八个无敌模型全搞定空间几何的外接球和内切球问题

1、八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球文：付雨楼、段永建今天给大家带来8个求解立体几何内切球与外接球半径的模型，本文最开始 源自付雨楼老师分享的模型，教研QQ群（群号：545423319） 成员段永建老师进 一步作图编辑优化分享。（图1图2方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式（2R）2例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为A. 16B. 20C. 24（2）若二棱锥的二个侧面两垂直，且侧棱长均为J3图3丽a2 b2 c2,即 2R Ja2 b2 c2 ,求出 R4,体积为16,则这个球的表面积是（ C）D . 32,则其外接球的表面积是 9类型一、墙角模型（三条线两个垂

2、直，不找球心的位置即可求出球半径）解：（1） V a h 16, a 2, 4R a a h 4 4 16 24（2） 4R2 3 3 3 9, S 4 R2 9（3）在正三棱锥 S ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且 A正三棱锥S ABC外接球的表面积是 。 36解：引理：正三棱锥的对棱互垂直 。证明如下：如图（3） -1 ,取AB, BC的中点D, E ,连接AE,CD , AE,CD交于H形ABC的中心，SH 平面ABC, SH AB,AC BC, AD BD, CD AB, AB 平面 SCD,AB SC,向理：BC SA, AC SB,即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3

3、）-2,AM MN , SB/MN ,AM SB,AC SB, SB 平面 SAC,S 24 ，选 C；M MN,若侧棱SA 2技则，连接SH ,则H是底面止三角SB （3）题-1(3)题-2SB SA, SB SC, SB SA, BC SA,SA 平面 SBC, SA SC,故三棱锥S ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，(2R)2 (2春)2 (273)2 (2<13)2 36 ,即 4R2 36,正三棱锥S ABC外接球的表面积是36(4 ) 在四面体 S ABC 中，SA 平面ABCBAC120 ,SA AC 2, AB1,则该四面体的外接球的表面积为(D ) A.11B.740

4、D.310C.3(5)如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3,那么它的外接球的表面积是(6)已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为 何体外接球的体积为1的等腰直角三角形和边长为 1的正方形，则该几解析：(4)在 ABC 中，BC2 AC2 AB2 2AB BC cos120 7,ABC的外接球直径为2rBCsin BAC222(2R)2 (2r)2 SA2(2皆)240(5)三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为a,b, c ( a,b,c R ),则ab 12bc 8 ，abc 24,2222a 3, b 4, c 2, (2r) abc229, S 4 R 29ac

5、622,22233(6) (2r) a b c 3, R , R 423 38类型二、垂面模型(一条直线垂直于一个平面)1 .题设：如图5, PA平面ABC解题步骤：步：将 ABC画在小圆面上， A为小圆直径的一个端点，作小圆的直 径AD，连接PD ,则PD必过球心O ;第二步：Oi为 ABC的外心，所以OOi 平面ABC,算出小圆Q的半径O1D r （三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得asin Ab csin Bsin C12r) , OOi PA ；2第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R)2 PA2 (2r)2 2R 7PA2(2r)2 ;R2r2 OO12R ,r2OO

6、122.题设：如图6, 7, 8, P的射影是 ABC的外心三棱锥P ABC的三条侧棱相等三棱锥P ABC的底面 ABC在圆锥的底上，顶点P图6P点也是圆锥的顶点p图8图7-1图7-2p图8-1图8-2图8-3解题步骤:第一步：确定球心 O的位置，取ABC的外心Oi,则P,O,Oi三点共线;第二步：先算出小圆 O1的半径AOi r ,再算出棱锥的高 POi h （也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：OA2 OiA2 OiO2R2 （h R）2 r2,解出R方法二：小圆直径参与构造大圆。例2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（）CA. 3B. 2C. 16D ,以上都不对3

