物理现实的量子力学描述能否认为是完备的

1、物理现实的量子力学描述能否认为是完备的？著爱因斯坦、波多尔斯基和罗森译 07046007 杜雪在一个完备的理论中， 每一个物理实体的要素都要有与之相对应的要素。 一 个物理参量客观存在的充分条件是在不会干扰系统的情况下， 能够准确预计 其值。量子力学中， 在由不可对易的算符所描述的两个物理要素的情况下， 知道 其中一个物理量的准确知识将排除对另外一个的准确知识。那么就会有这两种可能：（1） 由量子力学中的波函数所描述的实体是不完备的；（2） 这两个物理实体要素不能够同时客观存在。 在预测一个系统时，我们是基于另一个先前与其相互作用的系统得出的测量 法则。出于对这个问题的考虑会导致这样的结果：如

2、果第（ 1）种可能是错误的， 那么第（ 2）种可能也是错误的！这样我们就可以推断出量子力学中波函数对物 理实体要素的描述是不完备的。1 任何一个严谨的物理理论必须要区别客观实体与这个理论运作所依据的物 理概念。 客观实体应该独立于任何理论存在。 这些概念联系着客观实体， 而且通 过这些概念我们为自己描绘出了这个客观实体。判断一个物理体系的成功与否，我们会问自己这样两个问题：（1） “这个理论是正确的吗？”（2） “理论的描述是完备的吗？”只有在这两个问题都给出肯定的回答的情况下， 这个理论的概念才能被看作 是令人满意的。这个理论体系的正确性是通过此体系的结论与人类自身的经验的 一致程度来判别的

3、。 这种经验在物理学中体现为实验和计算。 我们只有通过实验 才能对客观实体做出推断。在此我们来探讨第（ 2）个问题“量子理论的描 述是完备的吗？” 用量子力学的原理来阐述。无论富于“完备性” 这个术语何种解释， 紧接着对一个完备系统必须有一个 必要条件： “ 每一个物理实体的要素必须在其物理理论中有一对应物！ ”我们把 这个必要条件称作完备性的条件。 只要我们能够确定什么是物理实体的要素， 那 么第二个问题就容易回答了。物理实体的要素不能够通过由原因推出结果的哲学理念来决定， 而必须由实 验和计算的结果来发现。 然而对实体的完整的定义对于我们的目的来说不是必要 条件。我们会对接下来这个我们认为

4、是合理的标准感到满意： “ 如果在不对系统 造成任何干扰的情况下，我们可以准确地预测（即，以等于 1 的概率）一个物 理参量的值，那么就存在一个物理实体的要素对应于这个物理参量。 ”看起来， 这个标准决不是让我们穷尽所有可能的方法去认知一个物理实体。 至少它给我们 提供了这样一个方法条件在事物发生的一刻确定了。 只要这个标准不是被看作一个必要条件，而是仅仅作为一个充分条件，那么它就同样适用于经典物理以 及量子力学中对实体的概念。为了解释说明这个包含着的概念，让我们假设量子力学对粒子行为的描述有单一的自由度。这个理论的基础概念是“态”。态被认为是由波函数？完全描述。波函数由所选择的变量来描述粒子

5、的行为。对应于每一个物理可观测量A，有一个可以是用同一个字母来表示的算符。如果 是算符 A的特征函数，也就是说：(1)式中物理量a是一个数。一旦粒子处于由描述的态中，物理量A就被赋予了一个确定的值a。与我们对于实体的标准一致，一个粒子处于由描述的态中,满足等式（1）,有一个对应于A的物理实体的要素。例如:(2)这里h是普朗克常量，po是一个常数，x是一个不确定的变量。由于算符对应于粒子的动量：（3）我们得到：0 = pM*( 4)那么，在由等式（2）确定的态中，动量具有确定的值 Po。这样说粒子的动量在 等式（2）确定的态中是实际存在的就有意义了。另一方面如果等式（1）不成立，我们不能够说物理

6、量 A有特定的值。下面 举粒子坐标的例子。坐标对应的算符，设为 q,是算符与独立变量的乘积。 那么，人： （5）用符合量子力学的观点我们只能说测量坐标所得的结果介于a , b之间的可能为：h） I ppdx = I dx b 人 “（6）由于这个可能是独立于a的，但是仅取决于b-a的差值。因此我们知道坐标的所 有值都是等可能的。处于由等式（2）确定的态中的粒子，它的坐标的确切值是不可观测得。但 是可以仅由一个直接的测量来得到。然而这样的一个测量干扰了粒子，并且改变 了它的态。当它的坐标被确定之后，这个粒子已经不再在由（2）所确定的态中 了。量子力学中由此得到的常见的结论是 “当一个粒子的动量确

7、定之后， 它的坐 标不再是一个物理实体。”更普遍的，量子力学中所讲，设 A，B是两个物理量对应的算符，它们不对 易，即ABBA。那么，它们其中一个的确切知识就会阻断另一个的知识。更进 一步的，任何试图通过实验决定后一个的企图都会改变系统的态，从而破坏了前者的知识。从而得到如下推论：（1）或者说，在量子力学中波函数对物理现实的描述是不完备的。（2）或者说，两个对应于不可对易算符的物理量不能同时是实在的。（即具有确定的值）因为如果它们同时都是实在的（具有确定的值），根据完备性条件，这些值将会 进入到完备描述中。如果这样，波函数就会提供对实在的完备描述， 其中包括这 些值。这些值将会是可观测得。但这

