线性系统的频域分析法之二学习教案

1、会计学1第一页，共167页。第1页/共167页第二页，共167页。第2页/共167页第三页，共167页。 F(s)是复变量是复变量s的单值有理函数。如果函数的单值有理函数。如果函数F(s)在在s平面上指平面上指定的区域内是解析的，则对于此区域内的任何一点定的区域内是解析的，则对于此区域内的任何一点 都可以在都可以在F(s)平面上找到一个相应的点平面上找到一个相应的点 ， 称为称为 在在F(s)平面上的平面上的映射映射。sdfdfdsd 同样，对于同样，对于s平面上任意一条不通过平面上任意一条不通过F(s)任何奇异点的封闭任何奇异点的封闭曲线曲线 ，也可在，也可在F(s)平面上找到一条与之相对应

2、的封闭曲线平面上找到一条与之相对应的封闭曲线 （为（为 的映射）。的映射）。sfs基本思想：利用开环频率特性判别闭环系统稳定性基本思想：利用开环频率特性判别闭环系统稳定性一、预备知识一、预备知识(zh shi)幅角定理幅角定理第3页/共167页第四页，共167页。例：例：辅助方程为：辅助方程为： ，则，则s平面上平面上 点（点（-1，j1），映射），映射到到F(s)平面上的点平面上的点 为（为（0，-j1）,见下图：见下图：sssF2)(sdfd)1, 1(jds)1,0(jdf平面s平面)( sF设辅助设辅助(fzh)函数为：函数为： )()()(pszssF1111jn1jin1isFsF

3、pszspszsnjjniinjjnii第4页/共167页第五页，共167页。1s0izs2izs2jps0jps1z2z0sImRe1s第5页/共167页第六页，共167页。)(2)(PZsF第6页/共167页第七页，共167页。其中：其中：N为圈数，正、负表示的为圈数，正、负表示的旋转旋转(xunzhun)方向：逆时针方向：逆时针为负，顺时针为正。为负，顺时针为正。第7页/共167页第八页，共167页。P-FP-F（s s）在）在ss内的极点数；内的极点数；Z- FZ- F（s s）在）在ss内内的零点的零点(ln(ln din) din)数；数；N-FN-F曲线绕其原点逆时曲线绕其原点逆

4、时针转过的圈数。针转过的圈数。 第8页/共167页第九页，共167页。Z=0P=1N=Z-P=0-1=-1 例：例：第9页/共167页第十页，共167页。Z=3P=1N=Z-P=3-1=2 例：例：第10页/共167页第十一页，共167页。 1、围线 如何(rh)取？s( )F s 为了运用Cauchy定理，在频域内验证系统是否(sh fu)稳定， 需要考虑2个问题： 2、围线映射(yngsh) 如何取？ 思路：思路：1 1、右半平面取为内部；、右半平面取为内部； 2 2、围线映射取为特征函数。、围线映射取为特征函数。 第11页/共167页第十二页，共167页。 M Ms s M Ms sG

5、G s s H Hs sN Ns s N Ns s1 12 21 12 2( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) ) M Ms s N Ns ss sN Ns s N Ns sM Ms s M Ms s1 12 21 12 21 12 2( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) ) N N s s N Ns sM Ms s M Ms sF F s sG G s s H H s sN N s s N Ns s1 12 21 12 21 12 2( ( ) ) ( ( ) )( ( ) )( ( ) )

6、( ( ) ) 1 1( ( ) ) ( ( ) )( ( ) ) ( ( ) ) M Ms sM Ms sG G s sH Hs sN Ns sN Ns s1 12 21 12 2( ( ) )( ( ) )( ( ) ), ,( ( ) )( ( ) )( ( ) )第12页/共167页第十三页，共167页。b) 零点和极点零点和极点(jdin)个数相同个数相同;c) F(s) 和和 G(s)H(s) 只差常数只差常数(chngsh) 1 。式中式中 zi 和和 pi 分别为分别为 F(s) 的零点的零点(ln din)和极点和极点 。由上由上 , 辅助函数辅助函数 F(s) 具有如下特点

7、具有如下特点:a) 其零点和极点分别是闭环和开环特征根其零点和极点分别是闭环和开环特征根; 物理系统中开环传递函数分子的最高次幂必小物理系统中开环传递函数分子的最高次幂必小于分母的最高次幂于分母的最高次幂 , 故故 F(s) 可改写为可改写为 n ni ii in ni ii is sz zN Ns s N Ns sM Ms s M Ms sF F s sG G s s H H s sN Ns s N Ns ss sp p1 11 12 21 12 21 12 21 1( () )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )1 1( ( ) ) ( ( ) )( (

8、) )( ( ) )( () )第13页/共167页第十四页，共167页。辅助函数辅助函数(hnsh)与开环传函的关系与开环传函的关系F sG so( )( ) 1平面)(sFImRe0)(sF)(sGo平面)(sGo0(-1,j0)F(s)F(s)平面围绕平面围绕(wiro)(wiro)(0,0)(0,0)点的旋转点的旋转G0(s)G0(s)平面平面(pngmin)(pngmin)围绕围绕(-1,j0)(-1,j0)点的旋转点的旋转第14页/共167页第十五页，共167页。)(jF)(jGkF(s)与与 的关系图。的关系图。)(sGk第15页/共167页第十六页，共167页。 对于一个控制系

