绘制根轨迹的一般规则

1、第三节 绘制根轨迹的一般规则 纯粹用试验点的办法手工作图，工作量纯粹用试验点的办法手工作图，工作量是十分巨大的，而且对全貌的把握也很困难，是十分巨大的，而且对全貌的把握也很困难，于是人们研究根轨迹图的基本规则，以便使于是人们研究根轨迹图的基本规则，以便使根轨迹绘图更快更准。概括起来，根轨迹绘图更快更准。概括起来， 以开环以开环增益增益K为参变量的根轨迹图主要有下列基本为参变量的根轨迹图主要有下列基本规则：规则： 第三节 绘制根轨迹的一般规则 如果以系统的其他参量为参变量时，经如果以系统的其他参量为参变量时，经过适当变换，以下规则仍能适用。过适当变换，以下规则仍能适用。一一.（规则（规则1）根轨

2、迹分支数）根轨迹分支数 根轨迹在根轨迹在s平面的分支数等于闭环特征平面的分支数等于闭环特征方程的阶数方程的阶数n，也就是总分支数等于开环传，也就是总分支数等于开环传递函数的极点数。递函数的极点数。0)()(11imijnjzskps第三节 绘制根轨迹的一般规则 根轨迹的每一条分支表示当根轨迹的每一条分支表示当k 变化时，闭变化时，闭环极点在环极点在s平面的运动轨迹，所以有几个闭环平面的运动轨迹，所以有几个闭环极点就应有几条分支。当极点就应有几条分支。当n m时，特征方程时，特征方程的阶次等于开环极点数的阶次等于开环极点数n，而，而n阶特征方程就阶特征方程就对应有对应有n个特征根或个特征根或n个

3、闭环极点，所以其根个闭环极点，所以其根轨迹的分支数就等于开环极点数轨迹的分支数就等于开环极点数n。第三节 绘制根轨迹的一般规则二二.（规则（规则2）根轨迹对称性）根轨迹对称性,连续性连续性 根轨迹各分支对称于实轴。因为闭环系根轨迹各分支对称于实轴。因为闭环系统的特征方程式的系数都是实数，故特征方统的特征方程式的系数都是实数，故特征方程式的根只能是实数或复数。实数必位于实程式的根只能是实数或复数。实数必位于实轴上，复数则一定共轭成对出现，所以当轴上，复数则一定共轭成对出现，所以当k从从0到无穷变化时，根轨迹必对称于实轴，到无穷变化时，根轨迹必对称于实轴，且连续变化。因此一般绘制根轨迹的一半即且连

4、续变化。因此一般绘制根轨迹的一半即可。可。第三节 绘制根轨迹的一般规则 三（规则三（规则3）根轨迹的起点和终点）根轨迹的起点和终点 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。如果如果nm ，则有（，则有（n-m）条根轨迹终止于无）条根轨迹终止于无穷远处。穷远处。第三节 绘制根轨迹的一般规则般情况下，为系统的开环零点。一，使等式成立，必有时是根轨迹的终点，为当几个开环极点。故根轨迹起始于系统的为系统的开环极点，。而必有使等式成立，时是根轨迹的起点，为当证明：iijjnjjmiizmizskpnjpskkpszs2 , 12 , 10111第三节 绘制根轨迹的一般

5、规则叫无限零点。处，把无穷远处的零点条根轨迹终止于无穷远其余时方程左边，当时，方程右边趋近于零根轨迹，又因当）条个有限零点，还剩下（条根轨迹终止于条根轨迹中个有限零点，所以阶系统只有，mnssspszsskmnmmnmnmnmnsnmsnjjmii01limlimlim11第三节 绘制根轨迹的一般规则 TTTTsssksssKsTssKTsssKsGTTsssKsG111111110,11写成：解：将开环传递函数改及起点、终点。数试确定根轨迹的的分支系统的开环传递函数为例：已知单位反馈控制第三节 绘制根轨迹的一般规则处。，另一条终止于无穷远轨迹终止于，其中一条根，根轨迹起始于开环极点开环零点，

