第九章压杆稳定问题

1、压杆稳定问题压杆稳定问题压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念n现象现象粗短压杆粗短压杆强度问题强度问题压杆稳定性的概念强度满足情况下，变形不能过大强度满足情况下，变形不能过大刚度问题刚度问题变形特点：连续性变形特点：连续性压杆稳定性的概念n细长压杆细长压杆PPPPPPcrPP内燃机挺杆内燃机挺杆油缸中活塞杆油缸中活塞杆压杆稳定性的概念n其它结构其它结构柱壳受轴压作用柱壳受轴压作用变形特点：突发性变形特点：突发性稳定性问题稳定性问题压杆稳定性的概念n细长压杆弯曲原因细长压杆弯曲原因 这是由于在杆件的受压变形过这是由于在杆件的受压变形过程中，往往伴随着杆件的弯曲变形，程中，往往伴随着杆

2、件的弯曲变形，因为因为 实际压杆的轴线存在着初始曲率实际压杆的轴线存在着初始曲率 作用在杆件上的外力作用线一般也不作用在杆件上的外力作用线一般也不与杆件的轴线恰好重合与杆件的轴线恰好重合 杆件的材料不可能达到理想的均匀性杆件的材料不可能达到理想的均匀性压杆稳定性的概念n如果杆件的抗弯刚度比较大，如果杆件的抗弯刚度比较大，并且，轴向压力在一定的范并且，轴向压力在一定的范围内，杆件的变形可分别由围内，杆件的变形可分别由杆件的压缩和弯曲变形叠加杆件的压缩和弯曲变形叠加而得到而得到组合变形组合变形n如果轴向压力逐渐增大，轴如果轴向压力逐渐增大，轴向压力对杆件弯曲变形的影向压力对杆件弯曲变形的影响就不可

3、忽略，并且，当轴响就不可忽略，并且，当轴向压力达到某一特定值时，向压力达到某一特定值时，杆件的变形极度增大，从而杆件的变形极度增大，从而导致受压杆件丧失承载能力导致受压杆件丧失承载能力PwPcrPP压杆稳定性的概念PP 现假想有一微小的横向力现假想有一微小的横向力Q同同时作用于直杆上，则在力时作用于直杆上，则在力P和和Q作作用下，直杆发生压缩和弯曲的耦用下，直杆发生压缩和弯曲的耦合变形。合变形。受压杆件的受压杆件的理想力学模型理想力学模型 考虑受轴向压力考虑受轴向压力P作用的一作用的一理想直杆，则其直线形态是一理想直杆，则其直线形态是一个平衡态。个平衡态。PPQ压杆稳定性的概念如果如果撤去横向

4、力撤去横向力Q后，杆的弯曲变形消失，直杆恢复后，杆的弯曲变形消失，直杆恢复到其原来的直线平衡状态，则称直杆的直线平到其原来的直线平衡状态，则称直杆的直线平衡态是衡态是稳定的平衡态稳定的平衡态。撤去横向力撤去横向力Q后，杆的弯曲变形不能消失，杆的后，杆的弯曲变形不能消失，杆的轴线不能保持为一条曲线，则称直杆的直线平轴线不能保持为一条曲线，则称直杆的直线平衡态是衡态是不稳定的平衡态不稳定的平衡态。杆的直线平衡态由稳定平衡转化为不稳定平衡杆的直线平衡态由稳定平衡转化为不稳定平衡时所受的轴向压力称为时所受的轴向压力称为临界压力临界压力，简称为，简称为临界临界力力。P小大稳定的不稳定的压杆稳定性的概念当

5、当P较小时，较小时，P当当P较大时，较大时，PP撤去横向力Q稳定的PP撤去横向力Q不稳定的临界压力PcrPQPQ压杆稳定性的概念n压杆稳定性的工程实例压杆稳定性的工程实例细长中心受压直杆临界力的欧拉公式n压杆的线（性）弹性稳定性问题压杆的线（性）弹性稳定性问题 设细长中心受压直杆在临界力的作用设细长中心受压直杆在临界力的作用下处于不稳定平衡的直线形态，如果此时下处于不稳定平衡的直线形态，如果此时材料仍处于理想的线弹性范围内，（即虎材料仍处于理想的线弹性范围内，（即虎克定理成立），则称细长中心受压直杆的克定理成立），则称细长中心受压直杆的稳定性问题为稳定性问题为线弹性稳定性问题线弹性稳定性问题n