9、统，若其特征根处于对于一个控制系统，若其特征根处于s右半平面，则系统是右半平面，则系统是不稳定的。对于上面讨论的辅助方程不稳定的。对于上面讨论的辅助方程 ，其零点恰，其零点恰好是闭环系统的极点，因此，只要搞清好是闭环系统的极点，因此，只要搞清F(s)的零点在的零点在s右半平面右半平面的个数，就可以给出稳定性结论。如果的个数，就可以给出稳定性结论。如果F(s)的右半零点个数为的右半零点个数为零，则闭环系统是稳定的。零，则闭环系统是稳定的。)(1)(sGsFk 我们这里是应用(yngyng)开环频率特性研究闭环系统的稳定性，因此开环频率特性是已知的，辅助方程也已知。设想：第16页/共167页第十七

10、页，共167页。 如果有一个(y )s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据柯西幅角原理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射包围原点的次数应为： N =F(s)的右半零点数F(s)的右半极点数 =闭环系统右半极点数开环系统右半极点数 当已知开环右半极点当已知开环右半极点(jdin)(jdin)数时，便可数时，便可由由N N判断闭环右极点判断闭环右极点(jdin)(jdin)数。数。第17页/共167页第十八页，共167页。完成这个设想需要解决两个问题：完成这个设想需要解决两个问题：1、如何构造一个能够包围整个、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它右半平面的封闭曲线，并且它是

11、满足柯西幅角条件的？是满足柯西幅角条件的？2、如何确定相应的映射、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数对原点的包围次数N。并将它和开。并将它和开环频率特性环频率特性 相联系？相联系？)(jGH第18页/共167页第十九页，共167页。 GH GH在虚轴上无开环极点在虚轴上无开环极点S S右平面右平面NyquistNyquist围线围线 可以分成可以分成(fn chn(fn chn)3)3部分：部分：1 1、正半虚轴：、正半虚轴：映射像为映射像为GH (j)GH (j)， 从变到从变到,正好是开环频率特性曲线；正好是开环频率特性曲线；2 2、负半虚轴：、负半虚轴：映射像为映射像为GH (j

12、)GH (j)， 从从-变到变到, ,正好是开环频率特性曲线关于正好是开环频率特性曲线关于实轴的对称曲线；实轴的对称曲线；0sj j FjGjHjFjGjHj()1()()()1()()0:js0:js（1）（2）第19页/共167页第二十页，共167页。3 3、大半、大半(dbn)(dbn)圆弧：圆弧：FjGjHjFjGjHj()1()()()1()()22:jeRs)()(lim212100)1lim()()()()()(nmjnmjmnReRsnmemneRKpspspszszszsKsGjR常数第20页/共167页第二十一页，共167页。 F F的绘制的绘制(huzh): GH(j(h

13、uzh): GH(j ) )和和GH(-jGH(-j ) )关于实轴对称关于实轴对称 =-=- =+=+ =0=0（3 3）（1 1）（2 2）sL(s)=GH(s)(1)极坐标图(2)原点(3)sj:0 GH jjsres 0,0sj:0 GHj 结论：结论：从从+变到变到-,-,映射像收缩为一个点，映射像收缩为一个点，N=MN=M时，为等于时，为等于(dngy)(dngy)开环增益的实轴上的点，其开环增益的实轴上的点，其他情况下均为原点。他情况下均为原点。第21页/共167页第二十二页，共167页。 GH在虚轴上有开环极点在虚轴上有开环极点 如果如果GH在虚轴上有在虚轴上有开环极点，通常用

14、半径开环极点，通常用半径为无穷小的小半圆弧，为无穷小的小半圆弧，避开该点。该小半圆弧避开该点。该小半圆弧的映射像为的映射像为GH平面平面(pngmin)上的上的顺时针旋转的无穷大圆顺时针旋转的无穷大圆弧，旋转弧度由系统型弧，旋转弧度由系统型数决定，为数决定，为v个个180度。度。jj1j1j( )F s的极点Rj 0j0js平面第22页/共167页第二十三页，共167页。S平面平面j0:0:半径半径(bnjng)(bnjng)为无限小的右半圆：为无限小的右半圆：22:lim0jesjjesijeeKsssKsGj)1lim() 1() 1()(0lim00第23页/共167页第二十四页，共16

15、7页。(b)对于对于型系统：型系统：将奈氏路径中的点将奈氏路径中的点 代入代入 中得：中得：0,ReRsj)(jGk2200)(lim)(limjjRkseeRksG所以这一段的映射为：半径为所以这一段的映射为：半径为 ，角度从角度从 变到变到 的整个圆（顺时的整个圆（顺时针）。针）。00lim)(limjjRkseeRksG所以这一段的映射为：半径为所以这一段的映射为：半径为 ，角，角度从度从 变到变到 的右半圆（顺时针）。的右半圆（顺时针）。2222 0 0 0 0(a)对于对于型系统：型系统：将奈氏路径中的点将奈氏路径中的点 代入代入 中得：中得： 0,ReRsj)(jGk第24页/共1

16、67页第二十五页，共167页。奈魁斯特路径的第奈魁斯特路径的第部分的映射是部分的映射是 曲线向右移曲线向右移1；第；第部部分的映射对应分的映射对应 ，即，即F(s)=1;第第部分的映射是第部分的映射是第部分部分映射的关于实轴的对称。映射的关于实轴的对称。)(jGk0)(sGk由由 可求得可求得 ，而，而 是开环频率特性。一般在是开环频率特性。一般在 中，分母阶数比分子阶数高，所以当中，分母阶数比分子阶数高，所以当 时，时， ，即即F(s)=1。（对应于映射曲线第。（对应于映射曲线第部分）部分）)(jGk)(jF)(jGkjes0)(sGk)(jGk辅助函数与开环频率特性的关系：辅助函数与开环频

