北航07-08高数第2学期期中试卷及参考答案

1、高等数学一填空一填空 (每空一分每空一分,共共12分分)222200ln(1)lim0 xyxyxyxy 1. 极限极限 222222221()sin0( , ), 00 xyxyf x yxyxy ( , )( , )0 000 00 xxyff，2. 则则01xuyvyuxv3. 方程组方程组确定的隐函数的偏导数确定的隐函数的偏导数._, xvxu高等数学zxy 221xy 5. 在区域在区域：上的最大值是上的最大值是_.221( ),txf tedx 10( )tft dt 6. 设设 定积分定积分的值是的值是2222222( )(),xyztF tf xyz dv( )f u( )()

2、224F tt f t7. 已知已知 其中其中为可微函数为可微函数,则则22222(),xyzxy ： 8. 则则的体积为的体积为_._.222xyzx 4. 曲面曲面的垂直于平面的垂直于平面的切平面为的切平面为_.22 zyx2 zyx和和高等数学12( ) () ( , )Lf x y ds2122( ( )cos , ( )sin )( ) ( ) fd 9. 若曲线以极坐标若曲线以极坐标表示表示，给出计算给出计算的公式的公式23222(2-cos )(1-2 sin3)4Lxyyx dxyxx ydy 10. 22xy (,1)2 其中其中L为抛物线为抛物线上由点上由点(0,0)到到的

3、一段弧的一段弧.高等数学二单项选择二单项选择 ( (每题每题2 2分分, ,共共1010分分) ) ( , )zf x y 22, zzx yy x A1.1.函数函数的两个二阶混合偏导数的两个二阶混合偏导数在区域在区域D内连续是这两个二阶混合偏导数在内连续是这两个二阶混合偏导数在D内相等的内相等的 条件条件.(A) 充分充分 (B) 必要必要 (C) 充要充要 (D) 既非充分又非必要既非充分又非必要高等数学),(yxf00(,)xy00(, )xfxy00(, )xfxyB00000(, )-(, )limxf xx yf xyx 00000(, )-(, )limxf xx yf xyx

4、 00000(, )- (, )lim2xf xx yf xx yx 000(, )(),xfxyg x 0( )( , )dg xf x ydx 2.设函数设函数在点在点处的一阶偏导数处的一阶偏导数 存在，存在，下列选项中与下列选项中与不相等的是不相等的是(A) (B) (C) (D) 其中其中高等数学( , )1200ydyf y x dx( ,)2100 xdyf x y dx( , )2102ydyf x y dx( , )2102xdxf y x dy (A) (B) (C) (D) B._),(. 31020 xdyyxfdx高等数学( , ),( , ) P x yQ x yDA

5、()LDPQdxdyQdxPdyxy()LDQPdxdyQdxPdyxy()LDPQdxdyPdxQdyxy()LDPQdxdyPdxQdyyx4.设闭区域设闭区域D由分段光滑的曲线由分段光滑的曲线L围成围成, 函数函数在在D上具有一阶连续偏导数，则上具有一阶连续偏导数，则 (A) （B） （C） （D）高等数学( , )x yA( , )( , )DDxx y dxx y d 2( , )( , )DDxx y dxx y d ( , )Dxxx y d 2( , )Dxxx y d 5. 设有一平面薄片，占有设有一平面薄片，占有xOy面上的闭区域面上的闭区域D,在点在点(x,y)处的面密度

6、为处的面密度为(x,y),假定假定(x,y)在在D上连续上连续.若平面薄片若平面薄片的重心坐标为的重心坐标为 , ,则则（A） （B）（C） （D）高等数学 高等数学第二学期期中考试解答（高等数学第二学期期中考试解答（2008.4.19）一填空一填空 (每空一分每空一分,共共12分分)222200ln(1)lim0 xyxyxyxy 1. 极限极限 222222221()sin0( , ), 00 xyxyf x yxyxy ( , )( , )0 000 00 xxyff，2. 则则. 01sinlim)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(22200 yxxxxfxffxxx解解222

7、12222221cos)(1sin2),(0yxyxxyxxyxfyxx 时时，当当. 000lim)0 , 0(), 0(lim)0 , 0(00 yyfyffyxxyxy高等数学01xuyvyuxv2222 , uvyuxvuyvxxxyxxy3. 方程组方程组确定的隐函数的偏导数确定的隐函数的偏导数222xyzx 122xy4. 曲面曲面的垂直于平面的垂直于平面的切平面为的切平面为22 zyx2 zyx和和zxy 221xy 125. 在区域在区域：上的最大值是上的最大值是高等数学221( ),txf tedx 10( )tft dt 6. 设设 定积分定积分的值是的值是)1(411 e

