专升本高等数学知识点汇总

1、精品文档专升本高等数学知识点汇总常用知识点：一、常见函数的定义域总结如下：ykxb（1）ax 2一般形式的定义域： x Rybx c（2） ykx 0分式形式的定义域：x（3） yx根式的形式定义域：x 0（4） ylog ax 对数形式的定义域： x0二、函数的性质1、函数的单调性当 x1x2 时，恒有 f ( x1 )f ( x2 ) ， f (x) 在 x1， x2 所在的区间上是增加的。当 x1x2 时，恒有 f ( x1 )f ( x2 ) ， f (x) 在 x1， x2 所在的区间上是减少的。2、 函数的奇偶性定义：设函数 yf ( x) 的定义区间 D 关于坐标原点对称（即若x

2、 D ，则有x D ）(1)偶函数 f (x) xD ，恒有 f (x)f ( x) 。(2)奇函数 f (x) xD ，恒有 f (x)f ( x) 。三、基本初等函数1、常数函数：yc ，定义域是 (,) ，图形是一条平行于x 轴的直线。2、幂函数：yxu ，( u 是常数 )。它的定义域随着u 的不同而不同。图形过原点。3、指数函数.精品文档定义 :yf ( x)a x ， ( a 是常数且 a 0， a 1). 图形过（ 0,1 ）点。4、对数函数定义 :yf ( x)log a x ， ( a 是常数且 a0 ， a1 ) 。图形过（ 1,0 ）点。5、三角函数(1)正弦函数 : y

3、sin xT2 ， D ( f )( , ) ， f (D ) 1,1 。(2) 余弦函数 : y cosx.T2 ， D ( f )( , ) ， f (D ) 1,1 。(3)正切函数 :ytan x .T， D ( f ) x | x R, x (2k 1) ,k Z ， f ( D ) (, ) .2(4)余切函数 :ycot x .T， D ( f ) x | x R, x k ,k Z ， f (D ) ( ,) .5、反三角函数(1)反正弦函数 :yarcsin x ， D( f )(2)反余弦函数 :yarccosx ， D ( f )1,1 ， f (D ), 。221,1

4、， f (D )0, 。(3)反正切函数 :yarctanx ， D ( f )(,) ， f (D )(,) 。22(4)反余切函数 :yarccotx ， D ( f )(,) ， f ( D )(0,) 。极限一、求极限的方法1、代入法代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。 ”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。2、传统求极限的方法（ 1）利用极限的四则运算法则求极限。（ 2）利用等价无穷小量代换求极限。（ 3）利用两个重要极限求极限。（ 4）利用罗比达法则就极限。.精品文档二、函数极限的四则运算法则设 lim uA ， lim vB ，则xx

5、（1） lim (uv)lim u lim vABxxx（2） lim (uv)lim ulim vAB .xxx推论（ a) lim (Cv) Clim v ， ( C 为常数 ) 。xx（ b） lim un(lim u) nxxulim uAxB0).（3） limlim v， (xvBx（4）设P( x)为多项式P(x)nn1n ， 则lim P( x) P(x0 )01a xa xax x0（5）设 P( x),Q ( x) 均为多项式，且 Q (x)0 ， 则 limP(x) P(x0 )x x0Q( x) Q (x0 )三、等价无穷小常 用 的 等 价 无 穷 小 量 代换 有

6、： 当 x0 时 ， sin x x ， tan x x ， arctanx x ，arcsin x x ， ln(1 x) x ， ex1 x ， 1 cosx 1 x 2。20 时， sin ，其余类对这些等价无穷小量的代换，应该更深一层地理解为：当似。四、两个重要极限重要极限 Isin x。lim1x 0 x它可以用下面更直观的结构式表示：lim sin1 0 1x重要极限 IIe 。lim 1xx.精品文档1其结构可以表示为： lim 1e八、洛必达 (LHospital) 法则“ 0”型和“”型不定式，存在有 lim f ( x)lim f ' (x)A （或）。0x a g