17、率特性的关系：我们所构造的辅助函数我们所构造的辅助函数为为 ， 为开环频率特性。因此，为开环频率特性。因此，有以下三点是明显的：有以下三点是明显的： )(1)(sGsFk)(sGk第25页/共167页第二十六页，共167页。F(s)对原点的包围，相当于对原点的包围，相当于 对对(-1,j0)的包围；因此映射曲的包围；因此映射曲线线F(s)对原点的包围次数对原点的包围次数N与与 对对(-1,j0)点的包围的次数一样。点的包围的次数一样。)(sGk)(sGkF(s)的极点就是的极点就是 的极点，因此的极点，因此F(s)在右半平面的极点数就在右半平面的极点数就是是 在右半平面的极点数。在右半平面的极

18、点数。)(sGk)(sGk 根据(gnj)上面的讨论，如果将柯西幅角定理中的封闭曲线取奈魁斯特路径，则可将柯西幅角定理用于判断闭环控制系统的稳定性。就是下面所述的奈奎斯特稳定判据。第26页/共167页第二十七页，共167页。 当当 时，时，系统开环幅相特性曲线系统开环幅相特性曲线 GH 逆时针逆时针包围包围 点的圈数点的圈数N是位于是位于s右半闭平面开环特征根数右半闭平面开环特征根数P与位于与位于s右半闭平面闭环极点右半闭平面闭环极点Z之差之差 。 0 0 j j( ( 1 1, , 0 0) ) R RP PZ Z当当 ，开环幅相特性曲线，开环幅相特性曲线 GH称作是称作是Nyquist曲线

19、曲线 0 0Z-PN 。 第27页/共167页第二十八页，共167页。奈氏判据（奈氏判据（1）：）：反馈控制系统稳定的充要条件反馈控制系统稳定的充要条件是奈氏曲线逆时针包围临界点的圈数是奈氏曲线逆时针包围临界点的圈数 N 等于开环传等于开环传递函数右半递函数右半 s 平面的极点数平面的极点数 P ,即即 N=P ;否则闭环系否则闭环系统不稳定统不稳定 , 闭环正实部特征根个数闭环正实部特征根个数 Z 可按下式确定可按下式确定Z ZP PR R Z-PN 第28页/共167页第二十九页，共167页。 应用应用(yngyng)开环频率特性曲线判断闭环稳定性。开环频率特性曲线判断闭环稳定性。 开环开

20、环 频率特性曲线可以按开环频率特性绘制频率特性曲线可以按开环频率特性绘制, 也可以全部也可以全部(或部分或部分)由实验方法绘制由实验方法绘制;很容易研究包含延迟环节系统的稳定性很容易研究包含延迟环节系统的稳定性;奈氏判据稍加推广还可用来分析某些非线性系奈氏判据稍加推广还可用来分析某些非线性系统的稳定性。统的稳定性。第29页/共167页第三十页，共167页。0-1j（a）（b）0-1j0-1j（c）解：因开环都是稳定解：因开环都是稳定(wndng)(wndng)的，的， 即即P=0 ,P=0 ,根据奈氏判据：根据奈氏判据：图（图（a a）之奈氏曲线不包围（）之奈氏曲线不包围（-1-1，j0j0）

21、点，即）点，即N=0N=0，故，故Z=P-N=0Z=P-N=0，所以，系统所以，系统(xtng)(xtng)稳定。稳定。 图（图（b b）之奈氏曲线恰好穿过（）之奈氏曲线恰好穿过（-1-1，j0j0）点，系统处于临界）点，系统处于临界(ln ji)(ln ji)稳定。稳定。 图（图（c c）之奈氏曲线顺时针包围（）之奈氏曲线顺时针包围（-1-1，j0j0）点两圈，即）点两圈，即N=-2N=-2，故故Z=P-N=20Z=P-N=20，所以，系统不稳定。，所以，系统不稳定。 第30页/共167页第三十一页，共167页。210 ReIm试用奈氏判据判断系统稳定性试用奈氏判据判断系统稳定性. .2 2

22、( ( ) )1 1G G s ss s 解解: : 开环频率特性为开环频率特性为2 2()()1 1GjGjj j 开环幅相曲线为图中的下半圆开环幅相曲线为图中的下半圆 , , 当当 时时为图中的上半圆为图中的上半圆 , , 今今P=1 , N=1, ,故系统稳定。故系统稳定。: :0 0 第31页/共167页第三十二页，共167页。第32页/共167页第三十三页，共167页。 结论结论 用上述形式的奈氏路径，奈氏判据仍可应用于用上述形式的奈氏路径，奈氏判据仍可应用于、型型系统。但零值极点系统。但零值极点(jdin)(jdin)不包括在右半开环极点不包括在右半开环极点(jdin)(jdin)

