向量组的线性相关性ppt课件

1、4.2 向量组的线性相关性 上页下页铃终了前往补充例题首页v向量组的线性相关与线性无关v 给定向量组A a1 a2 am 假设存在不全为零的数k1 k2 km 使vk1a1k2a2 kmam0v那么称向量组A是线性相关的 否那么称它线性无关 上页下页铃结束返回首页补充例题v向量组的线性相关与线性无关v 给定向量组A a1 a2 am 假设存在不全为零的数k1 k2 km 使vk1a1k2a2 kmam0v那么称向量组A是线性相关的 否那么称它线性无关 显然有 (1)含零向量的向量组必线性相关 (2)一个向量a线性相关 a0 (3)两个非零向量a1 a2线性相关 a1ka2(即对应分量成比例)

2、向量组a1 a2线性相关的几何意义是这两个向量共线 下页上页下页铃结束返回首页补充例题v向量组的线性相关与线性无关v 给定向量组A a1 a2 am 假设存在不全为零的数k1 k2 km 使vk1a1k2a2 kmam0v那么称向量组A是线性相关的 否那么称它线性无关 向量组A a1 a2 am(m2)线性相关 也就是在向量组A中至少有一个向量能由其他m1个向量线性表示 这是由于 假设向量组A线性相关 那么有k1a1k2a2 kmam0其中k1 k2 km不全为0 无妨设k10 于是 a1(1/k1)(k2a2 kmam)即a1能由a2 am线性表示 下页上页下页铃结束返回首页补充例题v向量组

3、的线性相关与线性无关v 给定向量组A a1 a2 am 假设存在不全为零的数k1 k2 km 使vk1a1k2a2 kmam0v那么称向量组A是线性相关的 否那么称它线性无关 向量组A a1 a2 am(m2)线性相关 也就是在向量组A中至少有一个向量能由其他m1个向量线性表示 这是由于 假设向量组A中有某个向量(无妨设am)能由其他m1个向量线性表示 即有1 2 m1 使am1a12a2 m1am1于 是 1 a 12 a 2 m1am1(1)am0由于1 2 m1 1不全为0 所以向量组A线性相关 下页上页下页铃结束返回首页补充例题v向量组的线性相关与线性无关v 给定向量组A a1 a2

4、am 假设存在不全为零的数k1 k2 km 使vk1a1k2a2 kmam0v那么称向量组A是线性相关的 否那么称它线性无关 v定理1v 向量组a1 a2 am线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A(a1 a2 am)的秩小于向量个数m 向量组线性无关的充分必要条件是R(A)m 这是由于 向量组A a1 a2 am线性相关 x1a1x2a2 xmam0即Ax0有非零解 R(A)m 下页上页下页铃结束返回首页补充例题 n维单位坐标向量组构成的矩阵为E(e1 e2 en) 是n阶单位矩阵 由|E|10 知R(E)n 即R(E)等于向量组中向量个数 所以此向量组是线性无关的 例1 试讨论n维单位坐

5、标向量组的线性相关性 解 向量组a1 a2 am线性无关R(a1 a2 am)m 下页上页下页铃结束返回首页补充例题提示 例2 知a1(1 1 1)T a2(0 2 5)T a3(2 4 7)T试讨论向量组a1 a2 a3及向量组a1 a2的线性相关性 对矩阵(a1 a2 a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵 即可同时看出矩阵(a1 a2 a3)及(a1 a2)的秩 解 n维单位坐标向量组e1 e2 en是线性无关的 对矩阵(a1 a2 a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵000220201 550220201 751421201) , ,(321rraaa000220201 55022020

6、1 751421201) , ,(321rraaa000220201 550220201 751421201) , ,(321rraaa 向量组a1 a2 am线性无关R(a1 a2 am)m 下页上页下页铃结束返回首页补充例题可见R(a1 a2 a3)2 R(a1 a2)2 故向量组a1 a2 a3线性相关 向量组a1 a2线性无关 例2 知a1(1 1 1)T a2(0 2 5)T a3(2 4 7)T试讨论向量组a1 a2 a3及向量组a1 a2的线性相关性 解 n维单位坐标向量组e1 e2 en是线性无关的 对矩阵(a1 a2 a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵000220201 5