7、( x)x a g' ( x)一元函数微分学一、导数的定义设函数y f ( x) 在点 x0 的某一邻域内有定义，当自变量x 在 x0处取得增量x （点x0x 仍在该邻域内）时，相应地函数y 取得增量 yf ( x0x) f ( x0 ) 。如果当x0 时，函数的增量y 与自变量x 的增量之比的极限limy = lim f ( x0x) f (x0 ) = f （ x0） 注意两个符号x 和 x0 在题目中可能换成其x 0xx 0x他的符号表示。二、求导公式1、基本初等函数的导数公式（1） (C )0(C为常数 )（2） ( x )x 1 （为任意常数）（3） ( a x )ax ln

8、 a (a0, a1)特殊情况 (ex )ex（4） (log a x)1 log a e1( x 0, a 0, a1) ， (ln x)1xx ln ax（5） (sin x)cosx（6） (cos x)sin x（7） (tan x)'12cos x.精品文档（8） (cot x) '1xsin2（9） (arcsin x) '1( 1 x 1)1x2（10） (arccos x)'1( 1 x 1)1x 2（11） (arctanx) '11x 2（12） (arc cot x)'12、导数的四则运算公式1 x 2（1） u( x) v

9、(x)u ( x) v ( x)（2） u( x)v( x)u ( x) v(x) u( x)v (x)（ 3） ku（ 4） u(x)v (x)ku （ k 为常数）u ( x) v( x)u( x)v ( x)v2 ( x)3、复合函数求导公式：设yf (u) ,u( x) ，且 f (u) 及( x) 都可导，则复合函数y f (x) 的导数为 dydyduf ' (u).( x) 。dxdudx三、导数的应用1、函数的单调性f ' (x)0 则 f (x) 在 ( a, b) 内严格单调增加。f ' (x)0 则 f (x) 在 ( a, b) 内严格单调减少。

10、2、函数的极值f ' ( x)0 的点函数f (x) 的驻点。设为x0（ 1）若 x x0 时， f（ 2）若 x x0 时， f''(x)0 ； xx时， f ' ( x)0 ，则 f ( x0 ) 为f (x)0(x)0 ； xx0 时， f ' ( x)0 ，则 f ( x0 ) 为 f (x)的极大值点。的极小值点。（3）如果f ' ( x) 在 x0 的两侧的符号相同，那么f ( x0 ) 不是极值点。3、曲线的凹凸性.精品文档f ' ' (x)0 ，则曲线yf (x) 在 (a, b) 内是凹的。f ' 

11、9; (x)0 ，则曲线yf (x) 在 (a, b) 内是凸的。4、曲线的拐点（ 1）当f '' ( x) 在 x0 的左、右两侧异号时，点(x0 , f ( x0 ) 为曲线yf (x) 的拐点，此时f ' ' ( x0 )0 .（2）当 f ' ' (x) 在 x0 的左、右两侧同号时，点( x0 , f ( x0 ) 不为曲线 yf ( x) 的拐点。5、函数的最大值与最小值极值和端点的函数值中最大和最小的就是最大值和最小值。四、微分公式dyf ' ( x)dx ，求微分就是求导数。一元函数积分学一、不定积分1、定义，不定积分是求

12、导的逆运算，最后的结果是函数+C 的表达形式。公式可以用求导公式来记忆。2、不定积分的性质（1） f ( x)dx 'f ( x) 或 d f ( x) dxf ( x) dx（2）F ' ( x)dxF ( x) C 或 dF ( x)F ( x) C（ 3）（ 4） f ( x)( x)( x) dxf (x)dx( x)(x) dx 。kf ( x)dxkf ( x)dx （ k 为常数且 k0 ）。2、基本积分公式（要求熟练记忆）（ 1） 0dx C（2）x a dx1x a 1C (a1) .1 dxa1（3）ln xC .x.精品文档（4）a xdx1 a x C

13、(a 0,a 1)ln a（ 5） exdx ex C（6） sin xdxcos xC（7） cosxdxsin xC（8）1dxtan xC .cos2x（9）1dxcot xC .sin 2 x（10）1dxarcsin xC .1x 2（11）1dxarctan xC .1 x23、第一类换元积分法对不定微分g()，将被积表达式g (x)dx凑成x dxg( x) dxf (x)'(x)dxf( x)d(x) ，这是关键的一步。常用的凑微分的公式有：（1）f ( axb)dx1f(ax)(ax)ab db1（2）kk 1(k) (k)f ( axb) xdxkafaxb d a

