机械工程控制基础课件第3章：时间响应分析

1、第三章第三章 时间响应分析时间响应分析3.1 时间响应及其组成时间响应及其组成3.2 典型输入信号典型输入信号3.3 一阶系统一阶系统3.4 二阶系统二阶系统3.5 高阶系统高阶系统3.6 系统误差分析与计算系统误差分析与计算3.7 函数在时间响应中的作用函数在时间响应中的作用3.8 利用利用MATLAB进行时域分析进行时域分析时域分析所要解决的问题：时域分析所要解决的问题： 用动力学的观点来分析、研究机械用动力学的观点来分析、研究机械系统随时间变化的运动规律系统随时间变化的运动规律选择典型输入选择典型输入系统模型系统模型（时间响应）（时间响应）考察输出考察输出分析系统的性能分析系统的性能（稳

2、、快、准）（稳、快、准）时域分析的目的时域分析的目的 在时间域，研究在一定的输入在时间域，研究在一定的输入信号作用下，系统输出随时间变化信号作用下，系统输出随时间变化的情况，以分析和研究系统的控制的情况，以分析和研究系统的控制性能。性能。优点：优点：直观、简便直观、简便 3.1 时间响应及其组成时间响应及其组成一、时间响应的概念一、时间响应的概念 系统在典型信号作用下，输出量系统在典型信号作用下，输出量随时间变化的规律，以曲线表示随时间变化的规律，以曲线表示txo(t)系统的动力学方程系统的动力学方程 0022)0(,)0(cos)()(yyyytFtkydttydm mky(t)Fcos t

3、二、时间响应的组成二、时间响应的组成1）当）当 Fcos t=0（零输入响应）（零输入响应）tytytynnn sincos)(001 mkn )cos(cos)()(222ttmFtynn 2）当）当y(0)=y(0)=0时的响应（零状态响应）时的响应（零状态响应）系统的输出：系统的输出：y(t)=y1(t)+y2(t)tmFtmFtytynnnnnn cos)(cos)(cossin222200 零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应自由响应自由响应强迫响应强迫响应(自由振动）自由振动）（强迫振动）（强迫振动）系统的动力学微分方程：系统的动力学微分方程：any(n)(t)+an-1y(n

4、-1)(t)+a1y(t)+a0y(t)=x(t) 当方程的特征方程的根各不相同时，由当方程的特征方程的根各不相同时，由Laplace变换的性质可得到：变换的性质可得到：自由响应自由响应强迫响应强迫响应零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应)()(1211tBeAeAtynitsinitsiii （n，si取决于系取决于系统的固有特性）统的固有特性）若线性定常系统微分方程的输入函数有导若线性定常系统微分方程的输入函数有导数项，即方程的形式为：数项，即方程的形式为： 对于一定常线性系统，如果输入函数等于对于一定常线性系统，如果输入函数等于某一函数的导函数，则该输入函数的响应某一函数的导函数，则

5、该输入函数的响应函数也等于这一函数的响应函数的导函数。函数也等于这一函数的响应函数的导函数。)()(.)()()()(.)()(0)1(1)1(1)(00)1(01)1(01)(0txbtxbtxbtxbtxatxatxatxaiimimmimnnnn 线性线性系统系统xi(t)y(t)dttdxi)(dttdy )(nindttxd)(nndttyd)(根据线性系统的叠加性质，可将上式转换为：根据线性系统的叠加性质，可将上式转换为：)()()(.)()(000)1(01)1(01)(0txbtxatxatxatxainnnn )()()(.)()(100)1(01)1(01)(0txbtxa

6、txatxatxainnnn .)()()(.)()()(00)1(01)1(01)(0txbtxatxatxatxamimnnnn )()(.)()()()(.)()(0)1(1)1(1)(00)1(01)1(01)(0txbtxbtxbtxbtxatxatxatxaiimimmimnnnn 若：若：)()()(.)()(000)1(01)1(01)(0txbtxatxatxatxainnnn 的解为的解为yo0(t)()()(.)()(100)1(01)1(01)(0txbtxatxatxatxainnnn 的解为：的解为：dttdybbtyoo)()(0011 则：则：全方程的解为：全方

7、程的解为：)(.)()(1)()(020220100mommooodttydbdttydbdttdybbtyty 同样可知，同样可知，系统对输入信号积分的响应等于系系统对输入信号积分的响应等于系统对该输入信号响应的积分，其积分常数由初统对该输入信号响应的积分，其积分常数由初始条件确定始条件确定。 这种输入输出间的积分微分性质对任何这种输入输出间的积分微分性质对任何线性定常系统均成立。线性定常系统均成立。线性线性系统系统xi(t)y(t) 0)(dtty ndtty 0)(. 0)(dttxi 0)(.dttxin时间响应的组成：时间响应的组成：1、按振动的来源分、按振动的来源分零输入响应零输入

8、响应和和零状态响应零状态响应 在定义系统的传递函数时，由于已指明在定义系统的传递函数时，由于已指明系统的初始状态为零，从而对系统的初始状态为零，从而对Y(s)=G(s)X(s) 进行进行Laplace逆变换得到的逆变换得到的y(t)=L-1Y(s)就是就是系统的零状态响应。系统的零状态响应。 控制工程研究的是零状态响应。控制工程研究的是零状态响应。因因此，除特别声明外，本书所讲的时间响应是此，除特别声明外，本书所讲的时间响应是指零状态响应。指零状态响应。2 、按振动的性质分、按振动的性质分 自由响应自由响应和和强迫响应强迫响应自由响应自由响应强迫响应强迫响应)()(1211tBeAeAtyni

