《线性代数》知识点归纳整理

1、精品文档线性代数知识点归纳整理诚毅学生 编01、余子式与代数余子式 .- 2 -02、主对角线 .- 2 -03、转置行列式 .- 2 -04、行列式的性质 .- 3 -05、计算行列式 .- 3 -06、矩阵中未写出的元素 .- 4 -07、几类特殊的方阵 .- 4 -08、矩阵的运算规则 .- 4 -09、矩阵多项式 .- 6 -10、对称矩阵 .- 6 -11、矩阵的分块 .- 6 -12、矩阵的初等变换 .- 6 -13、矩阵等价 .- 6 -14、初等矩阵 .- 7 -15、行阶梯形矩阵 与 行最简形矩阵.- 7 -16、逆矩阵 .- 7 -17、充分性与必要性的证明题 .- 8 -

2、18、伴随矩阵 .- 8 -19、矩阵的标准形： .- 9 -20、矩阵的秩： .- 9 -21、矩阵的秩的一些定理、推论 .-10-22、线性方程组概念 .-10-23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量） .-10-24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 .-11-25、线性方程组的向量形式 .-12-26、线性相关 与 线性无关 的概念 .-12-27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.-12-28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题. - 12 -29、线性表示 与 线性组合 的概念 .-12-30、线性表示；非齐次线性方程组的解；

3、矩阵的秩这三者的关系其例题 .-12-31、线性相关（无关）与线性表示的3 个定理 .-12-32、最大线性无关组与向量组的秩 .-12-33、线性方程组解的结构 .-13-.精品文档01、余子式与代数余子式a11a12a13（1）设三阶行列式 D a21a22a23，则a31a32a33元素 a11， a12 ， a13的余子式分别为： M11 a22a23，M12a21a23， M13 a21a22a32a33a3133a3132aa对 M11 的解释：划掉第 1 行、第 1 列，剩下的就是一个二阶行列式a22a23，这个a32a33行列式即元素 a11 的余子式 M11。其他元素的余子式

4、以此类推。元素a11，a12，a13111 111121 2M12，的代数余子式分别为： A( 1) M，A( 1)1 3i jM ij .A13( 1) M13 .对 Aij 的解释（ i 表示第 i 行， j 表示第 j 列）： Aij ( 1)（N 阶行列式以此类推）（2）填空题求余子式和代数余子式时，最好写原式。比如说，作业P1第1题：M31043+1 040，A31(-1)033（3）例题：课本P8、课本 P21-27、作业 P1 第 1 题、作业 P1 第 3 题02、主对角线一个 n 阶方阵的主对角线，是所有第k 行第 k 列元素的全体， k=1, 2, 3 n，即从左上到右下的

5、一条斜线。与之相对应的称为副对角线或次对角线，即从右上到左下的一条斜线。03、转置行列式即元素 aij 与元素 aji 的位置对调（ i 表示第 i 行， j 表示第 j 列），比如说， a12 与 a21 的位置对调、 a35 与 a53 的位置对调。.精品文档04、行列式的性质详见课本 P5-8（性质）其中，性质可以归纳为这个：A ， i k，ai 1 Ak1 ai 2 Ak 2 ainAkn （i 表示第 i 行， k 表示第 k 列）0 ， ik熟练掌握行列式的性质，可以迅速的简化行列式，方便计算。例题：作业 P1 第 2 题05、计算行列式（1）计算二阶行列式a11a12 ：a21a

6、22方法（首选）：a11a12a aa（即，左上角×右下角右上角×左下角） a21a21112212a22方法： a11a12 a11 A11a12 A12 a11 a22 a12 a21a21a22例题：课本 P14a11a12a13（2）计算三阶行列式 a21a 22a 23：a31a32a 33a11a12a13a a a a A a A a A 11( 1)11M11 a( 1)12M12a( 1)1 3M132122231111121213131213aa31a32a33N 阶行列式的计算以此类推。通常先利用行列式的性质对行列式进行转化，0 元素较多时方便计算 .

