高考数学试题中数形结合的应用

1、高考资源网（），您身边的高考专家高考数学试题中数形结合的应用山东省枣庄市第二中学（邮编:277400） 张慧敏1.数形结合是通过“以形助数”（将所研究的代数问题转为研究其对应的几何图形）或“以数助形”（借助数的精确性来阐明形的某种属性），把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来，解决问题的一种数学思想方法它能使抽象问题具体化，复杂问题简单化,在数学解题中具有极为独特的策略指导与调节作用 具体地说，数形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题；或将图形信息全部转化成代数信息，使解决形的问题转化为数

2、量关系的讨论 2.运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：高考资源网（WWW） (1)等价性原则要注意由于图象不能精确刻画数量关系所带来的负面效应； (2)双方性原则既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错； (3)简单性原则不要为了“数形结合”而数形结合，具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二是选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系，做好转化；三是要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线为佳 3.数形结合应用广泛，不仅在解决选择题、填空题显示出它的优越性，而且在解决一些抽象数学问题中常起到

3、事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”，但“以数解形”在近年高考试题中也得到了加强，其发展趋势不容忽视历年的高考都有关于数形结合思想方法的考查，且占比例较大 4.高考试题对数形结合的考查主要涉及： (1)考查集合及其运算问题韦恩图与数轴； (2)考查用函数图象解决有关向题（如方程、不等式等问题）； (3)考查运用向量运算解决的有关问题； (4)考查三角函数图象及应用； (5)数轴及直角坐标系的广泛应用； (6)数学概念及数学表达式几何意义的应用；(7)解析几何中的数形结合一.解决集合、函数问题利用韦恩图、数轴及常见函数图象例1 设A=x|-2x<a，B=y|y=2x+3且xA，

4、C=z|z=x2且xA，若CB，求实数a的取值范围点拨 解决集合问题首先看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决解析 y=2x+3 在-2,a上是增函数，-1y2a+3，即B=y|-1y2a+3，作出z=x2的图象，该函数定义域右端点x=a有三种不同的位置情况如下： (1)当-2a0时，a2z4,即C=z|a2z4，要使CB，必须且只需2a+34,得a，与-2a<0矛盾.(2)当0<a2时，0z4，即C=z|0z4，要使CB，由图可知：必须且只需解得a2.(3)当a>2时，0za2，即C=z

5、|0za2，要使CB，必须且只需，解得2<a3.(4)当a<-2时，A=，此时B=C=，则CB成立，综上所述，a的取值范是(-,-2),3.拓展提升: (1)解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C,进而将CB用不等式这一数学语言加以转化，借助数形结合思想解决(2)韦恩图、数轴，不仅可以使各集合之间的相互关系直观明了，而且也便于将各元素的归属确定下来，使抽象的集合问题，通过直观形象的图形解决，为问题的解决创设有益的情景练习:一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是（ ）（A） (B) (C) (D)【分析及解】这是一道函数

6、,数列,函数图象综合在一起的选择题,需要通过数列的性质研究函数图象的特征.实际上,只要设,则有且,并对所有都成立,因此选(A).二.解决方程、不等式问题利用数轴法和图象法来解决例2 若方程1g(x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0有惟一的实数解，求a的取值范围 解析 方法一：原方程可化为：x2+20x=8x-6a-3， 即x2+12x=-6a-3，(x+6)2=-6a+33，欲使方程有根须：-6a+330，即这时两根为.x2+20x>0，x>0或x<-20.(1)-6+<-20，或-6+>0.即<-14（无解）或>6，解得：(2)-6->0

7、(无解）或-6-<-20,即14，解得.综上所述当时，有两根当时仅有一根.故时方程有惟一实数根.方法二： 原方程等价于即x2+12x+3=-6a(x0或x<-20），由数想形，令C: y=x2+12x+3=(x+6)2-33(x0或x<-20)，再令l：y=-6a,原方程有惟一解，即直线l与抛物线C有惟一交点，从图中可知，当x=-20时，y=163；当x=0时，y=3，当3-6a163，即时，原方程有惟一实数解方法三：原方程等价于即方程x2+12x+6a+3 = 0在(-,-20)(0, +)上有惟一实数根令f(x)=x2+12x+6a+3,其图象在(-,-20)(0, +)

8、内和x轴有且只有一个交点，如图函数f(x)=x2+12x+6a+3的图象开口向上，对称轴方程为x=-6.拓展提升 对照以上三种解法，显然解法二、三其有很大的优越性(1)解决这类问题时要注意准确画出函数图象，注意函数的定义域(2)用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两个函数的图象，由图求解(3)在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；要正确确定参数的取