23、的数的数目中。目中。例例1：设：设型系统的开环频率特性如下图所示。开环系统在型系统的开环频率特性如下图所示。开环系统在s右右半平面没有极点，试用奈氏判据半平面没有极点，试用奈氏判据(pn j)判断闭环系统稳定性。判断闭环系统稳定性。解：显然这是解：显然这是I型系统型系统(xtng)。先根。先根据奈氏路径画出完整的映射曲线。据奈氏路径画出完整的映射曲线。 01 0从图上看出：映射曲线顺时针包从图上看出：映射曲线顺时针包围围(-1,j0)一圈，逆时针包围一圈，逆时针包围(-1,j0)一圈，所以一圈，所以N=1-1=0，而，而 ，故故 ，闭环系统是，闭环系统是稳定的。稳定的。0P0NPZ第33页/共

24、167页第三十四页，共167页。例例2: 某某型系统的开环频率特性型系统的开环频率特性 如下图所示，且如下图所示，且s右半平面右半平面(pngmin)无极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。无极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。1 00解：首先画出完整解：首先画出完整(wnzhng)的奈氏曲线的映的奈氏曲线的映射曲线。如右图：射曲线。如右图：从图上可以看出：映射曲线顺时从图上可以看出：映射曲线顺时针包围针包围(-1,j0)两圈。因两圈。因 ，所以所以 ，闭环系统是，闭环系统是不稳定的。不稳定的。2NPZ0P第34页/共167页第三十五页，共167页。 确定闭环特征方程正实部根的个数确定闭环特

25、征方程正实部根的个数 。 如果如果 Z 为零为零 , 闭环闭环系统系统(xtng)稳定稳定;否则否则 , 闭环系统闭环系统(xtng)不稳定不稳定 。*2N-PZ 第35页/共167页第三十六页，共167页。第36页/共167页第三十七页，共167页。解解: 系统的开环幅相曲线如图示。系统的开环幅相曲线如图示。 图中图中 , 虚线虚线(xxin)是按是按 v=2 从幅相从幅相曲线曲线 为为 0+ 点逆时针方向补画的点逆时针方向补画的半圆。半圆。故闭环系统不稳定故闭环系统不稳定 。 2 2( )( )(1)(1)K KG sG ssT ssT s 试用奈氏判据判断系统稳定性。试用奈氏判据判断系统

26、稳定性。22N*-PZ第37页/共167页第三十八页，共167页。av=1bv=1cv=2dv=3解：因为系统解：因为系统(xtng)(xtng)开环都是稳定的，开环都是稳定的，即即 P=0 P=0 根据各系统的所含积分环节的个数，故将其根据各系统的所含积分环节的个数，故将其开环幅相曲线开环幅相曲线(qxin)(qxin)分别补足分别补足1/41/4，1/41/4，1/21/2，3/43/4个圆，如图所示。个圆，如图所示。 第38页/共167页第三十九页，共167页。a a，c c，d d图开环幅相曲线均不包围（图开环幅相曲线均不包围（-1-1，0j0j），故），故N N* *=0=0，所以，

27、所以， Z = P-2N Z = P-2N* * = 0 = 0 即它们即它们(t men)(t men)对应的闭环系统是稳定的。对应的闭环系统是稳定的。 b b图开环幅相曲线顺时针包围（图开环幅相曲线顺时针包围（-1-1，0j0j）一圈，故）一圈，故N N* *=-1=-1，所以，所以(suy)(suy)，Z = P-2NZ = P-2N* *=20 =20 即对应的闭环系统是不稳定的。即对应的闭环系统是不稳定的。 av=1bv=1cv=2dv=3第39页/共167页第四十页，共167页。1 1）绘制极坐标图）绘制极坐标图2 2）补半圈）补半圈 ( ( 的极坐标图的极坐标图) )3 3） ,

28、 ,补半径为无穷大的圆弧补半径为无穷大的圆弧4 4）图形围绕）图形围绕 旋转旋转(xunzhun)(xunzhun)的圈数的圈数5 5）P=? P=? 判断闭环稳定性判断闭环稳定性0:?0)0, 1(j利用奈氏判据利用奈氏判据(pn j)判别系统稳定性的判别系统稳定性的步骤步骤第40页/共167页第四十一页，共167页。N 0N), 1(第41页/共167页第四十二页，共167页。 正穿越(chun yu) 负穿越负穿越(chun yu)第42页/共167页第四十三页，共167页。2N1N例：例：第43页/共167页第四十四页，共167页。(1.j0)0 0)(jQ)(P-1-1+1+1-1/

29、2-1/2+1/2+1/2+1/2+1/2-1/2-1/2第44页/共167页第四十五页，共167页。1)( )( )( 1)(21)( 121*NNN2/112/1*NNN例：例：第45页/共167页第四十六页，共167页。第46页/共167页第四十七页，共167页。00P第47页/共167页第四十八页，共167页。2P解：系统有解：系统有2 2个开环极点个开环极点(jdin)(jdin)分布在分布在s s的右半平面（的右半平面（P=2P=2），），第48页/共167页第四十九页，共167页。112NN第49页/共167页第五十页，共167页。 F包围原点包围原点(0,0)的周数的周数N=P

30、-Z5) Nyquist围线围线 s ：包围整个右半平面包围整个右半平面 F包围原点包围原点(0,0)的周数的周数n=p-z4）围线映射：）围线映射： 若若 s包围包围F(s)的的z个零点和个零点和p个极点个极点s平面右半平面没有闭环系平面右半平面没有闭环系统极点，即统极点，即Z=03)闭环稳定：闭环稳定：Z=闭环系统闭环系统s右半平面极点数右半平面极点数P=开环系统开环系统s右半平面极点数右半平面极点数2)考虑考虑s右半平面右半平面F(s)的零极的零极点情况点情况F(s)零点：闭环系统极点零点：闭环系统极点F(s)极点：开环系统极点极点：开环系统极点1)F(s)=1+L(s)=1+GH(s)