7、（r 是 row，即行。 c 是 column，即列）例题：课本 P5、课本 P9、课本 P14、作业 P1 第 4 题、作业 P2 第 3 小题（3）n 阶上三角行列式（ 0 元素全在左下角）与n 阶下三角行列式（ 0 元素全在右上角）：D a11a22 ann （主对角线上元素的乘积）例题：课本 P10、作业 P3 第 4 小题有的题可以通过“从第二行起，将各行的元素对应加到第一行”转化成上三角行列式例题：课本 P11.精品文档（4）范德蒙行列式： 详见课本 P12-13（5）有的题可以通过“从第二行起，将各行的元素对应加到第一行”提取出“公因式”，得到元素全为 1 的一行，方便化简行列式

8、。例题：作业 P2 第 1 小题、作业 P2 第 2 小题06、矩阵中未写出的元素课本 P48 下面有注明，矩阵中未写出的元素都为007、几类特殊的方阵详见课本 P30-32（1）上（下）三角矩阵：类似上（下）三角行列式（2）对角矩阵：除了主对角线上的元素外，其他元素都为0（3）数量矩阵：主对角线上的元素都相同（4）零矩阵：所有元素都为0，记作 O（5）单位矩阵：主对角线上的元素都为1，其他元素全为 0，记作 E 或 En （其行列式的值为1）08、矩阵的运算规则（1）矩阵的加法（同型的矩阵才能相加减，同型，即矩阵A 的行数与矩阵 B 的行数相同；矩阵 A 的列数与矩阵 B 的列数也相同）：课

9、本 P32“ AB”、“AB”加法交换律： ABB A加法结合律： A（ B C）（ A B） C （2）矩阵的乘法（基本规则详见课本 P34 阴影）：数与矩阵的乘法：I. 课本 P33“ kA”II. kA kn A （因为 k A 只等于用数 k 乘以矩阵 A 的一行或一列后得到的矩阵的行列式）同阶矩阵相乘（高中理科数学选修矩阵基础） ：a11a12× b11b12 a11b11a12b21a11b12a12b22a21a22b21b22a21b11a22b21a21b12a22b22.精品文档描述：令左边的矩阵为，令右边的矩阵为，令计算得到的矩阵为AB，则CDA 的值为：中第

10、1 行的每个元素分别乘以中第1 列的每个元素， 并将它们相加。即 A a11 × b11 a12 × b21B 的值为：中第 1 行的每个元素分别乘以中第2 列的每个元素， 并将它们相加。即 B a11 × b12 a12 × b22C的值为：中第 2 行的每个元素分别乘以中第1 列的每个元素， 并将它们相加。即 C a21 × b11 a22 × b21D的值为：中第 2 行的每个元素分别乘以中第2 列的每个元素， 并将它们相加。即 D a21 × b12 a22 × b22 .a11a12a13b11b12b1

11、3a21a22a23×b21b22b23a31a32a33b31b32b33a11b11 a21b11 a31b11a12b21 a13b31 a11b12 a22b21 a23b31 a21b12 a32b21 a33b31 a31b12a12b22 a22b22 a32b22a13b32a11b13a12b23a13b33a23b32a21b13a22b23a23b33a33b32a31b13a32b23a33b33ABC描述：令左边的矩阵为，令右边的矩阵为，令计算得到的矩阵为DEF，则GHIA 的值为：中第 1 行的每个元素分别乘以中第1 列的每个元素， 并将它们相加。即 A

12、a11 × b11 a12 × b21 a13 × b31B、C、D、E、F、 G、 H、 I 的值的求法与 A 类似。数乘结合律： k（lA）（ kl）A ，（ kA）B A（ kB） k（ AB）数乘分配律：（k l）A kAlA ，k（AB） kAkB乘法结合律：（AB） CA（BC）乘法分配律： A（BC） ABAC ，（AB）C AC BC需注意的：I. 课本 P34 例题两个不等于零的矩阵的乘积可以是零矩阵II. 课本 P34 例题数乘的消去律、交换律不成立III. 一般来讲，（AB） k A k B k，因为矩阵乘法不满足交换律IV.课本 P40 习