8、是不可能的，我们只能二选一。量子力学中通常假设波函数确实包含对物理实体的完备描述， 这个物理实体 处在于这个系统相对应的态中。乍看之下，这个假设是完全合理的，因为从波函 数得到的信息看上去准确的符合测量量而不影响系统的状态。 然而，我们要指出 的是，这个假设与上面给出的物理实体的标准是相矛盾的。2基于这个目的，让我们设想有两个系统，I和II。我们允许它们在t=0到t=T 之间相互作用，过了这个时间之后，假设这两部分间不再有相互作用。 再进一步 假设这两个系统在t=0之前的状态是已知的。然后根据薛定谔方程，我们可以计 算出在其后任意时刻联合系统I+II的状态，尤其是在任意t>T的时刻。用相

9、应的 波函数 来指出。然而，在相互作用之后，我们不能计算任何一个系统的状态。 根据量子力学，这只能通过更进一步的测量，通过一个“波包衰减”的过程。让 我们考虑一下这个过程的实质。设ai,a2,a3是某个物理参量A附属于系统I的特征值。对应的特征方程为U1（X1）, U2（X1）, U3（X1）,其中xi代表用来描述系统I的变量的值。那么，xi的一个方程可表示为0业（尤 1,血）=龙轉 T（ 7）灾表示描述第二个系统的变量的值。这里'-；n（X2）仅仅被看作是函数V展开 成为一系列正交函数Un（x1）的系数。现在假设参量A被测量，且具有值ak。接着可以得出在测量之后，第一个系统遗留在由波

10、函数Uk（X1）决定的态中，而第二个系统遗留在由波函数' k（X2）决定的态中。这就是波包衰减的过程；由无穷级数给 出的波包衰减为单一的项k（X2）Uk（X1）。函数Un（XI）的集合由物理参量A的选择决定。代替这些，如果我们选择另一个参量，设为B，它具有特征值'以及特征方程讥（尙），51（X1）,讯珀，代替等式（7），我们可以得到展开式巫（兀1,= K只仇）（兀）I（ 8）其中厂是新的系数。如果现在B被测量了，且具有值br，我们于是得出在测量之后，第一个系统遗留在由“ 给出的状态中，第二个系统处在由够广（兀给出的态中。因此我们知道，作为在第一个系统上实行的两个不同计算的后承，

11、第二个系 统可能处在这样的状态下，这个状态具有两个不同的波函数。 另一方面，由于在 测量的同时亮个系统不再相互作用， 在第二个系统中，并不会由于任何作用于第 一个系统的东西而产生真正的改变。当然，这仅仅是由于两系统间相互作用的缺 少所表现出的声明。那么，就有可能对同一个实体（与第一个系统相互作用之后 的第二个系统）安排两个不同的波函数（在我们举的例子里是T和L ）现在，可能会出现这种情况：这两个波函数T和L分别是两个不可对易算肌）=符P和Q的特征方程。这可能的确是可以由一个例子展现的情况。我们假设这 两个系统斯两个粒子，而且：（9） 其中xo是某个常数。设A是第一个粒子的动量，然后，就像我们在

12、等式（4） 所知道的，对应于特征值p，它的特征方程为：(10)P(X2)Up(Xi)dpt由于我们在这里有一个连续谱的情况。等式（7）现在写为:(11)其中,為（兀=旷（2司冊3-列“（这个-是算符P的特征方程。P （Z?/2W） 3/3x2,（13）对应于第二个粒子的动量的特征值 -p。另一方面，如果B是第一个粒子的坐标, 它具有对应于特征值x的特征方程(14)哄血）=3血一幼其中fJ： V1 '是著名的狄拉克S函数。等式（8）在这种情况下变为:巫（切血）=(15)7T讦帕3劭+盹）吃/pS(兀 Q =xa+xo).(16)其中,这个是算符Q的特征方程(17)Q = 2对应于第二个粒

13、子的坐标的特征值 二。由于PQ_QP = h 站、(18)我们已经指出，对应于物理参量，T和L是两个不可对易算符的本征方程是普 遍可能的。现在回到等式（7）和（8）所关注的普通的情况。假设T和厂 真是某不可 对易算符P和Q的特征方程。分别对应于特征值,和W。那么，通过测量A 或者B，我们能够在不以任何方式干扰第二个系统得情况下，确切的预测无论是P的值（即力无）还是Q的值（即9）。与我们对实体的定义标准相符合，在第 一种情况下，我们必须参量 P是实体的要素；在第二种情况下参量 Q是实体的 要素。但是，正如我们所知道的，波函数 r和都属于同一个实体。之前我们证明了（1）或者说，在量子力学中波函数对物理实在的描述是不完备的；（2）或者说，两个对应于不可对易算符的物理量不能同时是实在的。然后假设波函数确实对物理实体进行了完备性描述， 我们得出这样的结论： 两个 对应于不可对应算符的物理量可是同时是实在的。那么，对（ 1）的否定导致了 对为一个另一种情况（ 2）的否定。因此我们被迫推论出量子力学通过波函数对 物理实体的描述是不完备的。一个人可以以我们对物理实在的定义标准不是充分严格的理由来反对这个 结论。实际上，如果一个人坚持认为， “只有当两个或者更多的物理参量可以同 时被测量或预测” 的情况下， 它们可以被认为是实体的同时存在的要素， 那