第九章多元函数积分学

1、第九章多元函数积分学第九章多元函数积分学第一节第一节 二重积分二重积分 第二节第二节 二重积分的计算法二重积分的计算法 第三节第三节 二重积分应用举例二重积分应用举例 O yx z ) , ( y x f z = Ds d 图图9-1 由由于于柱柱体体的的高高( , )f x y是是变变动动的的， 且且在在区区域域D上上是是连连续续的的，所所以以在在小小范范围围内内它它的的变变动动不不大大，可可以以近近似似地地看看成成不不变变.依依此此，就就可可用用类类似似于于求求曲曲边边梯梯形形面面积积的的方方法法，即即采采取取分分割割、取取近近似似、求求和和、取取极极限限的的方方法法（以以后后简简称称四四

2、步步求求积积法法）来来求求的的曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积 V. 为此，我们用一组曲线网把为此，我们用一组曲线网把D分割成分割成 n 个小区域个小区域12,(1,2,)niinssss=同时又表示它们的面同时又表示它们的面积积.以每个小区域以每个小区域is为底作为底作 n 个母线平行于个母线平行于 z 轴的小柱轴的小柱体，又在小区域体，又在小区域is上任取一点上任取一点( ,)(1,2, )iiin =，以，以( ,)iif 为高，为高，is为底的小平顶柱体体积为底的小平顶柱体体积( ,)iiif s作作为相应小曲顶柱体体积的近似值，为相应小曲顶柱体体积的近似值， 于是于是n个平顶柱体的体积的

3、和个平顶柱体的体积的和 1( ,)niiiif s= 就是所求曲顶柱体体积的一个近似值， 令就是所求曲顶柱体体积的一个近似值， 令 n 个小闭区个小闭区域域is的直径（一个闭区域的直径是指区域是任意两的直径（一个闭区域的直径是指区域是任意两点间距离的最大者）中的最大值（记作点间距离的最大者）中的最大值（记作 ）趋于零，）趋于零， 取上述和式的极限便得所求曲顶柱体的体积，即取上述和式的极限便得所求曲顶柱体的体积，即 01lim( ,)niiiiVf s= 证证 显然显然0s，把性质，把性质 6 中不等式各除以中不等式各除以 s，有，有 1( , )dDmf x yMss， 这就是说，确定的数值这

4、就是说，确定的数值1( , )dDf x yss是介于函数是介于函数( , )f x y的最大值的最大值M与最小值与最小值m之间的之间的.根据在有界闭区域上根据在有界闭区域上连续函数的介值连续函数的介值定理，在定理，在 D 上至少存在一点上至少存在一点( , ) ，使得函，使得函数在该点的值与这个确定的数值相等，即数在该点的值与这个确定的数值相等，即 1( , )d( , )Df x yfs s=. 上式两端乘以上式两端乘以，就是所需证明的公式，就是所需证明的公式. 例例 2 2 比比较较二二重重积积分分ln()dDxys与与2ln() dDxys的的 大大 小小 ， 其其 中中D是是 三三

5、角角 形形 闭闭 区区 域域 ， 三三 顶顶 点点 分分 别别 为为(1,0),(1,1),(2,0). 解解 如如图图92在在D上上12xy则则 0ln()ln2lne1xy=.所所以以 2ln()ln()xyxy 由由性性质质 5 得得 2ln()dln() dDDxyxyss. 12yx12O图图9-2在在实实际际应应用用中中，直直接接通通过过二二重重积积分分的的定定义义与与性性质质来来计计算算二二重重积积分分一一般般是是困困难难的的.下下面面， 我我们们从从计计算算曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积出出发发来来给给出出二二重重积积分分的的计计算算方方法法.这这种种方方法法是是把把二二重重积积

6、分分化化为为二二次次积积分分来来计计算算. (a) 1( )yx= 2( )yx= a b x y O D (b) 2( )yx= 1( )yx= a b y O D x 图图 9-39-3x b z ( , )z f xy= 0 x 2( )yx= 1( )yx= O a y 图图 941( )xy= 2( )xy= D O c d y x (a) 2( )xy= 1( )xy= x y O c d D (b) 图图 9-5 在在推推导导中中，借借助助几几何何直直观观，设设( , )0f x y ，事事实实上上，这这个个公公式式的的成成立立并并不不受受此此条条件件限限制制.类类似似地地，如如