13、题第 2 题：（A B） 2 不一定等于 A2 2ABB2 ，（AB）2 不一定等于 A2 2ABB2，（AB）（AB）不一定等于 A2 B2 . 当 AB BA 时，以上三个等式均成立（3）矩阵的转置运算规律： (AT )TA (A±B)TA T±B T.精品文档 (kA)TkAT (AB)TB TAT (ABC)TCTB TAT (ABCD)TDTCTB TAT（4）同阶方阵相乘所得的方阵的行列式等于两个方阵的行列式的乘积：（详见课本 P46）ABA B（5）例题：课本 P35、课本 P36-37、课本 P40 第 4 大题、课本 P40 第 5 大题、课本 P51 第

14、 1 大题、课本 P51 第 4 大题、课本 P60 第 4 大题、作业 P5 全部、作业 P5 第 3 大题、作业P5第 4大题09、矩阵多项式详见课本 P 3610、对称矩阵（1）对称矩阵、实对称矩阵、反对称矩阵的概念（详见课本 P37）（2）同阶对称（反对称）矩阵的和、差仍是对称（反对称）矩阵数 与 对称（反对称）矩阵的乘积仍是对称（反对称）矩阵对称（反对称）矩阵的乘积不一定是对称（反对称）矩阵11、矩阵的分块线代老师说这部分的内容做了解即可。详见课本 P38-4012、矩阵的初等变换三种行变换与三种列变换：详见课本 P 42例题：作业 P6 全部13、矩阵等价若矩阵 A 经过若干次初等

15、变换后变成矩阵B，则称矩阵 A 与矩阵 B 等价，记为 AB.精品文档14、初等矩阵（1）是由单位矩阵经由一次初等变换而得到的矩阵。详见课本 P48-49（2）设 A 为 m×n 矩阵，则对 A 施行一次初等行变换相当于在A 的左边乘上一个相应的m 阶初等矩阵； A 施行一次初等列变换相当于在A 的右边乘上一个相应的n 阶初等矩阵 .详见课本 P50-51（3）课本 P51 第 3 大题15、行阶梯形矩阵 与 行最简形矩阵（1）对任意一个非零矩阵，都可以通过若干次初等行变换（或对换列）化为行阶梯型矩阵（2）行阶梯形矩阵与行最简形矩阵：若在矩阵中可画出一条阶梯线，线的下方全为0，每个台

16、阶只有一行（台阶数即是非零行的行数），阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元素，也就是非零行的第一个非零元素，则称该矩阵为行阶梯矩阵。在此基础上，若非零行的第一个非零元素为都为1，且这些非零元素所在的列的其他元素都为0，则称该矩阵为行最简形矩阵。例题： 课本 P45、作业 P6 全部、课本 P51 第 2 大题16、逆矩阵（1）设 A 为 n 阶方阵，如果存在n 阶方阵 B，使得 AB BA E，则称方阵 A 是可逆的，并称 B 为 A 的逆矩阵 .（由逆矩阵的定义可知，非方阵的矩阵不存在逆矩阵）（2）如果方阵 A 可逆，则 A 的逆矩阵是唯一的，并将A 的逆矩阵记作 A

17、1，AA 1 EA1 A*（3）n 阶方阵 A 可逆的充要条件为 A 0，并且，当A 可逆时，A（证明详见课本 P54）例题：课本 P59 第 1 大题（4）可逆矩阵也称为非奇异方阵（否则称为奇异方阵）（5）性质：设 A，B 都是 n 阶的可逆方阵，常数k0，那么 (A1) 1A AT 也可逆，并且 (AT )-1(A-1)T.精品文档(kA)-1 1 A-1 kA 也可逆，并且k AB 也可逆，并且 (AB) -1B-1A-1 AB 不一定可逆，而且即使A B 可逆，一般 (AB)-1A-1B-1A-1 1-1-1E 1-11AAAEAAAA例题：课本P58 例 2.3.7、作业 P7 第

18、1 题（6）分块对角矩阵的可逆性：课本 P57（7）由方阵等式求逆矩阵：课本 P58 例 （8）单位矩阵、所有初等矩阵都是可逆的（初等矩阵是由单位矩阵经由一次初等变换而得到的，即初等矩阵可以通过初等变换再变回单位矩阵，而单位矩阵的行列式=10 可逆，所以初等矩阵可逆）（9）初等矩阵的逆矩阵也是初等矩阵（10）任一可逆方阵都可以通过若干次初等行变换化成单位矩阵（11）方阵 A 可逆的充要条件是： A 可以表示为若干个初等矩阵的乘积（证明：课本 P67）（12）利用初等行变换求逆矩阵：A | E初等行变换E |A-1（例题：课本、课本）P68P71（13）形如 AXB 的矩阵方程，当方阵 A 可逆