7、解：选 C, （ 3 R）2 1 R2, 3 2 . 3R R2 1 R2, 4 2 3R 0,22R , S 4 R2316万类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）1.题设：如图9-1 ,平面第一步:易知球心。必是PAC 平面 ABC ,PAC的外心，即AB BC （即AC为小圆的直径）PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC第二步:a在 PAC中，可根据正弦定理 sin Asin Bc 2R,求出R sin C2.如图9-2 ,平面 PAC平面ABC ,且ABBC（即AC为小圆的直径）OC222OiC2OiO2222R2r2OiO2AC2 R2 OiO23.如图外心9-3 ,平面 PAC平

8、面ABC ,且ABBC三棱锥P ABC的三条侧棱相等三棱P（即AC为小圆的直径），且 P的射影是ABC的底面 ABC在圆锥的底上，顶点ABC的P点也是圆锥的顶点解题步骤： 第一步：确定球心 。的位置，取 ABC的外心O1,则P,O,O1三点共线;第二步：先算出小圆 O1的半径AO1 r ,再算出棱锥的高 PO1 h （也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：OA2 01A2 O1O2R2 （h R）2 r2 ,解出R4.如图9-3 ,平面PAC 平面ABC，且AB BC （即AC为小圆的直径），且 PA AC ,则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：（2R）2 PA2 （2r）2 2R y,PA2 （

9、2r）2 ； R2 r2 OO12R j2 OO12例3 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1,底面边长为2J3,则该球的表面积为解：（1）由正弦定理或找球心都可得 2R7,2S 4 R2 49（2）方法一：找球心的位置，易知r 1 , hi,方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是42R 2, R 1 , V 34h r ,故球心在正万形的中心 ABCD处，R 1, V 一3SAC的外接圆，此处特殊，Rt SAC的斜边是球半径，(3)在三麴t P ABC 中，PA PB PC3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60 ,则该三棱锥外接球的体积为（A.B.C. 4D.解：选D,圆锥

10、A, B,C在以r、3 ,的圆上,2（4）已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球 径，且SC 2 ,则此棱锥的体积为（O的求面上,AABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直A '2A.6B ,3B.6D.解：OO1R2 r23 21 (3)2、, 631Sh 3类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）O2BiOCiA1O；Bi（2）正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为 J2 ,各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为Oi图 10-1图 10-2图 10-3题设：如图10-1 ,图10-2 ,图10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以 是任意三

11、角形）第一步：确定球心 O的位置，O1是 ABC的外比 则OO1 平面ABC；11 ,第二步：算出小圆 O1的半径AO1 r , OO1 - AA1 h（ AA1 h也是圆枉的局）；22第三步：勾股定理： OA2 OiA2 OiO2R2 (-)2 r2R22,鼠2r(-),解出R2例4 (1) 一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,9 ,八 一、.且该六棱柱的体积为9 ,底面周长为3,则这个球的体积为解：设正六边形边长为正六棱柱的高为h,底面外接圆的关径为3底面积为S 641 2(2)3,33.3,V柱 Shh8R2,3 21 2.(T)(2)8

12、4R 1,球的体积为V 3(2)直三棱柱 ABC A1B1C1的各顶点都在同一球面上,ABACAA12, BAC 120 ,则此球的表面积等于解:BC2m，2r 4, r 2, R <5 , Ssin12020(3)已知EAB所在的平面与矩形 ABCD所在的平面互相垂直,EAEB3, AD 2, AEB 60 ,则多面体 E球的表面积为。16解析：折叠型，法一:EAB的外接圆半径为r11,ABCD的外接O1M.32O2D2, S 16(4)在直三棱柱ABCABQ 中,AB4,AC6, A ,AA134则直三棱柱ABC A1B1cl的外接球的表面积为160解析:2_BC 163628,2r

13、2.7. 324,7Hr2 . 7R222 r28340一,3类型五、折叠模型(如图11)A'BEC题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠第一步：先画出如图所示的图形，将 BCD画在小圆上，找出 BCD和 ABD的外心H1 H2第二步：过H1和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心 O,连接OE,OC ； 第三步：解 OEHi,算出OHi,在Rt OCHi中，勾股定理： OH； CH； OC2例5三棱锥P ABC中，平面PAC 平面ABC, PAC和 ABC均为边长为2的正三角形，则三棱 锥P ABC外接球的半径为解析:2口2r2sin 60R2o2