6、线弹性稳定性问题是结构稳定性问题分析线弹性稳定性问题是结构稳定性问题分析中最简单的一类，其中又以细长中心受压中最简单的一类，其中又以细长中心受压直杆的稳定性问题为最基本的直杆的稳定性问题为最基本的n下面以下面以两端绞支两端绞支的细长中心受压直杆为例，的细长中心受压直杆为例，说明压杆临界压力的分析和计算方法说明压杆临界压力的分析和计算方法欧拉公式如图所示，考虑两端绞支，如图所示，考虑两端绞支，长为长为l的等截面细长中心受压直杆，的等截面细长中心受压直杆，设直杆在临界压力设直杆在临界压力Pcr的作用下发的作用下发生失稳，产生微小弯曲。生失稳，产生微小弯曲。APcrBl设杆件失稳后轴线的挠度为设杆件

7、失稳后轴线的挠度为v(x)，则任一横截面上的弯矩为则任一横截面上的弯矩为这里，压力这里，压力Pcr取为正值取为正值，位移位移v(x)以沿以沿y轴正向为正轴正向为正。)()(xvPxMcrxxyvPcrM(x)m变形前后问题变形前后问题欧拉公式将弯曲将弯曲M(x)代入梁弯曲的挠代入梁弯曲的挠曲线微分方程，得曲线微分方程，得令令EIPkcr2)()(22xvPxMdxvdEIcr则梁挠曲线微分方程变为则梁挠曲线微分方程变为0)(222xvkdxvd这是一个这是一个二阶线性齐次常微分方程二阶线性齐次常微分方程APcrBlxxyvPcrM(x)m欧拉公式方程方程的通解为的通解为kxBkxAxvcoss

8、in)(其中其中，A、B和和k为待定常数为待定常数0)(222xvkdxvd0, 0)(xxv利用边界条件利用边界条件0B得得APcrBlxxyvPcrM(x)m欧拉公式利用边界条件利用边界条件lxxv , 0)(得得0sinklA由此可得由此可得0sin, 0klA或若若0A则则0)(xvAPcrBlxxyvPcrM(x)m欧拉公式意味着直杆保持直线平衡状态，意味着直杆保持直线平衡状态，不存在非直线的平衡态，即直杆不存在非直线的平衡态，即直杆未发生失稳，未发生失稳，显然无意义显然无意义若若0sinkl得得), 3, 2, 1(nnkl0)(xv由此求得由此求得), 3, 2, 1(222nn

9、lEInPcrAPcrBlxxyvPcrM(x)mdAPcrBl欧拉公式Pcrn中最小的值称为直杆的中最小的值称为直杆的临界临界压力压力，记为，记为Pcr。即。即此时，直杆的挠曲线为此时，直杆的挠曲线为xlAxvsin)(若若杆中点处的挠度为杆中点处的挠度为d d ，利用条件利用条件d)2(lv221n1minlEIPPPcrcrncr得得xlxvdsin)(欧拉公式至此至此，得到结论得到结论对两端绞支的等截面细长中心受对两端绞支的等截面细长中心受压直杆，其临界压力为压直杆，其临界压力为此式称为此式称为欧拉公式欧拉公式22lEIPcr临界压力临界压力P Pcrcr下，直杆的失稳挠曲线为下，直杆

10、的失稳挠曲线为xlxvdsin)(其形状为半个正弦波其形状为半个正弦波dAPcrBl欧拉公式两端绞支的等截面细长中心受两端绞支的等截面细长中心受压直杆的失稳挠曲线为压直杆的失稳挠曲线为这表明这表明在线性弹性稳定性理论的范畴在线性弹性稳定性理论的范畴内，受压直杆在临界压力处是一个内，受压直杆在临界压力处是一个随随遇平衡状态遇平衡状态。这里这里， d d 是一个未定的量，即只要是一个未定的量，即只要d d 是一个小量，上式均成立。是一个小量，上式均成立。xlxvdsin)(dAPcrBl欧拉公式在实际中，这种随遇平衡状态是在实际中，这种随遇平衡状态是不存在不存在的，前面的分析之所以得到这的，前面的