6、开环极点，故根轨迹分支数为分母多项式的最高阶次110, 1, 211022121TmnzTppn第三节 绘制根轨迹的一般规则四四.（规则（规则4）实轴上的根轨迹）实轴上的根轨迹 实轴上根轨迹区段的右侧开环传递函数的零极点实轴上根轨迹区段的右侧开环传递函数的零极点数目之和应为奇数。数目之和应为奇数。 s平面上有四个开环极点，平面上有四个开环极点，p1、p2、p3、 p4和三个和三个开环零点开环零点z1、 z2 、 z3的的 一种情况，其中一种情况，其中p2、p3是一是一对共轭极点，对共轭极点， p3、 z1、 p4 、z2 、z3分别是实数极点分别是实数极点和零点。和零点。 为在实轴上确定属于根

7、轨迹的线段，首先在实轴极为在实轴上确定属于根轨迹的线段，首先在实轴极点点p4 和实轴零点和实轴零点z2 之间任选一个实验点之间任选一个实验点s0。第三节 绘制根轨迹的一般规则 点和零点。取决于实轴上的开环极实轴上的根轨迹仅没有影响对实轴上根轨迹的位置复数极点和零点即开环传递函数的共轭相角条件的所规定的存在并不影响说明或的相角之和为到开环共轭极点.,18012,:3600,111323121132njjmiihpszspppspsspp第三节 绘制根轨迹的一般规则 极点。虑它左侧的实数零点、必考轴上根轨迹时，可以不极点。因此，在绘制实点左侧的开环实数于这一判断同样适用于位件的所规定的相角条的存在

8、并不影响，这说明左侧实数零点的左方，则向量位于如果实数开环零点1113113,1801202shpszszssznjjmii第三节 绘制根轨迹的一般规则 奇数。零、极点个数之和应为数区段的右侧，其开环实因此，实轴上的根轨迹角。，即奇数个相角的总和应为向量的与开环零、极点构成的根据相角条件，根轨迹，则向量的右方，位于，开环极点如果实数开环零点12,31121111121hpszszsspzz第三节 绘制根轨迹的一般规则五（规则5）根轨迹的分离点和会合点这是一个某系统的根轨迹图。由开环极点p1， p2出发的两条根轨迹，随K的增大在实轴上a点相遇后，即 分离进入复平面。随着k的继续增大，两条根轨迹又

9、在实轴上的b点相遇 并分别沿实轴的右左两方运动，最终一条终止于开环零点，另一条终止于无穷远处。bap2p1z1第三节 绘制根轨迹的一般规则 根轨迹与实轴有两个交点根轨迹与实轴有两个交点a和和b，分别称为根，分别称为根轨迹在实轴上的分离点和会合点。轨迹在实轴上的分离点和会合点。1.实轴上分离点和会合点的判别实轴上分离点和会合点的判别（1）若实轴上相邻开环极点之间是根轨迹，则相）若实轴上相邻开环极点之间是根轨迹，则相邻开环极点之间必有分离点。邻开环极点之间必有分离点。（2）若实轴上相邻开环零点（其中一个可为无穷）若实轴上相邻开环零点（其中一个可为无穷大零点）之间是根轨迹，则相邻开环零点之间大零点）

10、之间是根轨迹，则相邻开环零点之间必有会合点。必有会合点。（3）如果实轴上的根轨迹在开环零点和开环极点）如果实轴上的根轨迹在开环零点和开环极点之间，则它们中若有分离点、会合点，则一定之间，则它们中若有分离点、会合点，则一定成对出现，即有一个分离点一定会有一个会合成对出现，即有一个分离点一定会有一个会合点，也可能既无分离点也无会合点。点，也可能既无分离点也无会合点。第三节 绘制根轨迹的一般规则2.分离点和会合点的计算。介绍按重根法求分离点分离点和会合点的计算。介绍按重根法求分离点和会合点的方法。和会合点的方法。 无论分离点还是会合点，都表示特征方程式在该无论分离点还是会合点，都表示特征方程式在该点

11、出现重根，只要找到这些重根就可以确定分离点出现重根，只要找到这些重根就可以确定分离点和会合点的位置。点和会合点的位置。第三节 绘制根轨迹的一般规则 0011. 010011skNsDsDskNsDsDsNksHsGsDsNksHsGsHsGxfxxf即为求其重根，令，系统闭环特征方程，则必然同时满足具有重根若代数方程第三节 绘制根轨迹的一般规则 求导，对特征方程便于记忆，这个方程怕记混淆，为迹的分离点和会合点。显然解方程可求出根轨必须满足征方程有两个重实根，根据代数定理，如果特0110000sHsGdssHsdGsDsNsDsNsDsNksDskN第三节 绘制根轨迹的一般规则 式计算简单。，因