9、tsinitsiii 若所有的若所有的Resi0（系统是稳定的）时（系统是稳定的）时 当当t时自由响应应趋于零。时自由响应应趋于零。系统稳定时的自由响应称为系统稳定时的自由响应称为瞬态响应瞬态响应；系统稳定时的强迫响应称为系统稳定时的强迫响应称为稳态响应稳态响应。2.2 典型输入信号典型输入信号一一 选择典型信号的原因选择典型信号的原因 实际的输入信号是复杂的、随机的，数实际的输入信号是复杂的、随机的，数学处理困难，分析不易学处理困难，分析不易对于同一系统对于同一系统)()()()()(202101sXsXsGsXsXii 典型输入典型输入任意输入任意输入只要知道系统对典型输入信号的响应，就只

10、要知道系统对典型输入信号的响应，就能求出系统对任何输入的响应能求出系统对任何输入的响应)()()()(1221txtxtxtxoioi 实际中经常使用下述两类输入信号：实际中经常使用下述两类输入信号：系系统正常工作时的输入信号和外加测试信号；统正常工作时的输入信号和外加测试信号； 输入信号即简单又不会因外加扰动而破输入信号即简单又不会因外加扰动而破坏系统的正常运行，然而，这不一定能保证坏系统的正常运行，然而，这不一定能保证有足够的能激励系统的信息，从而获得对系有足够的能激励系统的信息，从而获得对系统动态特性的全面了解；统动态特性的全面了解； 测试信号在实验条件下用得很成功，但测试信号在实验条件

11、下用得很成功，但在实际生产过程中对正常的生产运行干扰太在实际生产过程中对正常的生产运行干扰太大，往往不能使用。大，往往不能使用。二、二、对对典型输入信号的要求典型输入信号的要求1、能够使系统工作在最不利的情形下；、能够使系统工作在最不利的情形下；2、 形式简单，便于解析分析；形式简单，便于解析分析；3、实际中可以实现或近似实现。、实际中可以实现或近似实现。三、常用的典型信号三、常用的典型信号1、单位阶跃信号、单位阶跃信号u(t)u(t)=1 t 00 t L (t)=12 单位脉冲信号单位脉冲信号 (t)t xo(t) 1xi(t)=t t03、单位速度信号、单位速度信号 t21stL txo

12、(t)4504、单位正弦、余弦信号、单位正弦、余弦信号2222cossin sstLstLxo(t)ttxo(t)5 指数函数指数函数eataseLat 1典型输入信号的选择原则典型输入信号的选择原则 能反映系统在工作过程中的大部分实际能反映系统在工作过程中的大部分实际情况；情况； 如：若实际系统的输入具有突变性质，如：若实际系统的输入具有突变性质，则可选阶跃信号；若实际系统的输入随时间则可选阶跃信号；若实际系统的输入随时间逐渐变化，则可选速度信号。逐渐变化，则可选速度信号。 注意：注意：对于同一系统，无论采用哪对于同一系统，无论采用哪种输入信号，由时域分析法所表示的系种输入信号，由时域分析法

13、所表示的系统本身的性能不会改变统本身的性能不会改变。3.3 一一 阶阶 系系 统统1定义定义 可用一阶微分方程描述的系统称为一可用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统阶系统传递函数为：传递函数为：T-时间常数时间常数11)( TssGXo (s)=G(s)Xi(s)01)( tetxTtouL-1二二 单位阶跃响应单位阶跃响应sTs111 Tss111 10.6321TA0B2T3T 4T5Txo(t)tTtoetx/1)( 63.2%86.5%95%98.2%99.3%99.8%6T一阶系统单位阶跃响应的特点一阶系统单位阶跃响应的特点:1）响应分为两部分）响应分为两部分 瞬态响应瞬态响应：Tt

14、e 表示系统输出量从初态到终态的变化表示系统输出量从初态到终态的变化过程（动态过程（动态/过渡过程）过渡过程） 稳态响应稳态响应：1表示表示t时，系统的输出状态时，系统的输出状态01)( tetxTtou2）xo(0) = 0，随时间的推移，随时间的推移， xo(t) 指数增指数增大，且无振荡。大，且无振荡。 xo( ) = 1，无稳态误差，无稳态误差；10.6321TA0B斜率斜率=1/T2T3T4T5Txo(t)tTtoetx/1)( 63.2%86.5%95%98.2%99.3%99.8%6T3）xo(T) = 1 - e-1 = 0.632，即经过时间，即经过时间T，系，系统统 响应达

15、到其稳态输出值的响应达到其稳态输出值的63.2%，从而，从而可以通过实验测量惯性环节的时间常数可以通过实验测量惯性环节的时间常数T；10.6321TA0B斜率斜率=1/T2T3T4T5Txo(t)tTtoetx/1)( 63.2%86.5%95%98.2%99.3%99.8%6TTdttdxto1)(40 ）10.6321TA0B斜率斜率=1/T2T3T4T5Txo(t)tTtoetx/1)( 63.2%86.5%95%98.2%99.3%99.8%6T5）时间常数）时间常数T反映了系统响应的快慢。通常反映了系统响应的快慢。通常工程中当响应曲线达到并保持在稳态值的工程中当响应曲线达到并保持在稳

