不等式选讲-高考文科数学热点专题

1、专题35不等式选讲【学习目标】1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：|a+b| Q|+|b|; |a b| Q| c|十 |c b|.2 .会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax+ b| 英;|ax+ b| C5； |x a|+ |x b| C(极)3 .会用绝对值不等式、基本不等式证明一些简单问题；能够利用基本不等式求一些特定函数的最 值.4 . 了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等.二.【知识要点】1 .绝对值的概念和几何意义a (a>(),a ( a v 0).|a| =代数：几何意义：|a|表示数轴上坐

2、标为 ia的点A到原点的距离.0A2 .绝对值不等式性质|a|-|b| 崎烟 Q|十 |b|.(1)|a+b|倒|+|b|,当且仅当ab>0时取等号；(2)|ab|倒|十|b|,当且仅当abwo时取等号.3 .绝对值不等式的解法原则是转化为不含绝对值的不等式求解.基本型：a> 0, |x|<a? -a<x<a ;|x|> a? x<-a 或 x>a .(1)c> 0, |ax+b| 省？, |ax+b| C?6+3“一£或"+之。.(2)c> 0, |x a|十|xb|C |xa|十|xb| 省.三种解法：图解法(

3、数形Z合)、零点分区法(定义)、绝对值的几何意义(数轴).4 .比较法证明不等式(1)作差比较法:知道a>b? a-b>0, a<b? a-b<0,因此要证明 a>b,只要证明a b > 0即可，这种方法称为作差比较法.(2)作商比较法：aa .由a>b>0?1>1且a>0, b>0,因此当a>0, b>0时要证明a>b,只要证明一>1即可，这种方法称为作 bb商比较法.5 .综合法证明不等式从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，即由因导果”的方法.这种证明不

4、等式的方法称为综合法或顺推法.6 .分析法证明不等式证明命题时，我们还常常从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理、性质、或已证明的定理等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法.7 .反证法证明不等式先假设要证的命题不成立,以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确,从而证明原命题成立，我们把它称为反证法.8 .放缩法证明不等式证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大

5、或缩小,简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法.三.方法总结1 .含绝对值不等式的求解策略(1)解含有绝对 值的不等式的指导思想是设法去掉绝对值符号.常用的方法是：由定义分段讨论(简称零点分区间法)；利用绝对值不等式的性质 (题型法)；平方法；数形结合法等 .(2)解含参数的不等式，如果转化不等式的形式或求不等式的解集时与参数的取值范围有关，就必须分类讨论.注意：要考虑参数的总取值范围.用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏(3)含绝对值不等式的证明，要善于应用分析转化法(4)灵活运用绝对值不等式的两个重要性质定理|a|- |b| < |a ±叶构怙特别注意等

6、号成立的条件 .2 .作差比较法是证明不等式最基本、最重要的方法，其关键是变形，通常通过因式分解，利用各因式的 符号进行判断，或进行配方，利用非负数的性质进行判断3 .综合法证明不等式时，主要利用基本不等式、函数的单调性以及不等式的性质，在严密的推理下推导 出结论，综合法往往是分析法的逆过程，所以在实际证明时，用分析法分析，用综合法表述证明推理过程4 .某些不等式的条件与结论，或不等式的左右两边联系不明显，用作差法又难以对差进行变形，难以运 用综合法直接证明，这时常用分析法，以便发现联系.分析的过程中，综合条件.、定理等因素进行探索，把分析与综合结合起来，形成分析综合法.5 .有些不等式，从正

7、面证如果不易说清楚，可以考虑反证法，凡是含有至少“唯一 ”或者含有其他否定词的命题，适宜用反证法 .6 .放缩法是一种常用的证题技巧，放缩必须有目标，而目标可以从求证的结论中和中间结果中寻找.常用的放缩技巧有添舍放缩，拆项对比放缩，利用函数的单调性和重要不等式放缩等 四.典例分析(一)解绝对值不等式3/(x) = x-2a + 2x + - (w < 0)(1)若虱。)二f,解不等式9> 5 ；(2)求证：之2道. 口 | 口 生.或 一 1，口 0;(2)详见解析.【答案】(1)12一 , ffW = /(0) = I - 2a| + |?| =- 2a - 3 > 5【解

8、析】(1)因为口 < 口，所以同 段ua <- 1 < o < 0故不等式虱G26的解集为2(2)由已知得:所以fS)在上递减，在练习1已知函数"幻=1工+网+ |2,卅，mmE(O. + s).(I)若F > 工恒成立，求加+ E的最小值;(n)若帆=2,桂=3,求不等式汽切>5的解集(1) 2 -8,0)U(2. + s)【解析】|x+ m| + |2x - n| = |x + m| -J- m- (1)二 m + > lZm + n > 22, 2冰+内的最小值为2X<_4当y时，7-2-21+ 3>5,得一 3,当2

9、时，工+2-陵子3>5,得工<0, *"2cx<03,A -当2 时，工+ 2 + 2x-3>5,得乂 A2,；.丈 >2综上，不等式解集为 练习2.已知函数(I)当口 = 1时，求不等式(©>510的解集;小斗(II )求证：/")+魁工24【答案】(I)一巴-5) U (5,+ 8)；(II )详见解析.【解析】< I > 当皿=1时，f(x) = ln(h -l| + |x + 11"由卜-1|+ h + 1|> 10,.曰：V < _1 1 X < 1彳T > 11(1 -