9、值范围，以防重复和遗漏；精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，便于问题求解误区警示：作图时，图形相对位置不准确，易造成结果错误练习:设定义域为R的函数，则关于的方程有7个不同实数解的充要条件是（ ）(A) 且 ( B)且 (C)且 (D)且【分析及解】画出函数的图像,该图像关于对称,且,令,若有7个不同实数解,则方程有2个不同实数解,且为一正根,一零根.因此, 且,故选(C).三.解决三角函数、平面向量问题借助单位圆及三角函数线和三角函数的图象及性质来解决；联想一些特殊的图形，用向量的有关概念及运算解题例3 设关于的方程在区间(0,)内有相异的两个实根、.(1

10、)求实数a的取值范围； (2)求的值点拨 (1)若令x = cos, y = six,则由题设知直线：,与圆=1，有两个不同的交点(cos, sin)和(cos, sin) ,运用直线与圆的位置关系可求得a的范 围及的值 (2)可将原方程化为，原问题可转化为三角函数的图象与直线有两个不同的交点时，求a的范围及的值 解析 方法一：(1)设x = cos, y = six,则由题设知，直线：与圆=1有两个不同的交点 A(cos, sin)和B(cos, sin) 所以原点O到直线l的距离小于半径1，即又、,且直线l不过点(1，0)，即，即(2)如右图，不妨设xOA=,xOB=，作OHAB，垂足为H

11、,则方法二：（1）原方程可化为，作出函数的图象.由图知，方程在内有相异实根的充要条件是(2)由图知：当,即时，直线与三角函数的图象交于C、D两点，它们中点的横坐标为,.当，即时，直线与三角函数的图象有两交点A、B，由对称性知，,综上所述, 或拓展提升 (1)此题若不用数形结合法，用三角函数有界性求a的范围，不仅过程繁琐，而且很容易漏掉a的限制，而从图象中可以清楚地看出当a=时，方程只有一解(2)在解决三角函数的有关问题时，若把三角函数的性质融于函数的图象之中，将数(量)与图形结合起来进行分析、研究，可使抽象复杂的数量关系通过几何图形直观地表现出来，这是解决三角函数问题的一种有效的思维策略误区警

12、示：本例在得到后，由易误得而导致结果错误练习:设函数f (x)的图象与直线x =a，x =b及x轴所围成图形的面积称为函数f (x)在a，b上的面积，已知函数ysinnx在0，上的面积为（nN*），（i）ysin3x在0,上的面积为；（ii）ysin（3 x）1在，上的面积为 .【分析及解】本题给出了ysinnx在0，上的面积为,需要由此类比ysin3x在0,上的面积及ysin（3x）1在，上的面积,这需要寻求相似性,其思维的依据就是已知条件给出的面积的定义和已知函数的面积,因此要研究这个已知条件,要注意已知条件所给出的是半个周期的面积,而第(1)问则是时一个周期的面积,第(2)问又是ysin

13、3x经过平移和翻转后一个半周期的面积,画出ysin（3 x）1在，上图像,就可以容易地得出答案.四.解决几何问题几何问题代数化，借助解方程（组）、不等式（组）、向量坐标运算来确定图形关系例4 已知定点A(0，t)(t0)，点M是抛物线y2=x上一动点,A点关于M的对称点是N. (1)求N点的轨迹方程； (2)设(1)中所求轨迹与抛物线y2=x交于B、C两点，求当ABAC时，t的值 点拨 求解第(1)问，要抓住A,N关于M的对称关系；而求t的值，要找到ABAC的斜率条件，并设法运用这一斜率条件来列出关于t的方程解析 (1)设M(x0,y0)、N(x,y),即(y+t)2=2x为所求轨迹方程 (2

14、)由得y2-2ty-t2=0.=8t2>0，交点存在设B(xl，y1)、C(x2，y2),若ABAC,则kAB·kAC=-1，拓展提升 曲线是轨迹的几何形式，具有直观形象的优点，在坐标系中通过点的坐标建立起曲线的方程，方程是轨迹的代数形式，便于运算，具有可操作性的优点，曲线和方程是同一轨迹的两种表示形式，在不同形式下各有所长，把二者紧密结合起来，能扬长避短，各得其所因此充分利用平面直角坐标系，使数形紧密结合起来，以便发挥各自的优势误区警示：解答易忽视转化的等价性，若涉及求曲线的交点问题，一般转化为方程（组）的问题来解决，即借助“代数运算”以解决“几何问题”.类题练习:1.如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则 ;【解析】如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则根据椭圆的对称性知，同理其余两对的和也是，又， =352.已知是定义在上的单调函数，实数，若，则