8、)1(4141)(21)(2121)()(11101031021021021044 eedtettfdttfttdtfdttfttt解解 Dxtxtxdtdxe tdxetdtdxetdtdttft2222210110110)(2解解2tx )1(412111010022 edxxetdtdxexxx高等数学2222222( )(),xyztF tf xyz dv( )f u( )()224F tt f t7. 已知已知 其中其中为可微函数为可微函数,则则 tttrrrfrrrfrrrfdvzyxftFttzyx02202200220202222222d)(4d)(dsin2dsin)(dd)

9、()(),0(: 则则记记解解).(4d)(4)(22022tftrrrfdtdtFt 高等数学22222(),xyzxy ： 568. 则则的体积为的体积为12( ) () ( , )Lf x y ds2122( ( )cos , ( )sin )( ) ( ) fd 9. 若曲线以极坐标若曲线以极坐标表示表示，给出计算给出计算的公式的公式.)()()sin)(,cos)()()()sin)(,cos)(),(sin)(,cos)(2121 dfdyxfdsyxfyxL解解高等数学23222(2-cos )(1-2 sin3)4Lxyyx dxyxx ydy 22xy (,1)2 10. 其

10、中其中L为抛物线为抛物线上由点上由点(0,0)到到的一段弧的一段弧.0,3sin21,cos22223 yPxQyxxyQxyxyP解解.44)432sin21(0.2210221202020012020200 LLQdyPdxdyyyQdyPdxQdyPdxQdyPdxQdyPdxQdyPdx），（），（），（），（），（），（），（），（，而而于于是是高等数学二单项选择二单项选择 ( (每题每题2 2分分, ,共共1010分分) ) ( , )zf x y 22, zzx yy x A1.1.函数函数的两个二阶混合偏导数的两个二阶混合偏导数在区域在区域D内连续是这两个二阶混合偏导数在内连续

11、是这两个二阶混合偏导数在D内相等的内相等的 条件条件.(A) 充分充分 (B) 必要必要 (C) 充要充要 (D) 既非充分又非必要既非充分又非必要定理定理 如果函数如果函数),(yxfz 的两个二阶混合偏导数的两个二阶混合偏导数xyz 2及及yxz 2在区域在区域 D D 内连续，那末在该区域内这内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等两个二阶混合偏导数必相等高等数学解解).0 , 0(),0 , 0(,0, 00,),(22222222yxxyffyxyxyxyxxyyxf 求求设设xfxffyfyffyyxyxxxyxy)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(,)0 , 0(

12、), 0(lim)0 , 0(00 例例, 0)0 , 0(), 0(lim)0 , 0(, 0)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(,lim)0 ,(),(lim)0 ,(,lim), 0(),(lim), 0(00222200222200 yfyffxfxffxyyxyxxyyxfyxfxfyxyxyxxyxyfyxfyfyyxxyyyxxx而而. 10lim)0 , 0(, 10lim)0 , 0(00 xxfyyfxyxyxy高等数学),(yxf00(,)xy00(, )xfxy00(, )xfxyB00000(, )-(, )limxf xx yf xyx 00000(, )-

13、(, )limxf xx yf xyx 00000(, )- (, )lim2xf xx yf xx yx 000(, )(),xfxyg x 0( )( , )dg xf x ydx 2.设函数设函数在点在点处的一阶偏导数处的一阶偏导数 存在，存在，下列选项中与下列选项中与不相等的是不相等的是(A) (B) (C) (D) 其中其中),(00yxfx ),(00yxfx ),(00yxfx xyxxfyxfyxfyxxfx 2),(),(),(),(lim000000000高等数学( , )1200ydyf y x dx( ,)2100 xdyf x y dx( , )2102ydyf x

14、y dx( , )2102xdxf y x dy (A) (B) (C) (D) B._),(. 31020 xdyyxfdx原积分坐标轮换性原积分坐标轮换性原积分换积分次序原积分换积分次序选项选项(C)坐标轮换性坐标轮换性高等数学( , ),( , ) P x yQ x yDA()LDPQdxdyQdxPdyxy()LDQPdxdyQdxPdyxy()LDPQdxdyPdxQdyxy()LDPQdxdyPdxQdyyx4.设闭区域设闭区域D由分段光滑的曲线由分段光滑的曲线L围成围成, 函数函数在在D上具有一阶连续偏导数，则上具有一阶连续偏导数，则 (A) （B） （C） （D） DyQxP)( DyQxP)( DyPxQ)( DyP