31、小结小结(xioji)：第50页/共167页第五十一页，共167页。N=P-Z=P; L逆时针包围逆时针包围(bowi)(-1,j0)点点P周；周；9)开环系统不稳定开环系统不稳定(wndng)：P0 要求闭环稳定要求闭环稳定(wndng)：Z=0N=P-Z=0; L不包围不包围(bowi)(-1,j0)8)开环系统稳定：开环系统稳定：P=0 要求闭环稳定：要求闭环稳定：Z=0 L包围包围(-1,j0)的周数的周数N=P-Z7) Nyquist围线围线 s ：包围整个右半平面包围整个右半平面 L等于等于 F整体向左移动整体向左移动1 F (0,0)点点= L(-1,0)点点6)F(s)=1+L

32、(s)=1+GH(s) L(s)=F(s)-1 F L(1,0)第51页/共167页第五十二页，共167页。11) GH(j)图和图和GH(-j)图关于图关于(guny)实轴对称实轴对称(1) GH(j )极坐标图极坐标图(2) (0,0)(3) GH(-j )图图10) 当当s在在Nyqusit围线围线上取值时，上取值时， L图可图可以以(ky)计算绘制出计算绘制出来，正好依托开环极来，正好依托开环极坐标图。坐标图。 =-=- =+=+ =0=0（3 3）（1 1）（2 2）GH(jGH(j ) ) - - GH(-jGH(-j ) )第52页/共167页第五十三页，共167页。波德图与极坐

33、标图的对应波德图与极坐标图的对应(duyng)关系关系 Im Re G(j) -1 K 小 A() () 稳定稳定(wndng)A( )=1 ( )- ( )=- A( ) - ( )= - L( )0dB*第53页/共167页第五十四页，共167页。 Im Re G(j) -1 K 临 临界临界(ln ji)稳定稳定 A( )=1 ( )=- 20lgK临 0dB 0 -180 L() () L( ) = 0dB ( ) = - 第54页/共167页第五十五页，共167页。 Im Re G(j) -1 K 大 不稳定不稳定(wndng)A( )=1 ( )1L( ) = 0dB ( ) 0d

34、B 20lgK大 0dB 0 -180 L() () *第55页/共167页第五十六页，共167页。第56页/共167页第五十七页，共167页。 第57页/共167页第五十八页，共167页。ImRe0 ( 1,0)j()()GjHj()L( ) dB00c第58页/共167页第五十九页，共167页。当开环传函当开环传函G(s)H(s)包含包含积分环节积分环节时时 , 在对数相频曲线在对数相频曲线 为为 0+ 的地方的地方,应该补画一条从相角应该补画一条从相角 到到 的虚线的虚线 , 其中其中 v 是积分环节数是积分环节数 。 计算正、负穿越时计算正、负穿越时 , 应将补上的虚线看成对数应将补上

35、的虚线看成对数相频曲线的一部分。相频曲线的一部分。90)0()0(vjHjG)0()0(jHjG第59页/共167页第六十页，共167页。 幅相曲线不包围(bowi)（-1，j0）点有两种情况： 1 1）幅相曲线不穿越）幅相曲线不穿越(chun yu)(chun yu)实轴上（实轴上（-，-1-1）区间：）区间：2 2）幅相曲线）幅相曲线(qxin)(qxin)穿越实轴上（穿越实轴上（-，-1-1）区间，但正穿越次数区间，但正穿越次数N+N+与负穿越与负穿越N N次数相等。次数相等。即在即在 G G（jj） 1 1（即（即20lg20lg G G（jj） 0 0）内内GG（jj）对）对线的正、

36、负穿越次数相等。线的正、负穿越次数相等。 第60页/共167页第六十一页，共167页。比如比如(br)(br)： -1P=0第一种情况第一种情况-1P=0正正 负负第二种情况第二种情况N+= NN+= N=1 =1 N N* *=N+=N+N N=0 =0 即相当于没有即相当于没有(mi yu)(mi yu)穿穿越。越。第61页/共167页第六十二页，共167页。第一种情况第一种情况(qngkung)(qngkung)：不穿越（：不穿越（-，-1-1），故闭），故闭环稳定。环稳定。 第二种情况第二种情况(qngkung)(qngkung)：穿越（：穿越（-，-1-1）两次，但）两次，但正、负各

37、一次，故闭环稳定。正、负各一次，故闭环稳定。 若开环不稳定（若开环不稳定（P0P0），则），则在（在（0 0，+）变化时，）变化时，要满足要满足(mnz)(mnz)：Z = PZ = P2N2N* *= 0 = 0 系统才能稳定；否则闭系统才能稳定；否则闭环不稳定。环不稳定。注意注意：G G（jj）曲线的起点或终点如果在实轴（）曲线的起点或终点如果在实轴（-，-1-1）上的穿越则为半次穿越。）上的穿越则为半次穿越。 第62页/共167页第六十三页，共167页。(1,)(1,) (1,) 2 0 lg0 d B()()GjHj( ) ( ) 第63页/共167页第六十四页，共167页。Z 为零为