16、态值的95%98%时，认为系统响应过程基本结束。时，认为系统响应过程基本结束。从而惯性环节的过渡过程时间为从而惯性环节的过渡过程时间为3T4T。10.6321TA0B斜率斜率=1/T2T3T4T5Txo(t)tTtoetx/1)( 63.2%86.5%95%98.2%99.3%99.8%6T将一阶系统的单位阶跃响应式改写为：将一阶系统的单位阶跃响应式改写为： 该性质可用于判该性质可用于判别系统是否为惯别系统是否为惯性环节，以及测性环节，以及测量惯性环节的时量惯性环节的时间常数。间常数。)(1txeoTt )(1ln1txtTo 即即ln1-xo(t)与时间与时间t成线性关系。成线性关系。tln

17、1-ln1-xo(t) 0时间常数时间常数T1反映系统本身与外界无关的固有特性反映系统本身与外界无关的固有特性2反映系统的惯性反映系统的惯性txo(t)T1T2T1T2T系统惯性增大系统惯性增大3 反映系统响应速度的快慢反映系统响应速度的快慢响应速度愈慢响应速度愈慢T三三 一阶系统的单位脉冲响应一阶系统的单位脉冲响应w(t)W(s)=G(s)Xi(s) Xi(s)=L (t)=1 W(s)=G(s)w(t)=L-1G(s) 系统传递函数的系统传递函数的Laplace逆变换逆变换就是单位脉冲响应就是单位脉冲响应例例:解：由题意解：由题意Xi(s)=1，所以：，所以：单位脉冲信号输入时，系统的响应

18、为：单位脉冲信号输入时，系统的响应为：求系统的传递函数。求系统的传递函数。 toetx657)( 57)()()()()(6tooioeLtxLsXsXsXsG )6(422657 sssss由由Xo(s)=Xi(s)G(s)= =Xi(s)W(s)可得：可得： xo(t)=xi(t)*w(t) 任何输入信号的响应等于该输任何输入信号的响应等于该输入信号与单位脉冲响应的卷积。入信号与单位脉冲响应的卷积。注意到：注意到：)0(1)1()(1 teTdteddttdxxTtTtoo )0()1()(0 tTeTtetxtTtTtot tdtttdttdt0)( 1)( 1 )( 一阶系统的单位脉冲

19、响应一阶系统的单位脉冲响应xo(t)1/T0t0.368 1T斜率斜率xo(t)T21T0,1)( teTtxTto一阶系统单位脉冲响应的特点一阶系统单位脉冲响应的特点瞬态响应瞬态响应：(1/T )e t /T ；稳态响应稳态响应：0；随时间的推移随时间的推移，xo(t)指数衰减；指数衰减；0,1)( teTtxTtoxo(0)=1/Txo(t)1/T0t0.368 1T斜率斜率xo(t)T21T201)(Tdttdxto 对于实际系统，通常应用具有较小对于实际系统，通常应用具有较小脉冲宽度（脉冲宽度小于脉冲宽度（脉冲宽度小于0.1T）和有限）和有限幅值的脉冲代替理想脉冲信号。幅值的脉冲代替理

20、想脉冲信号。 一阶系统的单位速度响应一阶系统的单位速度响应0txo(t)xi(t)xi(t)=txo(t)=t-T+Te-t/Te( )=TT一阶系统单位速度响应的特点一阶系统单位速度响应的特点xo(t)=t-T+Te-t/T瞬态响应瞬态响应：T e t /T ；稳态响应稳态响应：t T；经过足够长的时间经过足够长的时间(稳态时，如稳态时，如t 4T)，输出增长速率近似输出增长速率近似与输入相同，此时与输入相同，此时输出为：输出为：t T，即，即输出相对于输入滞输出相对于输入滞后时间后时间T；0txo(t)xi(t)=te( )=TT系统响应误差为：系统响应误差为：TeeTtxtxteTtoi

21、 )()1()()()(解：解：1）单位阶跃输入时）单位阶跃输入时例：已知系统传递函数：例：已知系统传递函数：求系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应。求系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应。2) 1(12)( sssG11)1(11)1(12)()()(22 sssssssXsGsXio从而：从而： ttooetesXLtx 1)()(2）单位脉冲输入时，由于）单位脉冲输入时，由于)( 1 )(tdtdt 因此：因此：ttooteetxdtdtx 2)()(1 3.4 二二 阶阶 系系 统统一一 定义定义1:22, 1 nns特征根特征根系统的特征方程：系统的特征方程：s2+2ns+ n2=0固有频率

22、固有频率阻尼比阻尼比2222)(nnnssG 系统的传函可表示为如下形式的系统：系统的传函可表示为如下形式的系统：1）当）当0 1时时 具有两个不相等的负实数极点具有两个不相等的负实数极点ImRe 122, 1 nns122, 1 nnp过阻尼系统过阻尼系统5）当）当 0 负阻尼二阶系统负阻尼二阶系统 极点实部大于零，响应发散，系统不稳极点实部大于零，响应发散，系统不稳定定。二二 单位阶跃响应单位阶跃响应ssXi1)( )2()()()(222nnniossssXsGsX )2()(222nnnssssG 传递函数为：传递函数为：1 ） 0 1）状态）状态特点特点单调上升，无振荡，单调上升，无

23、振荡，过渡过程比临界阻尼过渡过程比临界阻尼状态时间长状态时间长xo ( ) = 1，无稳态误，无稳态误差。差。0)11(21)11(211)()1(22)1(2222 teetxttonn， 01xo(t)1t =1 14）无阻尼（）无阻尼（ =0）状态）状态特点特点 频率为频率为 n的的等幅振荡。等幅振荡。 系统处于临系统处于临界稳定状态。界稳定状态。0,cos1)( tttxno 210txo(t)5）负阻尼（）负阻尼（ 0）状态）状态-1 0：输出表达式与欠阻尼状态相同。：输出表达式与欠阻尼状态相同。 -1：输出表达式与过阻尼状态相同。：输出表达式与过阻尼状态相同。0txo(t)-1 0