19、时，有 A-1AXA-1B，即 XA-1B.此时有： A |B初等行变换E | X矩阵方程的 例题：课本 P35、课本 P69、课本 P41 第 6 大题、课本 P56、课本 P58、课本 P59 第 3 大题、课本P60 第 5 大题、课本 P60 第 7 大题、课本P71第 3大题矩阵方程计算中易犯的错误： 课本 P56“注意不能写成”17、充分性与必要性的证明题（1）必要性：由结论推出条件（2）充分性：由条件推出结论例题：课本 P41 第 8 大题、作业 P5 第 5 大题18、伴随矩阵（1）定义： 课本 P52 定义（2）设 A 为 n 阶方阵（ n2），则 AA* A* A A En

20、 （证明详见课本 P53-54）.精品文档A* A A1(kA)* kA · (kA)-1 knA1-1 kn 1· A A-1 kn-1 *（k0）·AkAk|A*| 11| A n·1（因为存在 A1，所以A 0 ） A n-1| A A| A n· | AA (A*)* ( AA1)* | AA1· 1) 1 A n 1|·1 1) 1| (AA| A(AA A n1 · 1A A n-2 A （因为 AA 1 E，所以 A 1 的逆矩阵是 A，即 (A 1) 1 ）A A (AB) * B* A*(A*)-

21、1(A-1) * AA（4）例题： 课本 P53、课本 P55 、课本 P58、课本 P60 第 6 大题、作业 P7 第 2 题、作业 P8 全部19、矩阵的标准形：（1）定义： 课本 P61-62（2）任何一个非零矩阵都可以通过若干次初等变换化成标准形20、矩阵的秩：（1）定义： 课本 P63（2）性质：设 A 是 m×n 的矩阵， B 是 p×q 的矩阵，则 若 k 是非零数，则 R (kA)R (A) R (A)R (AT ) 等价矩阵有相同的秩，即若AB，则 R (A)R (B) 0R (Am× n) min m , n R (AB)min R ( A)

22、 , R(B) 设 A 与 B 都是 m× n 矩阵，则 R (AB) R (A) R (B)（3）n 阶方阵 A 可逆的充要条件是： A 的秩等于其阶数，即R (A)n（4）方阵 A 可逆的充要条件是： A 可以表示为若干个初等矩阵的乘积。 （证明： P67）（5）设 A 是 m×n 矩阵，P、Q 分别是 m 阶与 n 阶可逆方阵，则 R (A) R (PA)R (AQ)R (PAQ).精品文档（6）例题：课本 P64、课本 P66、课本 P71、作业 P7 第 3 题、作业 P9 全部21、矩阵的秩的一些定理、推论线代老师说这部分的内容做了解即可。详见课本 P7022、

23、线性方程组概念线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组。线性方程组经过初等变换后不改变方程组的解。23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）（1）定义： 课本 P81（2）方程组的解集、方程组的通解、同解方程组：课本 P81（3）系数矩阵 A、增广矩阵 A 、矩阵式方程： 课本 P82（4）矛盾方程组（方程组无解） ：课本 P85 例题（5）增广矩阵的最简阶梯形：课本 P87（6）系数矩阵的最简阶梯形：课本 P87（7）课本 P87 下面有注明：交换列只是交换两个未知量的位置，不改变方程组的解。为了方便叙述，在解方程组时不用交换列。（8）克莱姆法则：初步认知：ax ax a x

24、b1a a12a1111221331113已知三元线性方程组a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2，其系数行列式 D a21a22a23 .a31 x1 a 32 x2 a33 x3 b3a31a32a33当 D0 时，其解为： x1 D 1，x2 D 2，x3 D 3.DDDb1a12a13a11b1a13a11a12b1（其中 D1 b2a22a23 ，D2 a 21b2a23，D3 a21a22b2）（Dn 以此类推）b3a32a33a31b3a33a31a32b3定义： 课本 P15使用的两个前提条件： 课本 P18例题： 课本 P3、课本 P16-17、课本 P18、作业 P