38、零 , 闭环系统稳定闭环系统稳定(wndng) ; 否则否则 , 不稳定不稳定(wndng)。*2NPZ第64页/共167页第六十五页，共167页。)(L0)(2P第65页/共167页第六十六页，共167页。第66页/共167页第六十七页，共167页。解：解：3212N-PZ110NNN*00-02N-PZ000NNN*所以所以(suy)系统稳定系统稳定所以所以(suy)系统不稳定系统不稳定所以所以(suy)系统不稳定系统不稳定4222N-PZ110NNN*第67页/共167页第六十八页，共167页。2 202N-PZ110NNN*00-02N-PZ011NNN*所以所以(suy)系统稳定系统

39、稳定所以所以(suy)系统不稳定系统不稳定所以所以(suy)系统稳定系统稳定00-02N-PZ011NNN*第68页/共167页第六十九页，共167页。 试用对数频率稳定判据判断系统的稳定性。试用对数频率稳定判据判断系统的稳定性。) 1()()(2TssKsHsG1*NNN根据根据, P=0 . 由于由于 , 该系统不稳定该系统不稳定 , 闭环特征方程在右闭环特征方程在右半半 s 平面的根数为平面的根数为 2 。22*NPZ第69页/共167页第七十页，共167页。解解:因为开环系统因为开环系统(xtng)(xtng)稳定，稳定，P=0P=0。 第70页/共167页第七十一页，共167页。解解

40、: 因为因为V3，需在，需在低频处由低频处由()曲线曲线(qxin)向上补作向上补作270的虚的虚直线于直线于180，如图，如图所示。所示。 知知N_=1.5,N+=0，按对数稳定判，按对数稳定判据据 Z=P-2N=3,故闭环故闭环不稳定极点的个数为不稳定极点的个数为3。第71页/共167页第七十二页，共167页。第72页/共167页第七十三页，共167页。 控制系统能正常工作的前提条件是系统必须稳定(wndng)，除此之外，还要求稳定(wndng)的系统具有适当的稳定(wndng)裕度，即有一定的相对稳定(wndng)性。用奈氏判据分析系统的稳定(wndng)性时，是通过系统的开环频率特性G

41、(j)H(j)曲线绕(-1,j0)点的情况来进行稳定(wndng)性判断的。当系统开环传递函数在右半S平面无极点时，若G(j)H(j) 曲线通过(-1,j0)点，则控制系统处于临界稳定(wndng)。这时，如果系统的参数发生变化，则G(j)H(j)曲线可能包围(-1,j0)点，系统变为不稳定(wndng)的。第73页/共167页第七十四页，共167页。 因此，在因此，在GHGH平面上，可用奈氏曲线与平面上，可用奈氏曲线与(-1,j0)(-1,j0)的靠近程度的靠近程度(chngd)(chngd)来表征系统的相对稳定性，来表征系统的相对稳定性，即奈氏曲线离即奈氏曲线离(-1,j0)(-1,j0)

42、点越远，系统的稳定程度点越远，系统的稳定程度(chngd)(chngd)越高，其相对稳定性越好，反之，奈越高，其相对稳定性越好，反之，奈氏曲线离氏曲线离(-1,j0)(-1,j0)点越近，稳定程度点越近，稳定程度(chngd)(chngd)越低。反映系统稳定程度越低。反映系统稳定程度(chngd)(chngd)高低的概念高低的概念就是系统相对稳定性的概念。就是系统相对稳定性的概念。第74页/共167页第七十五页，共167页。第75页/共167页第七十六页，共167页。ba-110jr1/h若系统若系统(xtng)的开环幅相曲线如的开环幅相曲线如图：图：考虑考虑a a点：点：ojGjG180)(

43、1| )(|但但再考虑再考虑b b点：点：1| )(|180)(jGjGo但但若若a点沿着单位圆顺时针转过点沿着单位圆顺时针转过r角，则角，则 同时成立。同时成立。 ojGjG180)(, 1| )(|若若b点沿着负实轴向左移动到点沿着负实轴向左移动到(-1,j0)点，则点，则 同时成立。同时成立。ojGjG180)(, 1| )(|频率域内，稳定频率域内，稳定(wndng)(wndng)系系统有统有2 2条途径滑条途径滑向临界稳定向临界稳定(wndng)(wndng)点，点，因此，有因此，有2 2个稳个稳定定(wndng)(wndng)裕度指标。裕度指标。第76页/共167页第七十七页，共1

44、67页。1 1、幅值裕度、幅值裕度h h的定义的定义(dngy)(dngy)： 幅相曲线上相角幅相曲线上相角为为-180-180时所对应的幅值之倒数。即（时所对应的幅值之倒数。即（-1-1，0j0j）点的）点的幅值与幅值与=g=g的幅值之比。即：的幅值之比。即： 注意注意：即使：即使h h相同，系统的稳定程度也可以不同。相同，系统的稳定程度也可以不同。第77页/共167页第七十八页，共167页。2 2、相角、相角(xin(xin jio) jio)裕度裕度的定义：的定义： 180 180加加上开环幅相曲线幅值等于上开环幅相曲线幅值等于1 1时的相角时的相角(xin(xin jio)jio)。即