12、此用的阶次高于22011010122sNsDsNsDdsdsNsDkdsdsHsGdsdsDskNsHsGsHsGsHsGdsdsHsGdsdsDsDsNsDsNkdssHsGddssHsGd第三节 绘制根轨迹的一般规则 026323211212578. 1422. 00263023263211212232122232sssssdsdsssdsdsNsDdsdsNssssDsssssssssssskdsdsHsGdsdsssksHsG式求用式求解：用分离点。试求根轨迹在实轴上的传递函数例：已知控制系统开环第三节 绘制根轨迹的一般规则 注意：注意：1、判断哪一个是分离点，根据我们前面介绍判断哪一

13、个是分离点，根据我们前面介绍方法，若相邻开环极点之间是根轨迹，则相方法，若相邻开环极点之间是根轨迹，则相邻开环极点之间必有分离点。邻开环极点之间必有分离点。S1是分离点，是分离点， S2 不在根轨迹上，不是分离点。不在根轨迹上，不是分离点。2、必须验证是否在根轨迹上、必须验证是否在根轨迹上六（规则六（规则6）根轨迹的渐近线）根轨迹的渐近线 当当nm时，有时，有n-m条根轨迹随着条根轨迹随着k的增大的增大而趋向无穷，这些趋向无穷远处的根轨迹，而趋向无穷，这些趋向无穷远处的根轨迹，将随着将随着k的无限增大而接近于的无限增大而接近于n-m条直线，条直线，这些直线称为根轨迹的渐近线。渐近线的位这些直线

14、称为根轨迹的渐近线。渐近线的位置由以下两个参数确定，即渐近线倾角和渐置由以下两个参数确定，即渐近线倾角和渐近线与实轴的交点。近线与实轴的交点。第三节 绘制根轨迹的一般规则 分代入即可。的极点，零点的实数部式计算时，只需把必须为实数。用互相抵消，所以的虚部可以实数或共轭复数。它们由于极点和零点必须为渐近线与实轴的交点条。故独立渐近线只有现，增大时，倾角值重复出时，渐近线倾角最小，当渐近线倾角sHsGmnzzzpppmnhhhmnhamnaaaa11. 20, 2, 1, 012. 12121第三节 绘制根轨迹的一般规则0jw62ckj62ckj-2-1 条渐近线有解：面上的位置。平试确定根轨迹渐

15、近线在传递函数为环例：已知控制系统的开3. 2, 1, 00, 3,21321mnpppmnssssksHsG第三节 绘制根轨迹的一般规则30018012221803180318012160318018002, 1, 031212132102212121mnhmnhmnhhhmnhmnzzzpppamna时，时，时，渐近线与实倾角渐近线与实轴交点第三节 绘制根轨迹的一般规则七.（规则7）根轨迹的起始角和终止角o当开环传递函数中有复数极点或零点时，根轨迹是沿着什么方向离开开环复数极点或进入开环复数零点的呢？这就是所谓的起始角和终止角问题, 先给出定义如下： 起始角 根轨迹离开开环复数极点处在切线

16、方向与实轴正方向的夹角。参看图4-8（a）中的 和 。 终止角 根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与实轴正方向的夹角。参看图4-8（b）中的 和 。1p2p1z2z第三节 绘制根轨迹的一般规则j3P2P1P0s1p2p第三节 绘制根轨迹的一般规则js1z2z1p2p1z2z0第三节 绘制根轨迹的一般规则 根轨迹起始角：起始于开环极点的根轨迹在起始点处的切线和水平线正方向的夹角。 根轨迹终止角：终止于开环零点的根轨迹在终点处的切线与水平线正方向的夹角。1ps1p1z1p221pp 31pp p311zpjw第三节 绘制根轨迹的一般规则njjmiinjjmiipzzzhzppzphpppppzph

