立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总

1、立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总（一）立体几何中平行问题证明直线和平面平行的方法有：利用定义采用反证法；平行判定定理；利用面面平行，证线面平行。主要方法是、两法在使用判定定理时关键是确定出面内的与面外直线平行的直线.常用具体方法：中位线和相似例1、 P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.求证：PC面BDQ.证明：如图，连结AC交BD于点O.ABCD是平行四边形，AO=OC.连结OQ，则OQ在平面BDQ内，且OQ是APC的中位线，PCOQ.PC在平面BDQ外，PC平面BDQ. 例2、在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、

2、C1D1、B1C1的中点.求证：(1)E、F、B、D四点共面；（2）面AMN面EFBD.证明:(1)分别连结B1D1、ED、FB，如图，则由正方体性质得 B1D1BD.E、F分别是D1C1和B1C1的中点，EFB1D1.EFBD.E、F、B、D对共面.（2）连结A1C1交MN于P点，交EF于点Q，连结AC交BD于点O，分别连结PA、QO.M、N为A1B1、A1D1的中点，MNEF，EF面EFBD.MN面EFBD.PQAO,四边形PAOQ为平行四边形.PAOQ.而OQ平面EFBD，PA面EFBD.且PAMN=P，PA、MN面AMN，平面AMN平面EFBD.例3如图（1），在直角梯形P1DCB中，

3、P1D/BC，CDP1D，且P1D=8，BC=4，DC=4，A是P1D的中点，沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置（如图（2），使二面角PCDB成45°，设E、F分别是线段AB、PD的中点. 求证：AF/平面PEC； 证明：如图，设PC中点为G，连结FG， 则FG/CD/AE，且FG=CD=AE，四边形AEGF是平行四边形AF/EG，又AF平面PEC，EG平面PEC，AF/平面PEC例4、 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP=DQ.求证：PQ面BCE.证法一：如图（1），作PMAB交BE于M，作QNAB交BC于N,连接MN,因

4、为面ABCD面ABEF=AB,则AE=DB.又AP=DQ,PE=QB.又PMABQN,.PMQN.四边形PMNQ为平行四边形.PQMN.又MN面BCE，PQ面BCE，PQ面BCE.证法二：如图(2)，连结AQ并延长交BC或BC的延长线于点K，连结EK.ADBC,.又正方形ABCD与正方形ABEF有公共边AB，且AP=DQ，.则PQEK.EK面BCE，PQ面BCE.PQ面BCE.例5、正方形ABCD交正方形ABEF于AB（如图所示）M、N在对角线AC、FB上且AM= FN。求证：MN /平面BCE证明：过N作NP/AB交BE于P，过M作MQ/AB交BC于Q 又 MQPN例6、 ，线段GH、GD、

5、HE交、于A、B、C、D、E、F，若GA=9，AB=12，BH=16，求。证明：ACBD AEBF 立体几何每日一练基础部分线面平行问题（中位线）1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q分别是AD1、BD上的点，且AP=BQ，求证：PQ平面DCC1D1。2 如图所示，线段，所在直线是异面直线，分别是线段，的中点.(1) 求证：，共面并且所在平面平行于直线和；(2) 设，分别是和上任意一点，求证：被平面平分3.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点.求证：MN平面AA1C1.4.如图所示，已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA=SB=SC，SG为S

6、AB上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明.5.正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP=DQ.求证：PQ平面BCE.（三种方法）6. 如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC的中点，试判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论.7.设，是单位正方体的面、面A1B1C1D1的中心.证明：平面AA1B1B线面平行问题（类中位线）1、如图，在正四棱锥SABCD中，底面ABCD的边长为，侧棱长为2，P、Q分别在BD和SC上，且BP:PD=1:2， PQ平面SAD，求线段PQ的长。2、如

7、图所示,已知正方形与正方形不共面，.求证：平面.3、如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点 M在B1C上，且CM=ND，求证：MN平面AA1B1B.4、如图所示，正四棱锥PABCD的各棱长均为13，M，N分别为PA，BD上的点，且PMMA=BNND=58.求证：直线MN平面PBC；面面平行问题1、正方体ABCDA1B1C1D1中(1)求证：平面A1BD平面B1D1C；A1AB1BC1CD1DGEF(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1平面FBD9已知三棱锥，B，C是PBC,PCA,PAB的重心.(1)求证：面面；(2)求SABC：SABC .2.如

8、图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、C1D1、A1A的中点.求证：（1）BFHD1；（2）EG平面BB1D1D；（3）平面BDF平面B1D1H.9.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ平面PAO？立体几何中垂直问题证垂直的几种方法：勾股定理、等腰（边）三角形三线合一、菱形对角线、矩形（含正方形）、90o、相似三角形（与直角三角形）、圆直径对的圆周角、平行线、射影定理（三垂线定理）、线面垂直、面面垂直等1、如图1，在正方体中，为 的中点，AC交BD

