nS定义：我们把定义：我们把 nnS lim叫做这个无穷等比数列叫做这个无穷等比数列)10( q各项的和，记作各项的和，记作SnnSS lim11aq nnnnnSaaaaaaaaSlim.

13、lim.321321 210 B nnnnanSbbaACD1.1.数数列列前前 项项之之和和（），则则数数列列是是（）数数列列（ ）等等差差 数数列列（ ）等等比比数数列列（ ）常常数数数数列列（ ）等等差差或或等等比比数数列列 390nnnanSaad,n_,S.2.2.等等差差数数列列中中，前前 项项和和为为，公公差差则则 为为时时最最大大3021003nnn_3.3.一一等等差差数数列列前前 项项和和为为，前前项项和和为为，则则它它的的前前项项和和为为若数列若数列 是等差数列是等差数列, 则则 也是等差数列也是等差数列 . na,34232kkkkkkkSSSSSSS 若数列若数列 是等比数列，则是等比数列，则 也是等比数列也是等比数列 . na,34232kkkkkkkSSSSSSS 知