11、分析之所以得到这样的结论，其原因是我们采用了近似样的结论，其原因是我们采用了近似的线性弹性稳定性理论。的线性弹性稳定性理论。更严格合理的分析需采用更严格合理的分析需采用非线性非线性弹性稳定性理论。弹性稳定性理论。梁弯曲挠曲线的精确微分方程梁弯曲挠曲线的精确微分方程sinEIPdsd这里，这里，q 为挠曲线上一点的切线与为挠曲线上一点的切线与x 轴的夹角。轴的夹角。APcrBl欧拉公式求解上述非线性微分方程，可得挠曲线求解上述非线性微分方程，可得挠曲线中点挠度中点挠度d d 与压力与压力P之间的近似关系之间的近似关系1211122crcrPPPPld其图形为其图形为PdPcrAB可见，只有当可见

12、，只有当P Pcr时时，压杆才可能存在轴线非直线的压杆才可能存在轴线非直线的平衡态，即直杆发生失稳，并平衡态，即直杆发生失稳，并且，且，挠度挠度d d 与压力与压力P之间存在一之间存在一对一关系，既不存在随意平衡对一关系，既不存在随意平衡的状态的状态欧拉公式中点挠度中点挠度d d 与压力与压力P的的曲线在曲线在P=Pcr处的切线就是处的切线就是采用挠曲线近似微分方程得采用挠曲线近似微分方程得到的到的d d P曲线。曲线。可见，采用挠曲线近可见，采用挠曲线近似微分方程得到的似微分方程得到的d d P曲曲线在压杆微弯的平衡形态线在压杆微弯的平衡形态下，呈现随遇平衡的假象。下，呈现随遇平衡的假象。P

13、dPcrABB大挠度理论、小挠度理论、实际压杆大挠度理论、小挠度理论、实际压杆欧拉公式在两端绞支等截面细长中心受压直杆在两端绞支等截面细长中心受压直杆的临界压力公式中的临界压力公式中形心主惯矩形心主惯矩I的选取准则为的选取准则为若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形绞绞），），I I 应取最小的形心主惯矩，得到直杆的应取最小的形心主惯矩，得到直杆的实际临界力实际临界力若杆端在不同方向的约束情况不同，若杆端在不同方向的约束情况不同， I 应取挠应取挠曲时横截面对其中性轴的惯性矩。即，此时要曲时横截面对其中性轴的惯性矩。即，此时要综合分析杆在各个方向发生失稳时

14、的临界压力，综合分析杆在各个方向发生失稳时的临界压力，得到直杆的实际临界力（最小值）。得到直杆的实际临界力（最小值）。22lEIPcr欧拉公式思考题思考题不同约束下压杆临界力的欧不同约束下压杆临界力的欧拉公式拉公式 压杆的长度系数压杆的长度系数长度系数考虑下端固定、上考虑下端固定、上端自由并在上端承受轴端自由并在上端承受轴向压力作用的等截面细向压力作用的等截面细长杆，其几何尺寸见图，长杆，其几何尺寸见图，确定此压杆的临界压力确定此压杆的临界压力解解 根据杆端的约束情况可知，根据杆端的约束情况可知，杆在临界压力作用下的挠杆在临界压力作用下的挠曲线形状如图所示。设此曲线形状如图所示。设此时压杆上端

15、的挠度为时压杆上端的挠度为D D，挠挠曲线为曲线为w( (x) )。临界力引起杆的任一横截临界力引起杆的任一横截面上的弯矩为面上的弯矩为)()(wFxMD长度系数将弯矩代入梁挠曲近似微分方程将弯矩代入梁挠曲近似微分方程)()(22wFxMdxwdEID令令EIFk 2则控制方程化简为则控制方程化简为D2222kwkdxwdEI方程的通解为方程的通解为DkxBkxAxwcossin)(A，B和和k为待定常数，由边界条件确定。为待定常数，由边界条件确定。长度系数利用边界条件利用边界条件0, 0, 0 xww可得可得)cos1 (kxwDlxwD,利用边界条件利用边界条件0cosDkl得得表明压杆未