17、pppspspshpspspszsssp112112111131211111111111312111111111212,12.,12.,迹终止角公式计算开环零点处的根轨计算起始角的公式一般情况下故即为起始角这时的向量引向极点各开环零的向量就变成了极点引向则各开环零点时无限靠近当根据相角条件即是根轨迹上的点取点靠近起点在图所示的根轨迹上第三节 绘制根轨迹的一般规则 根轨迹起始角和终止角取条渐近线有为根轨迹段，）和，实轴上（开环零点：解：开环极点试绘制系统的根轨迹。开环传递函数例：设单位反馈系统的)3(2225 . 15 . 25 . 05 . 00340,1803412121)2(5 . 25

18、. 10) 1 (2, 5 . 1, 5 . 2, 5 . 15 . 0, 05 . 15 . 05 . 15 . 05 . 2225 . 131413,2143,21iijjaazphhmnhjzzpjppjsjsssjsjssksGnjjmiinjjmiipzzzhzppzphp11211211111212,迹终止角公式计算开环零点处的根轨计算起始角的公式一般情况下第三节 绘制根轨迹的一般规则05 .1495 .32912901175 .631211991531212790791011237905 .10859195 .56121232124122342123122hhhzzpzhzphh

19、hppzphpiiijjjjjii由根轨迹对称性，第三节 绘制根轨迹的一般规则八.（规则8）根轨迹与虚轴交点 .,010101101, 1.,:,1值增益还可以求出对应的临界的坐标得到根轨迹与虚轴交点解出或写成得到代入闭环特征方程中将与虚轴的交点有两种方法求出根轨迹状态此时系统处于临界稳定特征方程含有纯虚根即闭环点闭环系统有共轭虚数极表明根轨迹与虚轴相交kwjwHjwGjIjwHjwGRjwHjwGjIjwHjwGRjwHjwGjwsjwsmeme第三节 绘制根轨迹的一般规则 jkkwkkwwwwkkjwwjwkjwjwjwjwsksssksssksssksHsGc26626,20203023

20、023023211,21. 233232323，交点为时，根轨迹与虚轴相交所以当，为故根轨迹与虚轴的交点代入令闭环特征方程为：）由开环传递函数可得解：（。临界增益与虚轴的交点及对应的求根轨迹递函数例：已知系统的开环传利用劳斯表求第三节 绘制根轨迹的一般规则为虚轴的交点。即，行的辅助方程求得，根据根轨迹与虚轴的交点可，令特征方程式）利用劳斯表求（jssskkkkkkkkkskkkskssksss20636036363636036336363321321023222012323第三节 绘制根轨迹的一般规则九.（规则9）根之和 011101112121111011101110111011111, 0

21、asasasbsbsbskpspspszszszskpszsksHsGAsAssssAsAsAsbsbsbskasasaszskpsmnnnnmmmnmnjjmiinjjnnjjjnjjnnnmmmnnnmiinjj，的关系有根据代数方程根与系数闭环特征根。的情况下，可以表示为系统的闭环特征方程在njjnjjnnjjnjjmmmnnnnnjjnjjnnnpsasmnssbsbsbskasasasaPpsasasas所以：时，当闭环特征方程开环特征方程11011101111101112)(00第三节 绘制根轨迹的一般规则的大致形状。一点有助于确定根轨迹之和保持不变，明确这闭环极点根轨迹向右移动，

22、以便左方移动，必有另一些变化时，一些根轨迹向，随着表明：在绘制根轨迹时值无关。是与常数，下，闭环特征根之和为在开环极点确定的情况kk第三节 绘制根轨迹的一般规则 001011101111011110111101110111011121211100kbAsbsbsbsksasasassasasassasasasbsbsbsasasassbsbsbspspspsszszszskpsszsksHsGnjjmmmrrnrnnrrnrnnrrnrnnmmmrnrnrnrmmmrnrmrnjjrmii闭环特征方程开环特征方程上的积分环节也就是说开环有一个以当开环有零值极点时，miimnjjnnjjnjjm

23、imiimmimnjnjjnnjnimijnjzkpssszszskpspszskpssD111111111111) 1() 1()()(0) 1() 1()()()(n个闭环极点之积为个闭环极点之积为第三节 绘制根轨迹的一般规则 6322133223332102, 0, 0,2,21321003210121332132111021jjssskbbkssskbsjjssssssppppskjssssksHsGccnjjnjjnjj，由于闭环第三个特征根为闭环特征根之和为解：由式极点。值及对应的第三个闭环，求交点处的临界交点为根轨迹与虚轴函数例：已知系统开环传递，第三节 绘制根轨迹的一般规则 开