24、特点：振荡发散特点：振荡发散 t0 xo(t) -1特点：单调发散特点：单调发散 小结：小结：1二阶系统的时间响应的形态与二阶系统的时间响应的形态与 有关有关5101500.20.40.60.811.21.41.61.82xo(t)0 1t2、从系统的平稳性看、从系统的平稳性看 越大，系统振荡越不强烈，平稳性越好越大，系统振荡越不强烈，平稳性越好5101500.20.40.60.811.21.41.61.82tpxo(t) =0.2 =0.4 =0.6 =0.8t n的变化不影响振荡的幅值的变化不影响振荡的幅值 n增大，增大，振荡次数越多，系统的平稳性变差振荡次数越多，系统的平稳性变差5101

25、500.20.40.60.811.21.41.61.82xo(t) n1 =1 n2 =2 n3 =0.5t3、 从系统的快速性看从系统的快速性看 越小，系统的快速性越好越小，系统的快速性越好5101500.20.40.60.811.21.41.61.82tpxo(t) =0.2 =0.4 =0.6 =0.8t n增大，系统的快速性增大增大，系统的快速性增大5101500.20.40.60.811.21.41.61.82tpxo(t) =0.2 =0.4 =0.6 =0.8t若传递函数为：若传递函数为：系统的输出为：系统的输出为：)2()(222nnnsssKsG 0),sin(11 )(2

26、tteKtxdton 1） K值的变化不影响系统的快速性和平稳性值的变化不影响系统的快速性和平稳性t5101500.20.40.60.811.21.41.61.82tpxo(t)K=1K=0.62） K值的变化只影响系统的稳态输出，系统值的变化只影响系统的稳态输出，系统 稳态误差始终为稳态误差始终为03） xi()=Kxo()4、当、当 =0.40.8之间时，其过渡时间小，振之间时，其过渡时间小，振 荡不严重荡不严重 工程中除了一些不允许产生振荡的应工程中除了一些不允许产生振荡的应用，如指示和记录仪表系统等，通常采用欠用，如指示和记录仪表系统等，通常采用欠阻尼系统，且阻尼比通常选择在阻尼系统，

27、且阻尼比通常选择在0.40.8之间，之间，以保证系统的快速性同时又不至于产生过大以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡。的振荡。三、二阶系统性能指标三、二阶系统性能指标 控制系统的时域性能指标是评价系统动控制系统的时域性能指标是评价系统动态品质的定量指标，是定量分析的基础。态品质的定量指标，是定量分析的基础。 系统的时域性能指标通常通过系统的单系统的时域性能指标通常通过系统的单位阶跃响应进行定义。位阶跃响应进行定义。 常见的性能指标有：常见的性能指标有：上升时间上升时间tr、峰峰值时间值时间tp、调整时间调整时间ts、最大超调量最大超调量Mp、振荡次数振荡次数N。 控制系统的时域性能指标

28、控制系统的时域性能指标10tMp允许误差允许误差=0.05或或0.02trtpts0.10.9xo(t)1、上升时间、上升时间 tr 第一次达到稳定值所需要的时间第一次达到稳定值所需要的时间)1arctan1sin(11)(2320 tetxntn=1tx0(t)1tr由此可看出：由此可看出： 当当 一定时，一定时， n增大，增大，tr就减小；就减小； 当当 n一定时，一定时， 增大，增大，tr就增大就增大2211arctan nrt2、峰值时间、峰值时间 tp 响应曲线从零上升到响应曲线从零上升到第一个峰值第一个峰值所需时间所需时间tptx0(t)121 ndpt0|)(0 pttdttdx

29、ddt 2 系系统统的的振振荡荡周周期期2dptt 由此可看出由此可看出： 当当 一定时，一定时， n增大，增大，tp就减小；就减小； 当当 n一定时，一定时， 增大，增大，tP就增大就增大21 npt3、最大超调、最大超调量量MP% 响应曲线的最大峰值与稳态值之差。通响应曲线的最大峰值与稳态值之差。通常用百分数表示常用百分数表示%100)()()( oopopxxtxM%10021 e超调量超调量Mp只与阻尼比只与阻尼比 有关，与无阻尼固有有关，与无阻尼固有频率频率 n无关。无关。4、调整时间、调整时间 ts 响应曲线到达并保持在允许误差范围响应曲线到达并保持在允许误差范围（稳态值的（稳态值

30、的 2%或或 5%）内所需的时间）内所需的时间。 -系统允许误差系统允许误差|x0(ts)-x0()| x0()tx0(t)12 ts 这表明了，在这表明了，在t=ts之后，系统的输出之后，系统的输出不会超过下述允许范围：不会超过下述允许范围： x0(t) x0()| x0()即：即：x0(t)1 1)sin(112 tedtntx0(t)1包络线包络线21 tnets2 当包络线进入允许误差范围之内时，当包络线进入允许误差范围之内时，阶跃响应曲线必然也处于允许误差范围内。阶跃响应曲线必然也处于允许误差范围内。因此利用：因此利用： 1112 tnenst 21lnln: 由此可求出由此可求出n