16、发生失稳表明压杆未发生失稳若解若解10D由解由解20coskl, 5, 3, 12nnkl得得DkxBkxAxwcossin)(长度系数此时，此时，D D为任意小量。相应的轴为任意小量。相应的轴向压力为向压力为, 5, 3, 1222nnlEIFn其最小值为临界压力其最小值为临界压力Pcr，即即 ( )22, 5, 3, 12minlEIFPnncr对应于临界压力的挠曲线为对应于临界压力的挠曲线为)2cos1 (xlwDEIFk 2长度系数一端固定、一一端固定、一端自由的压杆端自由的压杆临界压力为临界压力为( )222lEIPcrPcr两端绞支压杆两端绞支压杆临界压力为临界压力为22)2( l

17、EIPcrPcrPcr2l 称为一端固定、称为一端固定、一端自由压杆的一端自由压杆的相当长度，即其即其临界压力等于长临界压力等于长为为2l的两端绞支的两端绞支压杆的临界压力压杆的临界压力长度系数的长度系数的物理意义物理意义类比法：两端的弯距类比法：两端的弯距长度系数通常，杆端的约束越强，杆的抗弯能力通常，杆端的约束越强，杆的抗弯能力就越大，从而其临界压力也就越高。就越大，从而其临界压力也就越高。对于各种杆端约束情况，细长等截面中对于各种杆端约束情况，细长等截面中心受压直杆的临界压力公式（欧拉公式）可心受压直杆的临界压力公式（欧拉公式）可写成统一的形式：写成统一的形式：()22lEIPcr这里这

18、里 l称为原压杆的称为原压杆的相当长度相当长度 称为原压杆的长度系数称为原压杆的长度系数长度系数几种典型支承约束条件下直杆的几种典型支承约束条件下直杆的欧拉公式欧拉公式长度系数例例 考虑如图所示一端固定、考虑如图所示一端固定、另一端铰支，长为另一端铰支，长为l 的等截面细长的等截面细长中心受压直杆，试确定其临界压中心受压直杆，试确定其临界压力力Pcr。APcrBl解解 根据压杆的约束情况，压杆失稳后，根据压杆的约束情况，压杆失稳后，在铰支端处不仅存在轴向压力在铰支端处不仅存在轴向压力Pcr，而且存在横向剪力而且存在横向剪力Q的作用。的作用。QPcrQMB)()()(xlQxvPxMcr设杆件失

19、稳后轴线的挠度为设杆件失稳后轴线的挠度为v(x)，则任一横截面上的弯矩为则任一横截面上的弯矩为mmxM(x)yx长度系数代入挠曲线的近似微分方程，得代入挠曲线的近似微分方程，得)()()(22xlQxvPxMdxvdEIcr令令EIPkcr2则控制微分方程化简为则控制微分方程化简为)(2222xlPQkvkdxvdcr此方程的通解为此方程的通解为)(cossinxlPQkxBkxAvcrAPcrBlQPcrQMBmmxM(x)yx长度系数利用边界条件利用边界条件00)(, 0)(xxvxv得得crcrkPQAPQlB,)(cossinxlPQkxBkxAvcr从而，有挠曲线表达式从而，有挠曲线

20、表达式)(cossin1xlkxlkxkPQvcr利用边界条件利用边界条件lxxv 0)(APcrBlQPcrQMBmmxM(x)yx长度系数得得0cossin1kllklkPQcr0Q由于，压杆失稳时，有由于，压杆失稳时，有从而必须从而必须有有0cossinklklkl49. 4kl其最小非零解为其最小非零解为即即0tanklkl（超越方程）（超越方程）APcrBlQPcrQMBmmxM(x)yx长度系数从而可得压杆的临界压力从而可得压杆的临界压力2222)7 . 0(49. 4lEIlEIPcr此时，压杆的挠曲线程为此时，压杆的挠曲线程为)1 (49. 4cos49. 449. 4sinl