24、环无零点。，开环有四个极点式成绘制根轨迹的标准形解：将开环传递函数写试绘制系统的根轨迹。，函数例：已知系统开环传递，42200,4004242202042040005. 0105. 02 . 005. 0105. 005. 012 . 005. 0105. 012 . 005. 0105. 043212222jpppkkjsjssskssssksssskssssksHsGssssksHsG第三节 绘制根轨迹的一般规则 下面按绘制根轨迹的规则求根轨迹的有关参数 (1)开环传递函数有四个极点n=4，故有4 条根轨迹。 （2确定实轴上的根轨迹，在实轴上，（0-20）之间的根轨迹 （3）根轨迹起点 四

25、个开环极点 根轨迹终点：四条根轨迹终止于无穷远处。第三节 绘制根轨迹的一般规则 45, 4135, 2135, 145, 018041212644242200515040020072440010024141123234aaaaanjmiijahhhhhmnhjjmnzpssssssssdsdsMsNdsdsHsGdsd根轨迹的渐近线试探法求解出根轨迹分离点第三节 绘制根轨迹的一般规则 39039905 .125 .1161212126443231313133343phhpppppphppzphppminjjji根据对称性规则，处的根轨迹起始角极点，需求因开环有一对共轭复数根轨迹起始角，第三节

26、绘制根轨迹的一般规则 47. 313911 . 402440001000244001000400100244000400100247324324234234KkwwwkwwwwjkwwkjwjwjwjwjwsKkkssss代入方程中，令其中系统的闭环特征方程根轨迹与虚轴的交点第三节 绘制根轨迹的一般规则2s2s)2s (K) s (H) s (G2r已知系统的开环传递函数为 试绘制该系统的根轨迹图。解 这是一个二阶系统，在S平面上有两条连续且对称于实轴的根轨迹。 由开环传递函数可知，该系统有一个开环实零点 和一对开环共轭复数极 ,因此，根轨迹的起点为 和 ，其终点为 和无穷远点 。 由规则五知

27、，实轴上由-2至-的线段为实轴上的根轨迹。 由规则六，可求出根轨迹与实轴的交点（分离点）。分离点方程是2z11 j1p2,1)0K(pr1)0K(pr2)K(zr1)K(r02s2s2sdsds2即 解方程可得 不在实轴上的根轨迹上，舍去 ，实际的分离点为 。0242414. 31586. 02586. 0212由规则七，可求出开环复数极点（根轨迹的起点）的出射角。它们是1p1359045180)pp()zp(180211113512ppjs0-1-2-3)0(1rKP1p)0(2rKP2p414. 311-4rK1-1)(1rKZo由本例不难发现，由两个开环极点（实极点或复数极点）和一个开环

28、实零点组成的二阶系统，只要实零点没有位于两个实极点之间，当开环根轨迹增益 由零变到无穷大时，复平面上的闭环根轨迹，是以实零点为圆心，以实零点到分离点的距离为半径的一个圆（当开环极点为两个实极点时）或圆的一部分（当开环极点为一对共轭复数极点时）。4-3 广义根轨迹的绘制 前面讨论系统根轨迹的绘制方法时，是以根轨前面讨论系统根轨迹的绘制方法时，是以根轨迹增益迹增益k（或开环增益（或开环增益K）为可变参量，这是在实际）为可变参量，这是在实际中最常见的情况。通常将上述以根轨迹增益中最常见的情况。通常将上述以根轨迹增益k为可变为可变参量的根轨迹称为常规根轨迹。而在实际控制系统参量的根轨迹称为常规根轨迹。而在实际控制系统中，有时需要研究根轨迹增益中，有时需要研究根轨迹增益 k以外的其它参数，以外的其它参数，如开环零点、开环极点、时间常数和反馈系数等对如开环零点、开环极点、时间常数和反馈系数等对系统性能的影响，这时可绘制以其它参数为可变参系统性能的影响，这时可绘制以其它参数为可变参数的根轨迹，称为参数根轨迹，或广义根轨迹。数