31、43 =5% 时取时取3， =2%时取时取45、振荡次数、振荡次数 N 在调整时间在调整时间ts内系统响应曲线的振荡次内系统响应曲线的振荡次数。数。 实测时，可按响应曲线穿越稳态值次数实测时，可按响应曲线穿越稳态值次数的一半计数。的一半计数。2122 nddt 02. 0,1205. 0,15 . 1:22 dsttN则则 N 仅与仅与 有关。与有关。与Mp 一样直接说明了系一样直接说明了系统的阻尼特性。统的阻尼特性。 越大，越大，N越小，系统平稳性越小，系统平稳性越好。越好。小结：小结：1 反映系统快速性的指标是：反映系统快速性的指标是：tr，tp，ts 反映系统平稳性的指标是反映系统平稳性

32、的指标是：MP%，N2 n时，时，tr(tP ,ts) 时，时，MP%(N) -MP的大小反映系统的阻尼特性的大小反映系统的阻尼特性3 tr , MP 两项指标间存在矛盾两项指标间存在矛盾 和和试试确确定定该该系系统统的的例例如如：二二阶阶系系统统的的传传函函nkcsmsksG,2)(2 mksmcsmkkcsmsksG 2)(22222222nnnssmksmkmkcsmk 当当m一定时，一定时， k MP 系统平稳性变差系统平稳性变差 k ntr 系统快速性变好系统快速性变好mkn mkc2 系统的传函系统的传函14 . 0110)(2 sssSG14 . 01) 110(2 sss222

33、2)(nnnsssG 由由得得 4 . 0212nn 2 .01 n例例 试求图示系统的试求图示系统的 n 和和 10_Xi(s)X0(s)1010s+39.710s+1例例2 ：已知在一机械系统上施加：已知在一机械系统上施加8.9N的阶的阶跃力后，系统的输出响应如图所示。试求跃力后，系统的输出响应如图所示。试求系统的各项参数系统的各项参数。mf(t)KCxo(t)a)00.030.00292t /s13xo(t)/mtpb)解：根据牛顿第二定律：解：根据牛顿第二定律：系统的传递函数为：系统的传递函数为：22)()()()(dttxdMdttdxCtKxtfooo 2222211)()()(n

34、nnossKKCsMssFsXsG KMCMKn2, 其中，其中，根据根据Hooke定律：定律： xi()=kxo()/(29703. 09 . 8)()(0mNxxki 又由图知：又由图知：解得：解得： = 0.600.030.00292t /s13xo(t)/mtp%7 . 9%10003. 00029. 0%10021 eMp代入代入 ，可得，可得 n=1.96rad/s21:2 npt又又由由00.030.00292t /s13xo(t)/mtpKMCMKn2,: 根据根据解得解得 M = 77.3Kg，C = 181.8Nm/s 3.5 高阶系统的时间响应分析高阶系统的时间响应分析一

35、、高阶系统的单位阶跃响应的特点一、高阶系统的单位阶跃响应的特点 高阶系统的单位阶跃响应由一阶和二高阶系统的单位阶跃响应由一阶和二阶系统的响应函数叠加而成。阶系统的响应函数叠加而成。 如果所有闭环极点都在如果所有闭环极点都在 s 平面的左半平面的左半平面内，即所有闭环极点都具有负实部平面内，即所有闭环极点都具有负实部( pj 、 k k大于零大于零)，则随着时间，则随着时间t，xo( )=a。 即系统是稳定的。即系统是稳定的。 二、系统零极点分布对时域响应的影响二、系统零极点分布对时域响应的影响 极点距虚轴的距离决定了其所对应的暂极点距虚轴的距离决定了其所对应的暂态分量衰减的快慢，距离越远衰减越

36、快；态分量衰减的快慢，距离越远衰减越快；-5np50 j -n-8n-10np1p2p3p4z10txo (t)p1 、p2p3p4 、p5 系统零点影响各极点处的留数的大小系统零点影响各极点处的留数的大小（即各个瞬态分量的相对强度），如果在某（即各个瞬态分量的相对强度），如果在某一一 极点附近存在零点，则其对应的瞬态分极点附近存在零点，则其对应的瞬态分量量 的强度将变小，所以一对靠得很近的零的强度将变小，所以一对靠得很近的零点和极点其瞬态响应分量可以忽略。这对零点和极点其瞬态响应分量可以忽略。这对零 极点称为极点称为偶极子偶极子。 通常如果闭环零点和极点的距离比其模通常如果闭环零点和极点的距

37、离比其模值小一个数量级，则该极点和零点构成一对值小一个数量级，则该极点和零点构成一对偶极子，可以对消。偶极子，可以对消。主导极点主导极点 距虚轴最近、实部的绝对值为距虚轴最近、实部的绝对值为其它极点实部绝对值的其它极点实部绝对值的1/5或更小，或更小，且其附近没有零点的闭环极点。且其附近没有零点的闭环极点。 对高阶系统的瞬态响应起主导作对高阶系统的瞬态响应起主导作用。用。高阶系统求时间响应的方法高阶系统求时间响应的方法： 采用长除法将高阶系统降阶成二阶采用长除法将高阶系统降阶成二阶以下系统进行分析，并确定系统是以下系统进行分析，并确定系统是否存在有主导极点。否存在有主导极点。例题例题：解：采用