14、xb（3） f ( x)1 dx2 f xd xxf (11dxf (11（4）x )x2x) dx（5） f ( ex ) exdxf (ex )d (ex )（6）1(ln)(ln)f (ln x)dxfx dxx（7） f (sin x)cos xdxf (sin x) d (sin x)（8） f (cos x)sin xdxf (cos x) d(cos x)（9） f (tan x)1dxf (tan x)d (tan x)cos2x（10） f (cot x)1dxf (cot x)d (cot x)sin2 x.精品文档（11） f (arcsin x)1dxf (arcsin

15、 x)d (arcsin x)1x2（12） f (arccos x)1dxf (arccos x)d (arccos x)1x 2（13）1(arctan )(arctan )f (arctan x)x2 dxfx dx1（14）'( x)( x) )( x) 0)dx d (ln( x)4、分部积分法udvuvvdu二、定积分公式1、（牛顿莱布尼茨公式）如果 F ( x) 是连续函数f ( x) 在区间 a,b 上的任意一个原函数，b则有f ( x) dxF (b)F (a) 。a2、计算平面图形的面积如果某平面图形是由两条连续曲线y1g(x), y2f (x) 及两条直线x1a

16、和 x2b 所围成的（其中y1 是下面的曲线，y2 是上面的曲线） ，则其面积可由下式求出：Sb f ( x) g(x)dx.ayaoy f (x)y g(x)bx3、计算旋转体的体积设 某 立 体 是 由 连 续 曲 线 yf ( x)( f ( x) 0) 和 直 线x a, xb( a b) 及 x 轴所围平面图形绕x 轴旋转一周所yyf ( x)形成的旋转体，如图所示。则该旋转体的体积V 可由下式求出：Vxbf 2 ( x)dxbaf 2 ( x)dx.o axx+dxb xa.精品文档多元函数微分学1、 偏导数，对某个变量求导，把其他变量看做常数。2、全微分公式： dzdf ( x,

17、 y)A xBy 。3、复合函数的偏导数利用函数结构图如果 u(x, y) 、v(x, y) 在点 ( x, y) 处存在连续的偏导数u， u ， v， v ，xyxy且在对应于 ( x, y) 的点 (u,v) 处，函数 zf (u, v) 存在连续的偏导数z， z ，则复合函数uvzf (x, y), ( x, y) 在点 (x, y) 处存在对 x 及 y 的连续偏导数，且zz uz v ， zz uz v 。xuxvxyu yvy4、隐函数的导数对于方程 F ( x, y)0 所确定的隐函数 yf ( x) ，可以由下列公式求出y 对 x 的导数 y'：y'Fx'

18、; ( x, y) ，Fy' ( x, y)2、隐函数的偏导数对于由方程 F ( x, y, z)0所确定的隐函数zf ( x, y) ，可用下列公式求偏导数：zFx' (x, y, z)，zFy' (x, y, z)，xFz' (x, y, z)yFz' ( x, y, z)5、二元函数的极值设函数 zf ( x0 , y0 ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内有一阶和二阶连续偏导数，且f x' ( x0 , y0 )0 ，f y' ( x0 , y0 )0 又设 f xx'' (x0 , y0 )A ，f xy

19、'' (x0 , y0 )B ，f yy'' (x0 , y0 )C ，则：（1）当 B2AC0 时，函数 f ( x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处取得极值，且当A 0时有极大值，当 A0时有极小值。（2）当 B2AC0 时，函数 f ( x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处无极值。（3）当 B2AC0 时，函数f ( x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处是否有极值不能确定，要用其它方法另作讨论。.精品文档平面与直线1、平面方程（1）平面的点法式方程：在空间直角坐标系中，过点M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ，以 n A, B, C