7、果果积积分分区区域域 D可可用用不不等等式式 12( )( ),yxy cyd 表表示示（图9-5），其其中中12( ),( )yy在在区区间间, c d上上连连续续，这这样样的的区区域域称称为为 Y-型型区区域域， 其特点是：穿过其特点是：穿过 D 内部且平行内部且平行 x 轴的直线与轴的直线与 D 的边的边界相交不多于两点，则有界相交不多于两点，则有 2121( )( )( )( )( , )d( , )d dd( , )dDdycydycyf x yf x yx yyf x yxs= (2) 公式公式(2)是把二重积分化为先对是把二重积分化为先对 x， 后对， 后对 y 的二重积分的二重

8、积分来计算来计算. 如果所给积分区域如果所给积分区域D既既是是X 型的，可用不等式型的，可用不等式12( )( ),xyx axb表表示，又是示，又是Y 型的，可用不等型的，可用不等式式12( )( ),yxy cyd表示表示(96)图，由公式，由公式(1)和和(2)就有就有 O a d c b y D 图图 9-6 x A B O a b y D 图图 9-7 1D 2D 3D x y 图图98yD21Ox图 99例例 2 2 计计算算二二重重积积分分223dDx ys，其其中中 D 是是由由 x 轴轴，y轴轴和和抛抛物物线线21yx= 所所围围成成的的在在第第一一象象限限内内的的闭闭区区域

9、域. 1Oyxx121yx= y = 011Ox = 01xy=xy(a)(b)图图 910例例3 3 计计算算二二重重积积分分dDxys， 其其中中D是是由由抛抛物物线线 2yx=及及直直线线2yx=所所围围成成的的闭闭区区域域. 解解 画 出 区 域画 出 区 域D(9 11)图.先求交点，先求交点，解 方 程 组解 方 程 组2,2,yxyx= 得得交点坐标为交点坐标为(1, 1)及及(4,2)D既是既是X 型，又型，又是是Y 型区域型区域. 图图 9 - 11D(4,2)(1,-1)xy2yO-12xy=2xy=若若按按Y 型型区区域域计计算算，用用公公式式(2)，有有 2222212

10、12251dddd21(2)d2yyyyDyxxyyxy xyyyyyys= 2463211422436yyyy= 558= 若若按按 x-型型区区域域计计算算，用用公公式式（1） ，则则由由于于 下下 方方 边边 界界 曲曲 线线1( )yx=在在区区间间0,1及及1,4上上的的表表达达方方式式不不一一致致，所所以以要要用用经经过过交交点点(1, 1)且且平平行行于于y轴轴的的直直线线1x =把把区区域域D分分成成两两部部分分（图图 9-12）. x4x图图 9 - 12(4,2)(1,-1)y1O2yx=2D1Dyx=yx= x其中其中 1( , ),01Dx yxyxx= 2( , )2

11、,14Dx y xyxx= 解解 画 出 积 分 区 域画 出 积 分 区 域D(9 13)图 若用公式若用公式(1)，就要，就要先计算定积分先计算定积分sindxxyyy， 由于， 由于sin yy的的原函数不是初等函数，原函数不是初等函数，因而积分因而积分sindxxyyy无无法用牛顿法用牛顿莱布尼茨公莱布尼茨公式算出式算出. DyOx图图 9- 132yx=yx=2112001100sinsinsind ddd()d(1)sin d(1)d(cos )yyDyyyx yyxyyyyyyyy yyy= 1100(1)coscos dyyy y= 1 sin1= . 此此例例表表明明，选选择

12、择怎怎样样的的二二次次积积分分次次序序有有时时直直接接关关系系到到能能否否算算得得二二重重积积分分的的结结果果. 若按若按Y 型区域，用公式型区域，用公式(2),则有则有 21(1,1)yxO图图 9- 141D2D1221200100d( , )dd( , )dd( , )dxxyyxf x yyxf x yxyf x yx=例例 6 6 通通过过交交换换积积分分次次序序计计算算二二次次积积分分2110dedyxxy. 图图 9- 152121DyxO(1,1)于于是是2222111100001100deddeded111e(1)22eyyyyxyxyyxyy= = 在在具具体体计计算算二二