38、长除法求出系统闭环传递函数的零极解：采用长除法求出系统闭环传递函数的零极点形式为：点形式为：已知系统的闭环传递函数为：已知系统的闭环传递函数为：65234651024. 6104 . 480001001025. 61012. 3)( ssssss求系统近似单位阶跃响应。求系统近似单位阶跃响应。)4 .7110)(4 .7110)(60)(20()03.20(1012. 3)(5jsjsssss 极点：极点：p1= -20,p2= -60 p3,4= -10j71.4零点：零点：z1= -20.03 由系统零极点分布图可见，零点由系统零极点分布图可见，零点z1-20.03和极点和极点p1-20

39、构成一对偶极子，可以消去，共构成一对偶极子，可以消去，共轭复数极点轭复数极点p3,4-10j71.4与极点与极点p2-60相距相距很远很远，p3,4 为系统的主导极点，为系统的主导极点， p2对响应的影对响应的影响可以忽略。响可以忽略。-10-20-20.03-6071.4-71.40j p2p3p4z1p1 n=72.11rad/s， =0.139系统的近似单位阶跃响应为：系统的近似单位阶跃响应为：3235102 . 520102 . 5)4 .7110)(4 .7110(601012. 3 ssjsjs0),43. 14 .71sin(01. 11)(10 ttetxto)4 .7110)

40、(4 .7110)(60)(20()03.20(1012. 3)(5jsjsssss txo (t)0-10j71.4-60-20瞬态输出分量瞬态输出分量txo (t)0原系统原系统等效二阶系统等效二阶系统单位阶跃响应单位阶跃响应3.6 系统误差分析与计算系统误差分析与计算系统输出系统输出瞬态分量瞬态分量(自由响应自由响应)稳态分量稳态分量(强迫响应强迫响应)瞬态误差瞬态误差稳态误差稳态误差当系统稳定时，稳态误差为误差的主要部分当系统稳定时，稳态误差为误差的主要部分1、定义、定义误差：误差：e(t)=x0r(t)-x0(t)实际输出实际输出希望输出希望输出偏差：偏差： (s)=Xi(s)-X0

41、(s)H(s)E(s)=X0r(s)-X0(s)一一 系统的误差系统的误差e(t)与偏差与偏差(t)H(s) Xi(s)Xo(s)B(s) (s)G(s)2、偏差与误差的关系、偏差与误差的关系当当 (s)=0时，时，Xor(s)=X0(s)当当 (s) 0时，时，Xor(s) X0(s) (s)=Xi(s)-Xo(s)H(s) =Xi(s)-Xor(s)H(s)=0)()(1)(sXsHsXior E(s)= X0r(s)-X0(s)当为单位反馈系统当为单位反馈系统：E(s)= (s)()()(10sXsXsHi )()()()(10sHsXsXsHi )()(1ssH 3、稳态误差、稳态误差

42、 系统的期望输出与实际输出在稳定状系统的期望输出与实际输出在稳定状态态（t）下的差值，即误差信号）下的差值，即误差信号e(t) 的的稳态分量稳态分量：)(limteetss 当当sE(s)的极点均位于的极点均位于s平面左半平面（包括坐平面左半平面（包括坐标原点）时标原点）时，根据拉氏变换的终值定理，有：，根据拉氏变换的终值定理，有：)(lim)(lim0ssEteestss 二二 误差的一般计算公式误差的一般计算公式1. 求偏差求偏差G(S)H(S)Xi(s)XO(s)+_(s)G(S)H(S)Xi(s)+_(s)()(11)()()(sHsGsXssGi 系统的稳态偏差为：系统的稳态偏差为：

43、单位反馈系统单位反馈系统：)()()(11lim)(lim)(lim00sXsHsGssstisstss )()(11lim0sXsGseiKsss 例题：已知单位反馈系统的开环传递函数为：例题：已知单位反馈系统的开环传递函数为： G(s)=1/Ts求其在单位阶跃输入、单位速度输入、单位加求其在单位阶跃输入、单位速度输入、单位加速度输入以及正弦信号速度输入以及正弦信号sin t输入下的稳态误差。输入下的稳态误差。解：该单位反馈系统在输入作用下的误差解：该单位反馈系统在输入作用下的误差传递函数为：传递函数为：1)(11)( TsTssGsGB在单位阶跃输入下的稳态误差为：在单位阶跃输入下的稳态误

44、差为：在单位速度输入下的稳态误差为在单位速度输入下的稳态误差为：011lim)()(11lim00 sTsTsssXsGsesisssTsTsTsssXsGsesisss 20011lim)()(11lim在单位加速度输入下的稳态误差为：在单位加速度输入下的稳态误差为： 30011lim)()(11limsTsTsssXsGsesissssin t输入时：输入时： 由于上式在虚轴上有一对共轭极点，由于上式在虚轴上有一对共轭极点，不能利用拉氏变换的终值定理求稳态误差。不能利用拉氏变换的终值定理求稳态误差。 对上式拉氏变换后得：对上式拉氏变换后得：)(1()()(11)(22 sTsssXsGsE

45、itTTtTTeTTteTt sin1cos11)(22222222 稳态输出为：稳态输出为： 而如果采用拉氏变换的终值定理求解，而如果采用拉氏变换的终值定理求解，将得到错误得结论：将得到错误得结论：tTTtTTtess sin1cos1)(222222 01lim220 sTsTssesss 此例表明，输入信号不同，系统的稳态误此例表明，输入信号不同，系统的稳态误差也不相同。差也不相同。三、与输入有关的稳态偏差三、与输入有关的稳态偏差1、稳态偏差系数表达式、稳态偏差系数表达式 阐明稳态误差与系统结构参数、输阐明稳态误差与系统结构参数、输入信号之间的关系入信号之间的关系 系统开环传函系统开环传