7、50220201 751421201) , ,(321rraaa000220201 550220201 751421201) , ,(321rraaa000220201 550220201 751421201) , ,(321rraaa 向量组a1 a2 am线性无关R(a1 a2 am)m 下页上页下页铃结束返回首页补充例题 设有x1 x2 x3使 x1b1x2b2x3b30即 x1(a1a2)x2(a2a3)x3(a3a1)0亦即(x1x3)a1(x1x2)a2(x2x3)a30 由于a1 a2 a3线性无关 故有 例3 知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a

8、3a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关 证法一 000322131xxxxxx 由于此方程组的系数行列式02110011101 故方程组只需零解x1x2x30 所以向量组b1 b2 b3线性无关下页上页下页铃结束返回首页补充例题 把知的三个向量等式写成一个矩阵等式 例3 知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关 证法二 110011101) , ,() , ,(321321aaabbb 由于矩阵A的列向量组线性无关 所以可推知Kx0 又因|K|20 知方程Kx0只需零解x0 所以矩阵B的列向量组b1 b2 b3线性无关

9、记作BAK 设Bx0 以BAK代入得A(Kx)0 下页上页下页铃结束返回首页补充例题 例3 知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关 证法三 由于A的列向量组线性无关 所以R(A)3 从而R(B)3 因此b1 b2 b3线性无关由于|K|20 知K可逆 所以R(B)R(A) 把知的三个向量等式写成一个矩阵等式 110011101) , ,() , ,(321321aaabbb 记作BAK 下页上页下页铃结束返回首页补充例题v定理2 v (1)假设向量组A a1 a2 am线性相关 那么向量组B a1 a2 am am1也线性

10、相关 反之 假设向量组B线性无关 那么向量组A也线性无关 这是由于 记A(a1 a2 am) B( a1 a2 am am1) 有R(B)R(A)1 假设向量组A线性相关 那么有R(A)m 从而R(B)R(A)1m1 因此向量组B线性相关 下页上页下页铃结束返回首页补充例题v定理2 v (1)假设向量组A a1 a2 am线性相关 那么向量组B a1 a2 am am1也线性相关 反之 假设向量组B线性无关 那么向量组A也线性无关 这个结论可普通地表达为 一个向量组假设有线性相关的部分组 那么该向量组线性相关 一个向量组假设线性无关 那么它的任何部分组都线性无关 特别地 含零向量的向量组必线性

11、相关下页上页下页铃结束返回首页补充例题v定理2 v (1)假设向量组A a1 a2 am线性相关 那么向量组B a1 a2 am am1也线性相关 反之 假设向量组B线性无关 那么向量组A也线性无关 (2)m个n维向量组成的向量组 当维数n小于向量个数m时一定线性相关 特别地 n1个n维向量一定线性相关 这是由于 m个n维向量a1 a2 am构成矩阵Anm(a1 a2 am) 有R(A)n 假设nm 那么R(A)nm 故m个向量a1 a2 am线性相关下页上页下页铃结束返回首页补充例题v定理2 v (1)假设向量组A a1 a2 am线性相关 那么向量组B a1 a2 am am1也线性相关

12、反之 假设向量组B线性无关 那么向量组A也线性无关 (2)m个n维向量组成的向量组 当维数n小于向量个数m时一定线性相关 特别地 n1个n维向量一定线性相关 (3)设向量组A a1 a2 am线性无关 而向量组B a1 a2 am b线性相关 那么向量b必能由向量组A线性表示 且表示式是独一的 这是由于 记A(a1 a2 am) B( a1 a2 am b) 有即向量b能由向量组A线性表示 且表示式独一有独一解(a1 a2 am)xb因此方程组 即有R(B)R(A)m mR(A)R(B)m1 下页上页下页铃结束返回首页补充例题 (2)用反证法 假设a4能由a1 a2 a3线性表示 而由(1)知a1