9、于点O，求证：平面MBD2、如图2，是ABC所在平面外的一点，且PA平面ABC，平面PAC平面PBC求证：BC平面PAC3、如图所示，ABCD为正方形，平面ABCD，过且垂直于的平面分别交于求证：， 4、如图2，在三棱锥BCD中，BCAC，ADBD，作BECD，为垂足，作AHBE于求证：AH平面BCD5、如图，是圆的直径，是圆周上一点，平面ABC若AEPC ，为垂足，是PB上任意一点，求证：平面AEF平面PBC6、ABCABC是正三棱柱，底面边长为a，D，E分别是BB，CC上的一点，BD1/2a，ECa（1）求证：平面ADE平面ACCA；（2）求截面ADE的面积7、如图，在三棱锥SABC中，S

10、A平面ABC，平面SAB平面SBC求证：ABBC；8、如图，PA平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分别是AB、PC的中点（1）求平面PCD与平面ABCD所成的二面角的大小；（2）求证：平面MND平面PCD9、如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点（1）求证：平面MNF平面ENF（2）求二面角MEFN的平面角的正切值（二）立体几何中垂直问题证垂直的几种方法：勾股定理等腰（边）三角形三线合一菱形对角线、矩形（含正方形）、90o相似三角形（与直角三角形）圆直径对的圆周角平行线射影定理（三垂线定理）线面垂直面面垂直。

11、等1、 如图1，在正方体中，为 的中点，AC交BD于点O，求证：平面MBD证明：连结MO，DB，DBAC， DB平面，而平面 DB 设正方体棱长为，则， 在Rt中，（勾股定理） OMDB=O， 平面MBD评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明利用面面垂直寻求线面垂直2、如图2，是ABC所在平面外的一点，且PA平面ABC，平面PAC平面PBC求证：BC平面PAC证明：在平面PAC内作ADPC交PC于D 平面PAC平面PBC，且两平面交 于PC，平面PAC，且ADPC， AD平面PBC 又平面PBC，ADBCPA平面ABC，平面ABC，PABC ADPA=A，BC

12、平面PAC3、如图所示，ABCD为正方形，平面ABCD，过且垂直于的平面分别交于求证：，证明：平面ABCD，平面SAB又平面SAB，平面AEFG，平面SBC同理证4、如图2，在三棱锥BCD中，BCAC，ADBD，作BECD，为垂足，作AHBE于求证：AH平面BCD证明：取AB的中点，连结CF，DF ， ，（等腰三角形三线合一） 又，平面CDF 平面CDF， 又， 平面ABE， ， ， 平面BCD5、 如图，是圆的直径，是圆周上一点，平面ABC若AEPC ，为垂足，是PB上任意一点，求证：平面AEF平面PBC证明：AB是圆的直径，（直径对的圆周角）平面ABC，平面ABC，平面APC平面PBC，平

13、面APC平面PBCAEPC，平面APC平面PBCPC，AE平面PBC平面AEF，平面AEF平面PBC6、ABCABC是正三棱柱，底面边长为a，D，E分别是BB，CC上的一点，BD1/2a，ECa（1）求证：平面ADE平面ACCA；（2）求截面ADE的面积（1）【证明】分别取AC、AC的中点M、N，连结MN，则MNAABB，（平行证共面）B、M、N、B共面，M为AC中点，BC=BA，BMAC，又BMAA且AAAC=ABM平面AACC设MN交AE于P，CEAC，PNNA又DBa，PNBDPNBD， PNBD是矩形，于是PDBN，BNBM，PDBMBM平面ACCA，PD平面ACCA，而PD平面ADE

14、，平面ADE平面ACCA（2）【解】PD平面ACCA，PDAE，而PDBMa，AEaSADE×AE×PD×7、如图，在三棱锥SABC中，SA平面ABC，平面SAB平面SBC求证：ABBC；【证明】作AHSB于H，平面SAB平面SBC平面SAB平面SBC=SB，AH平面SBC，又SA平面ABC，SABC，而SA在平面SBC上的射影为SB，BCSB，（射影定理）又SASB=S，BC平面SABBCAB8、如图，PA平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分别是AB、PC的中点（1）求平面PCD与平面ABCD所成的二面角的大小；（2）求证：平面MND平面PCD（1）【解】PA平面ABCD，CDAD，PDCD，故PDA为平面ABCD与平面PCD所成二面角的平面角，在RtPAD中，PA=AD，PDA=45°（2）【证明】取PD中点E，连结EN，EA，则EN CD AM，四边形ENMA是平行四边形，EAMNAEPD，AECD，（平行证垂直）AE平面PCD，从而MN平面PCD，MN平面MND，平面MND平面PCD9、如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点（