46、函).1)(1().1)(1()(2121 sTsTsssKsGK （1） 系统类型系统类型 以开环传递函数的积分环节的以开环传递函数的积分环节的个数划分系统类型个数划分系统类型 型系统型系统型系统型系统型系统型系统III2100 （2）稳态偏差系数）稳态偏差系数1）单位阶跃输入）单位阶跃输入)0(111)(11lim0KKsssGssGs PK 11KP=GK(0)-稳态位置偏差系数稳态位置偏差系数0型系统：型系统：).1)(1().1)(1(lim21210 sTsTssKKsp ).1)(1().1)(1(lim21210 sTsTsssKKsp ).1)(1().1)(1(lim212

47、210 sTsTsssKKsp I型系统：型系统：II型系统：型系统：Kss 11 ss=0 ss=0=K=201)(11limssGsKsss )(lim0ssGKKSv -稳态速度偏差系数稳态速度偏差系数)(1lim0ssGsks )(lim10ssGks vK1 2） 单位速度输入单位速度输入0型系统：型系统：).1)(1().1)(1(lim21210 sTsTssKsKsv ).1)(1().1)(1(lim21210 sTsTsssKsKsv ).1)(1().1)(1(lim212210 sTsTsssKsKsv I型系统：型系统：II型系统：型系统： ss=0=KKss1 =

48、ss=03）单位加速度输入）单位加速度输入asisssKsHsGsssXsHsGs1)()(1lim)()()(11lim2200 )(lim20sGsKKS -稳态加速度偏差系数稳态加速度偏差系数0型系统：型系统：).1)(1().1)(1(lim212120 sTsTssKsKs ).1)(1().1)(1(lim212120 sTsTsssKsKs ).1)(1().1)(1(lim2122120 sTsTsssKsKs I型系统：型系统：II型系统：型系统：=0 ss=0 ss=Kss1 =K2 系统类型、输入、偏差之间关系系统类型、输入、偏差之间关系单位加速度单位加速度单位速度单位速

49、度单位阶跃单位阶跃输入信号输入信号00II型系统型系统 0I型系统型系统 0型系统型系统系统类型系统类型11 KK1K1K-系统的开环增益系统的开环增益结论结论1）不同类型的输入信号作用于同一控制系统，）不同类型的输入信号作用于同一控制系统，其稳态误差不同；相同的输入信号作用于不其稳态误差不同；相同的输入信号作用于不同类型的控制系统，其稳态误差也不同。同类型的控制系统，其稳态误差也不同。单位加速度单位加速度单位速度单位速度单位阶跃单位阶跃输入信号输入信号00II型系统型系统 0I型系统型系统 0型系统型系统系统类型系统类型11 KK1K12）增加系统的型别，可提高系统的准确性）增加系统的型别，

50、可提高系统的准确性3）系统的稳态误差与其开环增益有关，开）系统的稳态误差与其开环增益有关，开环增益越大，稳态误差越小。环增益越大，稳态误差越小。单位加速度单位加速度单位速度单位速度单位阶跃单位阶跃输入信号输入信号00II型系统型系统 0I型系统型系统 0型系统型系统系统类型系统类型11 KK1K1令令 为输入信号拉氏变换后为输入信号拉氏变换后s的阶次：的阶次：当当 v时，无稳态偏差（误差）；时，无稳态偏差（误差）； -v=1时，偏差（误差）为常数；时，偏差（误差）为常数； -v=2时，偏差（误差）为无穷大；时，偏差（误差）为无穷大； 尽管将阶跃输入、速度输入及加尽管将阶跃输入、速度输入及加速度

51、输入下系统的误差分别称之为位速度输入下系统的误差分别称之为位置误差、速度误差和加速度误差，但置误差、速度误差和加速度误差，但对速度误差、加速度误差而言并不是对速度误差、加速度误差而言并不是指输出与输入的速度、加速度不同，指输出与输入的速度、加速度不同，而是指输出与输入之间存在一确定的而是指输出与输入之间存在一确定的稳态位置偏差。稳态位置偏差。 Kss1xi(t)xo(t)t0 xi(t) xo(t)0型系统的单位阶跃响应型系统的单位阶跃响应Kss1xi(t)xo(t)t0 xi(t) xo(t)I型系统的单位速度响应型系统的单位速度响应Kss1xi(t)xo(t)t0 xi(t) xo(t)I

52、I型系统的单位加速度响应型系统的单位加速度响应 如果输入量非单位量时，其稳态偏差如果输入量非单位量时，其稳态偏差（误差）按比例增加。（误差）按比例增加。 系统在多个信号共同作用下总的稳态偏系统在多个信号共同作用下总的稳态偏差（误差）等于多个信号单独作用下的稳态差（误差）等于多个信号单独作用下的稳态偏差（误差）之和。偏差（误差）之和。221)(:CtBtAtxi 如如avpssKCKBKA 1: 总总的的偏偏差差函函数数为为 稳态误差系数只对相应的阶跃、稳态误差系数只对相应的阶跃、速度及加速度输入有意义。速度及加速度输入有意义。1. 利用误差公式求利用误差公式求203)5)(1(411limss