20、 为法向量的平面方程为A( xx0 )B( yy0 )C (zz0 )0 称之为平面的点法式方程（2）平面的一般式方程AxByCzD0 称之为平面的一般式方程2、特殊的平面方程AxByCz0表示过原点的平面方程AxByD0表示平行于 Oz 轴的平面方程AxBy0表示过 Oz 轴的平面方程CzD0表示平行于坐标平面xOy 的平面方程3、两个平面间的关系设有平面1 : A1 xB1 y C1 z D102 : A2 x B2 y C 2 z D 20平面1 和2 互相垂直的充分必要条件是：A1 A2B1 B2C1C2 0平面1 和2 平行的充分必要条件是：A1B1C1D1A2B2C2D 2平面1

21、和2 重合的充分必要条件是：A1B1C1D1A2B2C2D24、直线的方程（1）直线的标准式方程过点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 且平行于向量 s m, n, p 的直线方程x x0yy0 zz0 称之为直线的标准式方程（又称点向式方程、对称式方程） 。mnp常称 s m, n, p 为所给直线的方向向量（2）直线的一般式方程.精品文档A1 x B1 yC1 z D10A2 x B2 yC2 z D2称之为直线的一般式方程05、两直线间关系设直线 l1 ， l 2 的方程为l1: x x1y y1z z1m1n1p1l1: x x2y y2z z2m2n2p2直线 l1 ， l

22、2 平行的充分必要条件为m1n1 ；m2n2直线 l1 ， l 2 互相垂直的充分必要条件为m1 m2n1n2p1 p206、直线 l 与平面间的关系设直线 l 与平面的方程为l : x x0y y0z z0mnp: A(x x0 ) B( y y0 ) C( z z0 ) 0直线 l 与平面垂直的充分必要条件为：ABCmnp直线 l 与平面平行的充分必要条件为：AmBnCp0Am0BnoCp0D0直线 l 落在平面上的充分必要条件为AmBnCp0Am0BnoCp0 D0将初等函数展开成幂级数1、定理 :设 f (x) 在 U ( x0 ,) 内具有任意阶导数, 且lim Rn (x)0， R

23、 (x)f (n 1) ( ) (x x) n 1则在 U ( x,) 内n00n( n 1)!f ( x)f (n ) ( x0 )( xx0 )nn 0n!.精品文档称上式为 f ( x) 在点 x0 的泰勒级数。或称上式为将f ( x) 展开为 xx0 的幂级数。2、几个常用的标准展开式1xn1xn 01(1) n x n1xn 0 exxnn 0n! sin x(1)nx 2n1n0(2n1)! cosx(1)nx2 n(2n)!n 0 ln(1x)(1) n xnn0n ln(1x)x nn 0n常微分方程1、一阶微分方程（1）可分离变量的微分方程若一阶微分方程F (x, y, y

24、)0 通过变形后可写成g ( y)dyf ( x)dx或yf ( x) g ( y)则称方程 F ( x, y, y )0 为可分离变量的微分方程.2、可分离变量微分方程的解方程 g( y)dyf (x) dx 必存在隐式通解G ( y)F ( x)C 。其中：G( y)g ( y)dy , F (x)f ( x) dx .即两边取积分。（2）一阶线性微分方程1、定义：方程yP(x) yQ ( x) 称为一阶线性微分方程.(1) 非齐次方程Q ( x)0 ；.精品文档(2) 齐次方程 y P(x) y 0 .2、求解一阶线性微分方程（1yP( x) yP (x )dx, 其中 C 为任意常数。

25、）先求齐次方程0 的通解： y Ce（2）将齐次通解的P( x )dxC 换成 u(x) 。即 y u( x)e（3）代入非齐次方程yP(x) yQ ( x) , 得P( x) dxq( x)eP ( x) dxy edx C2、二阶线性常系数微分方程（1）可降阶的二阶微分方程1、 yf ( x) 型的微分方程例 3： 求方程 y1 e2xsin x 的通解 .分析： yy dx1 e2 xcos x C1 ；24yy dx1 e2 xsin xC1 x C 2 .82、 yf (x, y ) 型的微分方程解法：(1) 令 py ，方程化为pf ( x, p) ；(2) 解此方程得通解p( x, C1 ) ；(3) 再解方程 y(x, C1 ) 得原方程的通解y( x,C1 )dxC 2 .3、 yf ( y, y ) 型的微分方程解法