第九章第1节简谐振动l

1、第九章第九章振振 动动 和和 波波第九章第九章 振动和波振动和波广义的广义的振动振动物理量随时间作周期性变化称为振动。物理量随时间作周期性变化称为振动。（2）周期性）周期性在在 T时间内状态能完全重复。时间内状态能完全重复。 振动是自然界中最普遍的运动形式之一。振动和波在力学、振动是自然界中最普遍的运动形式之一。振动和波在力学、声学、电学、生物工程、自控等各领域都占有重要的地位。声学、电学、生物工程、自控等各领域都占有重要的地位。特点：特点：（1）有平衡点，且具有重复性。有平衡点，且具有重复性。Vibration and wave机械振动机械振动物体在某一位置附近作往复运动。物体在某一位置附近

2、作往复运动。 机械振动分类机械振动分类按振动规律分：按振动规律分：简谐、非简谐、随机振动简谐、非简谐、随机振动。 其中简谐振动是最基本最简单的振动，其中简谐振动是最基本最简单的振动，称作谐振动的微分方程。称作谐振动的微分方程。 弹簧振子是理想模型弹簧振子是理想模型 Spring/harmonic OscillatorkmoxXfgmN在水平方向上：在水平方向上：kxf 由牛顿第二定律，有：由牛顿第二定律，有：22ddtxmkx 令：令：,2 mk则有：则有：0dd222 xtx 9-1 简谐振动简谐振动 一、简谐振动的微分方程和运动方程一、简谐振动的微分方程和运动方程（负号表示力与位移方向相反

3、）（负号表示力与位移方向相反）1、简谐振动的微分方程、简谐振动的微分方程2、运动学方程：、运动学方程：由：由：, 0dd222 xtx 可解得：可解得：tCtCx cossin21 )cos( tAx或：或：一般写成：一般写成：)sin( tAx本课程采用余弦形式本课程采用余弦形式因而简谐振动是围绕平衡位置的周期运动因而简谐振动是围绕平衡位置的周期运动简谐振动的定义：若质点的位移与时间的关系可以用简谐振动的定义：若质点的位移与时间的关系可以用)cos( tAx表示，质点的运动称为谐振动。表示，质点的运动称为谐振动。描述简谐振动的物理量描述简谐振动的物理量A、，称特征量。称特征量。otx)cos

4、( tAx)2cos( tA)cos(2 tA)sin(dd tAtxv)cos(dd2 tAtva3、简谐振动的加速度与速度、简谐振动的加速度与速度)cos( tAx由由质点振动的速度质点振动的速度质点振动的加速度质点振动的加速度质点振动的速度和加速度也是谐振动质点振动的速度和加速度也是谐振动若位移若位移x，满足，满足kxf 简谐振动的判椐：简谐振动的判椐：, 0dd222 xtx 或或)cos( tAx或或则称则称x作简谐振动（较为广泛，不仅适用于机械振动）作简谐振动（较为广泛，不仅适用于机械振动）(2)角频率角频率：angular frequency 振动的快慢振动的快慢周期周期T: P

5、eriod)(cos)cos( TtAtA 2 T /2 T频率频率： 21 T(3)初相位初相位： tPhase 描述运动状态的量描述运动状态的量为初相位，为初相位，Initial Phase(1)振幅振幅A: amplitude 离开平衡位置的最大距离（幅度、范围）离开平衡位置的最大距离（幅度、范围）4、谐振动的三个特征量、谐振动的三个特征量)2cos( tA5、位移、速度和加速度的相位关系、位移、速度和加速度的相位关系)cos( tAxtxvdd )sin( tAtvadd )cos(2 tA以上结果表明：以上结果表明：(1)v,a与与x的的相同相同(2)AaAv2maxmax, (3)