53、ssss 2034)5)(1()5)(1(limsssssssss =3.75例：单位反馈系统的开环传函例：单位反馈系统的开环传函求当输入信号为求当输入信号为xi(t)=3t时系统的稳态误差时系统的稳态误差)5)(1(4)( ssssG)()(11lim0sXsGseiKsss 2. 利用稳态偏差系数求利用稳态偏差系数求I型系统的稳态速度偏差系数型系统的稳态速度偏差系数Kv=K=0.88 .054 K开开环环增增益益75. 33 vssKe稳稳态态误误差差)12 . 0)(1(5/4)( ssssG解：解：由开环传递函数可知：系统为由开环传递函数可知：系统为I型系统型系统,K=0.5ess=

54、ao0+a1 0.5 +a3 =例：单位反馈系统的开环传函例：单位反馈系统的开环传函当输入信号为当输入信号为xi(t)=a0+a1t+a3t2/2时系统的稳时系统的稳态误差态误差)2)(1(4)( ssssGK注意：注意： 对于单位反馈系统，稳态偏差等于稳态对于单位反馈系统，稳态偏差等于稳态误差。误差。 对于非单位反馈系统，必须按下式计算对于非单位反馈系统，必须按下式计算稳态误差稳态误差)()(11)(1lim0sXsGsHseiKsss 五、与扰动有关的稳态偏差五、与扰动有关的稳态偏差 系统在扰动作用下的稳态偏差反映了系统在扰动作用下的稳态偏差反映了系统的抗干扰能力。系统的抗干扰能力。G1(

55、s)H(s) Xi(s)Xo(s)B(s) (s)G2(s) N(s)+-1H(s) (s)G2(s)N(s)+G1(s)+扰动偏差传递函数为：扰动偏差传递函数为：所以，扰动引起的稳态偏差：所以，扰动引起的稳态偏差：)()()(1)()()()()(212sHsGsGsHsGsNssnn )()()(sNssnn 即：即：)()()()(1)()(lim)(lim21200sNsHsGsGsHsGssssnsssn 当当s0时，时，G10(s)和和G20(s)均趋于均趋于1则干扰引起的稳态偏差为：则干扰引起的稳态偏差为：)()()()(2022101121sGsKsGsGsKsGvv ，令：令

56、：1)(1)( sHssN，设：设：1)()(1)(lim2112010212020sssGsGKKssGKsvvsssn （1）当）当G1(s)及及G2(s)都不含积分环节，即都不含积分环节，即 v1=v2=0，有：，有：可见：可见：增大放大系数增大放大系数K1，则偏差减小；，则偏差减小；增大增大K2，则偏差更大；，则偏差更大；当当K1比较大时，干扰引起的稳态偏差可写成：比较大时，干扰引起的稳态偏差可写成：212010212020111)()(1)(limKKssGsGKKsGKsssn 11Kssn （2）当）当G1(s)中有一积分环节，中有一积分环节，G2(s)不含积不含积 分环节，即分

57、环节，即v1=1，v2=0，有：，有：（3）当）当G2(s)中有一积分环节，中有一积分环节，G1(s)不含积不含积 分环节，即分环节，即v1=0，v2=1，有：，有：01)()(11)(lim22010212020 KssGsGsKKsGKssssn 1201021202011)()(11/ )(limKssGsGsKKssGKssssn 综上所述，为了提高系统的准确度，综上所述，为了提高系统的准确度，增加系统的抗干扰能力，必须增大干扰作增加系统的抗干扰能力，必须增大干扰作用点之前的回路的放大倍数用点之前的回路的放大倍数K1，以及增加，以及增加这段回路中积分环节的数目。这段回路中积分环节的数目

58、。 而增加干扰作用点之后到输出量之间的而增加干扰作用点之后到输出量之间的这段回路的放大系数这段回路的放大系数K2，或增加这段回路，或增加这段回路 中积分环节的数目，对减少干扰引起的误中积分环节的数目，对减少干扰引起的误差是没有好处的。差是没有好处的。例题：系统结构图如下，其中例题：系统结构图如下，其中K1、K2 、K3、 K4、 T为常数，试求当输入为常数，试求当输入xi(t)=1+t以及扰以及扰动作用下，使系统稳态误差为零的动作用下，使系统稳态误差为零的K4值和值和G0(s)。sK213TsK K1 G0(s)Xi(s)Xo(s)+_ +_K4N(s)解：解：n(t)=0时时32123214

59、3)(KKKsTsKKKsKKsi 系统闭环传递函数：系统闭环传递函数：sK213TsKK1 Xi(s)Xo(s)_ +K4E(s) )()1()()(1)()()(3212432sXKKKsTssKKTssXssXsXsEiiioii 2321243211)1(ssKKKsTssKKTssKKKsTsKKTsKKKsTsKKTs1)1()1(321243321243 01)(lim321430 KKKKKssEesssi341KK 只有扰动作用时只有扰动作用时(xi(t)=0)sKK2113TsK + G0(s)N(s)Xon(s)_3212021321)(1)()()(KKKsTssGsK

60、KKKKsNsXsonn 0)()()( sNssXnonsKKsG2101)( 3.7 函数在时间响应中的作用函数在时间响应中的作用3.8利用MATLAB进行时域分析 利用利用MATLAB可以方便地进行控制可以方便地进行控制系统的时域分析系统的时域分析,所以要求熟练掌握利用所以要求熟练掌握利用 MATLAB进行时域特性分析的方法进行时域特性分析的方法 。 利用利用MATLAB可以很容易的得到系可以很容易的得到系统的各种时域响应曲线，可以进行系统统的各种时域响应曲线，可以进行系统的时域分析和获得系统各项性能指标。的时域分析和获得系统各项性能指标。一一 、 系统的模型表示系统的模型表示 系统的三