45、：。即： = 180= 180G G（jcjc）H H（jcjc）=180=180（cc）的理解：指幅相曲线上幅值等于的理解：指幅相曲线上幅值等于1 1的复向量与的复向量与负实轴的夹角。负实轴的夹角。 第78页/共167页第七十九页，共167页。ba-110j1/h00cx0 仅用相角裕量或幅值裕量都不能较全面地描述系统的相对稳仅用相角裕量或幅值裕量都不能较全面地描述系统的相对稳定性。上述两个定性。上述两个(lin )(lin )系统的暂态响应都是很差的，系统的相对系统的暂态响应都是很差的，系统的相对稳定性也很差。稳定性也很差。-110j1/h0cx第79页/共167页第八十页，共167页。幅

46、值裕度幅值裕度:gL20lgK0dB0-180L()()cLgcg)(g当当dB)(lg20hgA 如果系统稳定， L() 再向上移动多少分贝(fnbi)系统就不稳定了。如果是系统不稳定， L() 再改善多少分贝(fnbi)系统就稳定了。3 3、在、在BodeBode图中求取图中求取(qi q)h(qi q)h和和 第80页/共167页第八十一页，共167页。)(180)180()(cccdBLc0)(开环截止频率开环截止频率c20lgK0dB0-180L()()cLgcg相角裕度：相角裕度：c当当 如果系统稳定，如果系统稳定， () 再负多少度系统再负多少度系统就不稳定了。如果系统不稳定，相

47、反就不稳定了。如果系统不稳定，相反(xingfn)， () 再改善多少度系统就稳再改善多少度系统就稳定了。定了。第81页/共167页第八十二页，共167页。稳定系统稳定系统ba-110j1/h00 cx01cxh不稳定不稳定(wndng)系系统统ba-110j1/h00 xc01cxh第82页/共167页第八十三页，共167页。第83页/共167页第八十四页，共167页。结论：对于开环稳定系统结论：对于开环稳定系统(xtng)(xtng)，系统系统(xtng)(xtng)闭环稳定的条件为：闭环稳定的条件为： 0 0 ， h h 1 1 ； 且； 且 和和 h h 越 大 ， 系 统越 大 ，

48、系 统(xtng)(xtng)越稳定；否则，越稳定；否则，0 0，h h1 1，系统，系统(xtng)(xtng)不稳定。不稳定。注意注意(zh y)(zh y)：（1 1）只有最小相位系统，当）只有最小相位系统，当00，h1h1两个条件同时两个条件同时满足时，闭环系统稳定。满足时，闭环系统稳定。（2 2）对于非最小相位系统，不能用）对于非最小相位系统，不能用00，h1h1两两个条件个条件(tiojin)(tiojin)判断闭环系统稳定性。判断闭环系统稳定性。第84页/共167页第八十五页，共167页。注意注意(zh y)：（3 3）对于最小相位）对于最小相位(xingwi)(xingwi)系

49、统，系统，越大，越大，h h越大，系统的相对稳定性越好，但同时考虑系越大，系统的相对稳定性越好，但同时考虑系统的动态性能和稳态误差。统的动态性能和稳态误差。 工程设计中，一般取：工程设计中，一般取： 1 1）=30=30 70 70（4545最佳）；最佳）； 2 2） h4 h4 6dB 6dB以上；以上； 3 3）在）在cc附近附近BodeBode图的斜率控制图的斜率控制(kngzh)(kngzh)在在-20 -20 -40dB/dec -40dB/dec（以（以-20-20较理想）。较理想）。第85页/共167页第八十六页，共167页。 一阶或二阶系统的增益裕度为无穷大，因为这类系统的一阶

50、或二阶系统的增益裕度为无穷大，因为这类系统的极坐标图与负实轴不相交。因此，理论上一阶或二阶系统不可极坐标图与负实轴不相交。因此，理论上一阶或二阶系统不可能是不稳定的。当然，一阶或二阶系统在一定意义上说只能是能是不稳定的。当然，一阶或二阶系统在一定意义上说只能是近似的，因为在推导系统方程时，忽略了一些近似的，因为在推导系统方程时，忽略了一些(yxi)小的时间小的时间滞后，因此它们不是真正的一阶或二阶系统。如果计及这些小滞后，因此它们不是真正的一阶或二阶系统。如果计及这些小的滞后，则所谓的一阶或二阶系统可能是不稳定的。的滞后，则所谓的一阶或二阶系统可能是不稳定的。对于稳定的最小相位系统，增益裕度指

51、出了系统在不稳定之前，增益对于稳定的最小相位系统，增益裕度指出了系统在不稳定之前，增益能够增大多少能够增大多少(dusho)。对于不稳定系统，增益裕度指出了为使系。对于不稳定系统，增益裕度指出了为使系统稳定，增益应当减少多少统稳定，增益应当减少多少(dusho)。一阶或二阶系统的增益一阶或二阶系统的增益(zngy)裕度为多少？裕度为多少？第86页/共167页第八十七页，共167页。96248 c 已知单位已知单位(dnwi)(dnwi)反馈系统反馈系统G(s)G(s)，求，求wc, gwc, g。解：解： 绘制绘制(huzh)L(w)(huzh)L(w)曲线曲线10096arctan2096a

52、rctan901096arctan180 ) 1100)(120() 110(48)( sssssG1020lg48lgc)(180c 1 .528 .432 .789084180第87页/共167页第八十八页，共167页。1101 . 0 c 已知最小相角系统已知最小相角系统 L(w) L(w) 如图所示，如图所示，试确定试确定(qudng)(qudng) (1) (1) 开环传递函数开环传递函数G(s);G(s); (2) (2) 由由 g g 确定确定(qudng)(qudng)系统的稳定性；系统的稳定性； (3) (3) 将将 L(w) L(w) 右移右移1010倍频，讨论对系统的影响