14、h22r102 HAH1,OAHPR2AO22_2AH 2OiH 22OiO2类型六、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等， 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱;求外接球半径(AB CD , AD BC , AC BD )第二步：设出长方体的长宽高分别为a,b,c,ADBC x, ABCDy, AC BD z ,列方程组,2,22abx222bcy222caz补充：Va BCD(2R)2 a2abc-abc6第三步：根据墙角模型,2Rb21 .4 abc32222222 x y zx y zR 1, R J,求出 R ,8.8例如，正四面

15、体的外接球半径可用此法。AxDycyzxba例6 （1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形 （正四面体的截面）的面积是（2） 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A. 3-3B解：（1）截面为 PCO1,面积是J2 ；（2）高h R 1,底面外接圆的半径为R 1,直径为2R 2,设底面边长为a,则2R a 2, a 亚，S 也a2 宜3 , sin 6044（1）题解答图1三棱锥的体积为V 1 Sh3(3)在三棱锥 A BCD 中，AB CD 2,AD BC 3,ACBD

16、4,则三棱锥 A BCD外接球的表面积为292解析：如图12,设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长,设长宽高分别为a,b,c,则a2 b2 9,2222b c 4, c a 162(a2b2 c2) 9 4 16 29, 2(a2 b2 c2) 9 4 16 29 ,(4)b2292一，4R229一，S2292如图所示三棱锥 A BCD ,其中AB CD 5, AC BD6,ADBC 7,则该三棱锥外接球的表面积为.解析：同上，设补形为长方体,三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为2（a2 b2 c2） 25 36 49 110, a2 b2 c2 55, 4R2 55, S【55

17、;对称几何体；放到长方体中】（5）正四面体的各条棱长都为 J2 ,则该正面体外接球的体积为 解析：这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，2R J3,a,b,c,55类型七、两直角三角形拼接在一起（斜边相同，也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥）模型PC图13题设： APB ACB 90 ,求三棱锥P ABC外接球半径（分析：取公共的斜边的中点 O,连接一一一 _ 一一 1OP,OC ,则OA OB OC OP AB,。为三棱锥P ABC外接球球心，然后在 OCP中求出2半径)，当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值。例7 (1)在矩形A

18、BCD中，AB 4, 则四面体ABCD的外接球的体积为(BC3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角 B AC D , )A,义12解：(1) 2R AC 5, R12595, VR31256412512512532(2)在矩形 ABCD 中，AB 2, BC 的外接球的表面积为3,沿BD将矩形6ABCD折叠,连接AC ,所得三棱锥 A BCD解析：(2) BD的中点是球心O, 2R BD Ji3,S 4 R213类型八、锥体的内切球问题1.题设：如图14,三棱锥P ABC上正三棱锥，求其外接球的半径。第一步:先现出内切球的截面图，E,H分别是两个三角形的外心;第二步:,1求 DH 1BD3，

19、PO PH r, PD是侧面ABP的高;第三步:由 POE相似于PDH ,建立等式：器PO 一，角军出rPDA图142.题设：如图15,四棱锥ABC上正四棱锥，求其外接球的半径第一步:先现出内切球的截面图,P,O,H三点共线;第二步:,1 -求 FH BC , PO2PH r , PF是侧面PCD的高;第三步:由 POG相似于 PFH ,建立等式：OGHFa,解出PFpDoAH_ C图153.题设：三棱锥 P ABC是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为 r ,建立等式VP ABCABCVOPABPACVO PBCVP ABC1 -S3ABC11二 SPAB r二 SPAC331r二 SPBC3S PABSPACS PBC ) r第三步:解出3VP ABCSO ABC SO PAB SO PACSO PBC习题：1.若三棱锥A. 3ABC的三条侧棱两两垂直， 且SA 2 ,SB SC4,则该