25、3 第 7 题（9）解非齐次线性方程组 （方程组施行初等变换实际上就是对增广矩阵施行初等行变换）例题：.精品文档课本 P26、课本 P42、课本 P82、课本 P84、课本 P85、课本 P86 第 1 大题、课本 P88、课本 P91、作业 P10 第 1 题（10）解齐次线性方程组例题： 课本 P17、课本 P18、课本 P85、课本 P86、课本 P90、课本P91、作业 P1 第 5 题、作业 P10 第 2 题（11）n 元非齐次线性方程组AXb 的解的情况：（R (A) 不可能R ( A )）R(A) R(A )无解 n有无穷多个解R(A) R(A )有解 n有唯一解特别地，当 A

26、 是A 0有唯一解n 阶方阵时，可R (A) R ( A )无解由行列式来判断R(A) R(A )有解当 A 0有无穷多个解例题：课本 P86 第 2 大题、课本 P88、课本 P92、作业 P11 第三题（12）n 元齐次线性方程组AX O 的解的情况：（只有零解和非零解两种情况，有唯一解的充要条件是只有零解，有无穷多个解的充要条件是有非零解）R (A) n只有零解（有唯一解，为0）R (A) n有非零解（有无穷多个解）特别地，当 A 是 n 阶方阵A 0只有零解（有唯一解，为0）时，可由行列式来判断A 0有非零解（有无穷多个解）例题：课本 P24、课本 P90-91、作业 P11 全部24

27、、行向量、列向量、零向量、负向量的概念详见课本 P92-93将列向量组的分量排成矩阵计算时，计算过程中只做行变换，不做列变换。初等行变换与初等行列变换的使用情况：矩阵、线性方程组、向量涉及行变换；列变换只在矩阵中用。（行列式的性质包括行与列的变换）.精品文档手写零向量时不必加箭头。25、线性方程组的向量形式详见课本 P9326、线性相关 与 线性无关 的概念详见课本 P93-94例题：课本 P101 第 6 大题 、作业 P14 第五大题27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关线代老师课上提到的结论。28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题详见课本 P9

28、4 定理、定理例题：课本 P94-95 例、课本 P101 第 3 大题、课22 本 P101 第 5 大题、作业 P12 第 3小题、作业 P12 第二大题、作业P13 第三大题、作业P13 第四大题29、线性表示 与 线性组合 的概念详见课本 P9530、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题详见课本 P95-96 定理例题：课本 P95-96 例31、线性相关（无关）与线性表示的 3 个定理详见课本 P96 定理、课本 P97 定理、课本 P98 定理32、最大线性无关组与向量组的秩详见课本 P98-100 定义、定义、定单位列向量，即“只有一个元素为1，且其余元素都

29、为0”的一列向量 （求最大线性无关组用）.精品文档例题：课本 P100 例、课本 P101 第 4 大题、作业 P14 第六大题33、线性方程组解的结构看此内容之前，最好先复习下“n 元非齐次线性方程组AXb 的解的情况”与“ n 元齐次线性方程组 AXO 的解的情况”。（1）n 元齐次线性方程组AXO 解的结构 定理：详见课本 P101-102 定义（并理解“基础解系、通解、结构式通解、向量式通解”）：详见课本 P102 定理：详见课本 P102 解题步骤（“注”为补充说明）（以课本 P104 例为例）：10274（I）A 011310000000000注：往“行最简形矩阵”方向转化（因为在解方程组时不用列变换，所以一般没法真正转化成行最简形矩阵，所以说“往方向转化”）。（ II ）得到同解方程组x1 2x37x44x5x2 x3 3x4x5x12x37 x44x5 0注：由x2x33x4x5 0得到同解方程组274131（ III ） 此方程组的一组解向量为：1 1，2 0，3 0010001注：在草稿纸上写成以下形式，其中未写出的系数有的是1 有的是 0，一看便知x1 2x37x44x5x2x33x4x5x3x3x4 x4x5x5.精品文档（ IV ）显然1 ，2 ，3 线性无关。注：根据 课本 P9