53、。倍频，讨论对系统的影响。解：解：(1)120)(11.0(10)( ssssG(2)101 . 0,1 . 01 . 010;401 . 0lg;201 . 010lgc22故有：ccHH第88页/共167页第八十九页，共167页。解续解续: :（2）201arctan1 . 01arctan90180 (3) (3) 将将 L(w) L(w) 右移右移(yu (yu y)10y)10倍频后有倍频后有 8 . 286. 23 .8490101001 c 20010arctan110arctan90180 )1200)(11(100)( ssssG 8 . 286. 23 .84900 稳定稳

54、定(wndng)！)120)(11.0(10)( ssssG第89页/共167页第九十页，共167页。解：解法解：解法(ji f)(ji f)一：一： 根据根据G G（jj）=k/ j=k/ j（j+1j+1）（）（j/5+1j/5+1），在），在（0 0，+）内求）内求出相应的出相应的GG（jj）和和GG（jj），并分别画出当），并分别画出当K=2K=2和和K=20K=20时的两条幅相时的两条幅相曲线曲线(qxin)(qxin)如下图所示。如下图所示。 从图中分别读得：从图中分别读得： 第90页/共167页第九十一页，共167页。 当：当： K=2 K=2时，时，1 241 24 0 0 ，

55、 h1 = 1/-0.3 3.33 h1 = 1/-0.3 3.33 1,1,故此时故此时(c sh)(c sh)系统稳定系统稳定; ; K=20 K=20时时, 2 , 2 24240 0 ， h2= 1/-3.2 0.313 h2= 1/-3.2 0.313 1,1,此时此时(c sh)(c sh)系统不稳定系统不稳定; ; 12 2K=20K=2-2j0第91页/共167页第九十二页，共167页。解法二解法二: :由由G(s)G(s)绘制系统绘制系统(xtng)(xtng)的的BodeBode图如下图如下: : 1520-180-180-270-270当当K=2K=2时时, , 对应对应

56、(duyng)G(duyng)G（jcjc）=1=1时时, ,有有 G G（jcjc）=-156=-156，故：，故：1=1801=180+(-156+(-156)= 24)= 24 对应对应(duyng) G(duyng) G（jgjg）=-180=-180时时, 20lgh1 =, 20lgh1 =20lgG20lgG（jgjg） = -(-10) = 10 = -(-10) = 10故故 h1=3.16 h1=3.16 第92页/共167页第九十三页，共167页。同理同理, ,当当 K=20 K=20时时, , 对应对应(duyng)G(duyng)G（jcjc）=1=1时时, ,有有G

57、G（jcjc）=-204=-204 ，故，故 2=180 2=180+(-204+(-204)= )= 2424, , 对应对应(duyng) G(duyng) G（jgjg）=-180=-180时时, , 20lgh2 = 20lgh2 =20lgG20lgG（jgjg） = -(10) = -10 = -(10) = -10 故故 h2=0.316 h2=0.316可见可见(kjin), (kjin), 当当K=2K=2时时, ,系统稳定；系统稳定；当当K=20K=20时时, ,系统不稳定。系统不稳定。 1520-180-180-270-270第93页/共167页第九十四页，共167页。解

58、：（解：（1 1） 已知已知P=0P=0，且从图中，且从图中可知可知 N N* *=-1=-1，故，故Z=P-2NZ=P-2N* *=2,=2,所以，闭环系统所以，闭环系统(xtng)(xtng)不不稳定；（稳定；（2 2） 串入一个串入一个1/s1/s后，后，系统系统(xtng)(xtng)的开环频率特的开环频率特性变为：性变为： 0-14 (=5)=5)07 (=250)=250) -1 -1. 3(=10)(=10)G G2（ j j ） = G= G （ j j ）H H（ j j ）/j=G/j=G1（jj）/j/jG G2（jj）= -90= -90+GG1（jj） 第94页/共1

59、67页第九十五页，共167页。0-14 (=5)=5)07 (=250)=250) -1 -1. 3(=10)(=10)其中其中G1G1（jj）和和G1G1（jj）分别分别(fnbi)(fnbi)为原来的幅频和相频特性。为原来的幅频和相频特性。 当当=0 =0 时，时，G G2（jj）= = ；G G2（jj）= -90= -90 当当=5 =5 时，时，G G2（j5j5）= = 1.4/5=0.28 1.4/5=0.28 ；G G2（j5j5）= -180= -180 当当=10 =10 时，时，G G2（j10j10）= = 1.3/10=0.13 1.3/10=0.13 ；G G2（j

60、10j10）= -270= -270 当当=250=250时，时，G G2（j250j250）=0.7/250=0.0028 =0.7/250=0.0028 ；G G2（j250j250）= 0= 0当当 = = 时，时，G G2（jj）= 0 = 0 ；G G2（jj）= -90= -90 由此由此, ,可绘制可绘制G2G2（jj）幅相特性曲线）幅相特性曲线(qxin)(qxin)如下如下: : G G2（jj） = =GG1（jj）/j/jG G2（jj）= -90= -90+GG1（jj） 第95页/共167页第九十六页，共167页。0-1已知已知: P=0: P=0，且从图中可，且从图