13、重重积积分分时时，根根据据被被积积函函数数的的特特点点和和积积分分区区域域的的形形状状，选选择择适适当当的的坐坐标标，会会使使计计算算变变得得简简单单.下下面面介介绍绍利利用用极极坐坐标标计计算算二二重重积积分分的的方方法法. 用用极极坐坐标标计计算算二二重重积积分分时时，积积分分区区域域 D 及及被被积积函函数数( , )f x y都都应应不不难难用用极极坐坐标标表表示示，而而面面积积元元素素怎怎样样用用极极坐坐标标表表示示呢呢？ 按按二二重重积积分分的的定定义义 01( , )dlim( ,)niiiiDf x yfs s= 可可知知，01lim( ,)niiiif s=的的值值与与is的

14、的分分法法无无关关， 与与点点( ,)ii 的的取取法法无无关关. 从从而而在在直直角角坐坐标标系系下下，我我们们选选择择了了is的的一一种种特特殊殊分分法法， 取取分分别别平平行行于于x轴轴及及y轴轴的的两两族族直直线线， 即即x =常常数数，y =常常数数，把把区区域域D分分成成 n 个个小小区区域域is，设设长长为为ix，宽宽为为ky，则则iiixys= ，从从而而面面积积dd dx ys=. 在在极极坐坐标标下下，假假设设从从极极点点 O 出出发发穿穿过过积积分分区区域域 D 内内部部的的射射线线与与 D 的的边边界界曲曲线线相相交交不不多多于于两两点点.我我们们用用极极坐坐标标系系中

15、中的的曲曲线线网网r =常常数数（是是以以极极点点为为中中心心的的一一族族同同心心圆圆）和和 =常常数数（是是自自极极点点出出发发的的一一族族射射线线） ，将将区区域域 D 分分成成n 个个小小闭闭区区域域（图图 916）. xOddrdr图图 9- 16这 些 小 闭 区 域 的 面 积这 些 小 闭 区 域 的 面 积(1,2, )iins=当作是两个圆扇形的当作是两个圆扇形的面积之差，除了包含边界点的一些小面积之差，除了包含边界点的一些小闭区域外（当取极限时，这一些小闭闭区域外（当取极限时，这一些小闭区域对应项的和的极区域对应项的和的极限限趋于零，因此趋于零，因此这些小区域可以忽略不这些

16、小区域可以忽略不计计）.于是得于是得 2211()22iiiiiirrrs= 21()2iiiiiiiir rrr r= （略去高阶无穷小（略去高阶无穷小21()2iir） ，） ，于是就得到极坐标下的面积元素于是就得到极坐标下的面积元素dd dr rs=. 这时区域这时区域D在两条射线在两条射线, =之间，这两条射线和之间，这两条射线和D的边界的交点把区域边界分为两部分：的边界的交点把区域边界分为两部分：12( ),( )rrrr=.此时此时积分区域积分区域D可以用不等式可以用不等式 12( )( ),rrr 来表示来表示.在区间在区间, 上任意取一个上任意取一个 值， 对应这个值， 对应这

17、个 值作射线值作射线 x 2( )rr= 1( )rr= B D A 图 9-17 xOD图图918Ox图9-19当当12( )0,( )( )rrr=时时，21( )d2rs=， 这这就就是是在在定定积积分分应应用用中中极极坐坐标标情情形形下下的的曲曲边边扇扇形形的的面面积积公公式式. . 通通常常当当积积分分区区域域的的边边界界由由圆圆弧弧、射射线线组组成成且且被被积积函函数数含含有有22,yxyx等等形形式式时时，用用极极坐坐标标计计算算较较为为简简单单. . 例例 7 7 求求222dDIaxys=,其其中中 D 是是圆圆域域22xyax. 解解 因因积积分分区区域域 D 是是圆圆域域

18、22xyax（图图 9-20）.它它的的边边界界曲曲线线方方程程是是cosra=.当当 固固定定时时，r从从0到到cosa，而而 的的变变化化范范围围是是区区间间 ,2 2 y x a O cosra= r 图图 9-20 于于是是得得 22cos22202d dddDaIar r rar r r= cos32222203320331()d32(1 sin)d322()(34)3239aaraaa= 例例 8 8 计算计算22ed dxyDx y，其中，其中D是由圆是由圆222xya=所围所围成的闭区域成的闭区域. 解解 因积分区域是圆域因积分区域是圆域（图（图 9-21） ，它的边界曲线） ，它的边界曲线的极坐标方程为的极坐标方程为ra=.由变由变换公式（换公式（4）及计算公式（）及计算公式（7）得得 2222200ed ded dde