10、X)- (.v - 1) > 10 用匕一小0 + 1)二 10 费 G 1) + a - 1) > 10解得- 55» fW > InlO的解集为一55) uG+哂(II ) r " + 卓" G，= |工一1 |一卜. + - g| + -二 + 二 > 2 心 + =2(+不之4,当且仅当口 = ±1时等号成立.练习3.已知月外=1工-3 + 3工，其中口 J。(1)当。=1时，求不等式“尺之3工+僮子1|的解集；(2)若不等式人乃W0的解集为 x | xw 1,求讨的值。【答案(1)比假式0；(2)* = 2或口=_4【解

11、析】。)当口.=1时，(方=k1| +明由 *幻 >|x + l| + 3x|x-l| 之僮 + 1|=>(x- if 3 (jc + I产m £ 0所以不等式的解集为(?|x-a| + 3x 生 0= <，由-4当口:> °时，不等式的解集为(x<ax<或Ix x <- 0 =- l=*ci = 22 ,由2当口 =0时，解集为(2。1,不符合题意当时，不等式的解集为+-5)综上所述,"2或"一4(二)不等式恒成立求范围 例2.已知函数"刈=2次+ 1|-卜-温口£*(1)当口 = 1时，求

12、不等式八到 >。的解集；(2)若关于尤的不等式 汽幻之工在时恒成立，求实数 仃的取值范围.(-9. -3)U( -+ s)【答案】(1) 3/; (2) -2<a<0解析(1)当 *=1 时，由人X)>0,得 2|x+1|>卜-1|,二43+1尸 >(工_1),.1X A- 产(- 8. k 3) U 1 - 1 + 8,3+1)(，+刃>0,解得工<-3或 3,所以/ >。的解集为 3(2) /(工)=2|H+ 1|_国&|2大对,三/?恒成立，即归。£2卜+1|4,即-2|l+ 1|斗"工-口£2|

13、，+1|7,.，2-平+ 1""引，+ 1|对川/?恒成立令讯劝= 2x-2|K+4,则,*"一，-2 < a < 0rx + 2,1山(划而皿=-2-2.，成为在(-8,-1单调递增【点睛】绝对值不等式的常见解法：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用 零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.转化为一元二次不等式求解，体现了转化思想 .练习 1,已知函数 =+ pjf- 1| meB（1）当也=1时，解不等式，（约2；（2）若不等式 六#） 对任意恒成立，求实数由的取值范围

14、.fW,f（璜2即求不同区间对应解【解析】（1）当血"1时，/'（x） = |x-l| + |2jf-l|所以集，所以人均2的解集为41 x 0 < x < -3.（2）由题意，汽*）3-x对任意的恒成立，即1|对任意的xeS1恒成立，令所以函数y = I，-相的图象应该恒在 仪幻的下方，数形结合可得0cm 2【点睛】本题主 要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点 分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将 绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结

15、合与转化化归思想方法的灵 活应用，这是命题的新动向.法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用 零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.练习2.已知a,b,c均为正实数.（I）求证:>2b+c ac a+b 2 ；（II）求证:【答案】（I）见解析；（II）见解析.a b a1 +b2 +ac+bc 2ab + ac+bc a(i + c)+6(a + c)+ =2=【解析】(I) b + c(Hc)S + C 。+ 明。一。)(b+c)(a-c)a 方、。 b+3+b+c 4 + c a+c b

16、+c .+ - 2+同理 a+c a+b a+b a+cc a a c131a+b b+c a+b b+c ac b + c 。+方 不21- 3由+得:当且仅当a = b =c时各个等号同时成立.>：1 b + ci+c+2+T a+c . a+b fl+c+白+b +77当且仅当a = b =c时各个等号同时成立.abc .尸+-尸 + *户 > 1 b+u + q5亡 a + c-hy/ac a + b + fab(A)不等式的应用例8.设/(工)二WT，若f (x户2的解集为-1,3】.a + c b + c a+b(1)求实数a的值;1 x+y若工+”但2信一孙，求仁不V

17、 Z 的最小值.1 (2) 3【解析】(1)当a >0时,dr-l|<2=>-2<dr-l<2<S>-l<dr<3=113 aa 3 .=3 atc 1二3“当a <0时，a,此时无解，当a =0时，也无解.由""2=0+尸1-小(01 X+1T11-Z11.+/ 11、*21-2* r1- = += +-1= 11 -z) + z +- -1 = + 1 >3则工+ F 工1-2工1-Z工 LU-Z 打 1-2工练习1.已知函数/W = |-l| + |-2|(1)求不等式f")之3的解集；“外

18、1 + 2血日0)(2)若n 对任意xe丑恒成立，求,m十的最小值.e【答案】(1)国"。或±2)|3(3x + 3 (x < -:.【解析】小)=卜+ ®/工5'L :言m或m 或"解得"三0I 3x - 3(x > 2)一一或工之2/23的解集为国第三0或仁2).(2)由额0/W而口 =三二：+亍M'三V 工 口 LX bX3 金， J卜 一即m + jy Imn <3干尸，当且仅当对等胃成立，'-' m, R > 0,解得流+ ?!>!,当且仅当正=邮寸等号成立 *故m +制的最小值为*练习2.如图，某生态园将一块三角形地 ABC的一角APQ开辟为水果园，已知角 A为120° ,AB, AC的长度均大