21、xlxlxPQlvcrAPcrBlQPcrQMBmmxM(x)yx长度系数为确定挠曲线的拐点，令为确定挠曲线的拐点，令049. 4cos49. 449. 4sin49. 42 lxlxlPQlvcr即即49. 449. 4tanlxAPcrBlyxx110lx由此可得到在由此可得到在 的解的解lxlx21,3 . 0长度系数为长度系数为 =1-0.3=0.7 Pcr长度系数例例 考虑如图所示两端固定、考虑如图所示两端固定、但上端可有自由水平位移的等截但上端可有自由水平位移的等截面细长中心受压直杆，试确定其面细长中心受压直杆，试确定其临界压力临界压力Pcr。解解 根据压杆的约束情况，压杆失稳后，

22、根据压杆的约束情况，压杆失稳后，在上端处不仅存在轴向压力在上端处不仅存在轴向压力Pcr，而且存在弯矩而且存在弯矩MB的作用。的作用。ABPcrlPcrMAMBAcrMxvPxM)()(设杆件失稳后轴线的挠度为设杆件失稳后轴线的挠度为v(x)，则任一横截面上的弯矩为则任一横截面上的弯矩为mmxM(x)yx长度系数代入挠曲线的近似微分方程，得代入挠曲线的近似微分方程，得AcrMxvPxMdxvdEI)()(22令令EIPkcr2则控制微分方程化简为则控制微分方程化简为crAPMkvkdxvd2222此方程的通解为此方程的通解为crAPMkxBkxAvcossinABPcrlPcrMAMBmmxM(

23、x)yx长度系数利用边界条件利用边界条件00)(, 0)(xxvxv得得0,APMBcrAcrAPMkxBkxAvcossin从而，有挠曲线表达式从而，有挠曲线表达式()kxPMvcrAcos1利用边界条件利用边界条件lxxvxv0)(,)(dABPcrlPcrMAMBmmxM(x)yxd长度系数得得()0sin,cos1klkPMklPMcrAcrAd0AM由于，压杆失稳时，有由于，压杆失稳时，有从而必须有从而必须有0sinklkl其最小非零解为其最小非零解为ABPcrlPcrMAMBmmxM(x)yxd长度系数从而可得压杆的临界压力从而可得压杆的临界压力22lEIPcr此时，压杆的挠曲线方

24、程为此时，压杆的挠曲线方程为lxvdcos12代入代入()klPMcrAcos1d得得2dcrAPMABPcrlPcrMAMBmmxM(x)yxd长度系数为确定挠曲线的拐点，令为确定挠曲线的拐点，令0cos22 lxlvdABPcrl即即5 . 01lxx1此点处的挠度为此点处的挠度为2cos12ddlxv长度系数为长度系数为 =2 x1/l=1.0PcrlPcr欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围n临界应力与柔度临界应力与柔度当杆件承受临界压力当杆件承受临界压力Pcr作用而作用而仍处在直仍处在直线平衡状态下维持不稳定平衡线平衡状态下维持不稳定平衡时，横截面上时，横截面上的压

25、应力的压应力yxzPoAPcrcr由于由于22)( lEIPcr从而从而AlEIcr22)( cr称为称为临界应力欧拉公式的应用范围记记 压杆横截面对中性轴的惯性半径为压杆横截面对中性轴的惯性半径为AIi 于是于是2222)(ilEAlEIcr无量纲量无量纲量 称为压杆的称为压杆的长细比长细比或柔度柔度，一一般记为般记为ilil欧拉公式的应用范围于是，临界应力可表示为于是，临界应力可表示为柔度柔度物理意义：物理意义：1.综合反映长度综合反映长度l 、支持方式、支持方式 、截面截面几何性质几何性质i对临界应力影响。对临界应力影响。2.压杆的长细比越大，临界压力越小，压杆的长细比越大，临界压力越小

26、，因此，压杆越容易失稳。因此，压杆越容易失稳。22Ecril欧拉公式的应用范围上述公式给出了上述公式给出了临界压力和细长比的临界压力和细长比的关系，它在关系，它在 cr 平平面内是一条双曲线，面内是一条双曲线，通常称为通常称为欧拉临界应欧拉临界应力曲线力曲线。 cr 欧拉公式的应用范围n适用范围适用范围即即 只有当只有当 p时，才能应用欧拉公时，才能应用欧拉公式计算压杆的临界压力。式计算压杆的临界压力。crpp称称 满足满足 p的压杆为的压杆为大柔度压杆大柔度压杆 22Ecr小变形和小变形和Hooke定律定律pcrppE欧拉公式的应用范围n临界应力的经验公式临界应力的经验公式 cr p压杆压杆

27、 p大柔度杆大柔度杆Euler公式公式 linear elastic stabilityeps p cr s, 此时，材料的应力应变关此时，材料的应力应变关系不呈现线性关系，而是系不呈现线性关系，而是非线性关系。非线性关系。欧拉公式的应用范围n直线公式（非细长杆）直线公式（非细长杆）适用材料适用材料:合金钢合金钢铝合金铝合金铸铁铸铁松木松木eps cr=a-b scrbas0 p cr s压杆压杆 0 s压杆压杆 o小小柔度杆柔度杆 strength problem欧拉公式的应用范围n抛物线公式抛物线公式（非细长杆）（非细长杆）适用材料适用材料: 结构钢结构钢/低合金钢低合金钢eps适用范围：

28、适用范围： 强度问题和稳定性问题强度问题和稳定性问题 cr=a1-b1 2 20 0 p由于结构钢存在残余应力2/spspp2EE欧拉公式的应用范围注意到注意到 =0，cr=s, =p, cr= p =s/2ilAIi crpps临界压力总图临界压力总图0小 中 大crppQ235钢临界压力总图钢临界压力总图小 中 大)21 (2pscr压杆的稳定性计算压杆的稳定性计算压杆的稳定性计算这些因素导致压杆临界压力的降低。这些因素导致压杆临界压力的降低。中心受压直杆的数学模型，并不能反映实中心受压直杆的数学模型，并不能反映实际压杆受压后的变形情况，因为际压杆受压后的变形情况，因为实际压杆的轴线不可能

29、是理想的直线实际压杆的轴线不可能是理想的直线外压力的作用线通常也不恰好与直杆的轴线外压力的作用线通常也不恰好与直杆的轴线重合重合由于加工中的扎制、切割、焊接等原因，压由于加工中的扎制、切割、焊接等原因，压杆中存在着残余应力，压杆材料呈现一定的非杆中存在着残余应力，压杆材料呈现一定的非均匀性均匀性压杆的稳定性计算如果严格考虑这些因素来设计压杆的承如果严格考虑这些因素来设计压杆的承载能力，得到符合实际情况的极限应力，必载能力，得到符合实际情况的极限应力，必须借助电子计算机进行复杂的计算和分析，须借助电子计算机进行复杂的计算和分析，然而，即便采用这种做法，也不可能包含实然而，即便采用这种做法，也不可

30、能包含实际中的所有情况。际中的所有情况。为此，引入为此，引入稳定性条件稳定性条件轴向压力轴向压力 稳定安全系数稳定安全系数 稳定许用压力稳定许用压力/ststcrFnFF压杆的稳定性计算注注1：先计算柔度先计算柔度，再计算再计算Fcr。注注2：nst说明说明高于强度安全系数高于强度安全系数 突发性带来很大破坏突发性带来很大破坏(不同平衡态跳跃不同平衡态跳跃) 敏感性（几何，材料，加载缺陷）敏感性（几何，材料，加载缺陷） 整体性整体性/ststcrFnFF压杆的稳定性计算n稳定分析，以毛面积进行计算稳定分析，以毛面积进行计算n强度分析，以净面积进行计算强度分析，以净面积进行计算注注3：工程算法工程算法- -折减系数法折减系数法stst材料的许用压力材料的许用压力的关系为折减系数，查表得Example-1例例 已知：两端固定压杆，已知：两端固定压杆，横截面由两个横截面由两个10号槽钢组成，压号槽钢组成，压杆长为杆长为7m，材料为，材料为Q235，求两，求两槽钢靠近时压杆的临界载荷。槽钢靠近时压杆的临界载荷。解解 由型钢表可查得由型钢表可查得10号槽钢的数据号槽钢的数据