6、a与与x方向相反，且成正比方向相反，且成正比振幅振幅)cos( tAx)2cos( tAv)cos(2 tAax、v、a相位依次差相位依次差/2。写写成成二、初始条件确定振幅和初相位二、初始条件确定振幅和初相位初始条件：初始条件：00, 0vxt )1(cos0 Ax sin0Av 写为：写为：)2(sin0 Av ,)2()1(22 得：得：220202 vxA 22020 vxA 得：得：),1/()2(00/tgxv 即：即：)tg(arg00 xv 有两个值，需（有两个值，需（1）或（或（2）进行筛选。）进行筛选。也可直接由（也可直接由（1）或由（）或由（2）求出）求出。三、坐标原点的

7、选取对于振动方程的影响三、坐标原点的选取对于振动方程的影响(以竖直弹簧振子为例以竖直弹簧振子为例)mgky 022ddtymmgkyF 0)()(dd0022 yymkyyt)cos( tAxOOyymm0yxx自由端自由端,平衡位置平衡位置O OO以以为坐标原点为坐标原点:O以以 为坐标原点为坐标原点:0yyx 0)cos(ytAy 在建立谐振子的振动方程时在建立谐振子的振动方程时,选平衡位置为坐标原点最合适。选平衡位置为坐标原点最合适。0dd22 lgtlg sindd222mgltml 例题例题1 单摆单摆 Simple Pendulum解：单摆受力如图所示解：单摆受力如图所示gmtF

8、T sinmgFt 对悬挂点的力矩：对悬挂点的力矩： sinmglM 由：由： JM 若若很小，则有：很小，则有： sin即：即：0dd222 t其中：其中：)cos( t例题例题2半径为半径为R的圆环静止于刀口的圆环静止于刀口O点上点上,令其令其在自身平面内作微小摆动在自身平面内作微小摆动,证明其摆动为证明其摆动为谐振谐振,并计算其振动周期并计算其振动周期.证明证明:设圆环偏离角度为设圆环偏离角度为2222mRmdmRJ 22ddtJJM sin,RmgM RmgRmgtmRsindd222202dd22 Rgt因此所作振动为谐振因此所作振动为谐振gRT22 Rg2 o四四 、谐振动的其它表

9、示法、谐振动的其它表示法1、振动曲线法、振动曲线法（1）振动曲线的峰（或谷）对应）振动曲线的峰（或谷）对应的位移的大小即是振幅的位移的大小即是振幅 .（2）振动曲线上表示振动状态）振动曲线上表示振动状态相同的相邻两点对应的时间间隔相同的相邻两点对应的时间间隔就是周期就是周期T 。（3）由初状态）由初状态v0、x0可得出初可得出初相位相位。（4）尤其判断振动的超前与落后非常直观。）尤其判断振动的超前与落后非常直观。Rotating vector method1.参考圆法参考圆法 沿逆时针方向作匀速圆周运动的质点在某一直径上（取沿逆时针方向作匀速圆周运动的质点在某一直径上（取在在x轴）的投影的运动

10、为简谐振动。轴）的投影的运动为简谐振动。半径半径R振幅振幅A角速度角速度角频率角频率 t时刻时刻A矢量在矢量在x轴上的投影轴上的投影)cos(0 tAx初始矢径与初始矢径与x轴的交角轴的交角初相位初相位o0 tA 0 t x2.旋转矢量旋转矢量 AxO 用旋转矢量法处理问题用旋转矢量法处理问题更直观、更直观、更方便，必须掌握。更方便，必须掌握。表示出三个特征量表示出三个特征量2、旋转矢量表示法、旋转矢量表示法例题例题3一质点沿一质点沿x轴作简谐振动，振幅轴作简谐振动，振幅 A=0.12m，周期，周期T=2s，当当 t=0 时，质点对平衡位置的位移时，质点对平衡位置的位移 x0=0.06m，此时

11、向，此时向x轴正轴正向运动。向运动。求：求：(1)此振动的表达式此振动的表达式 (2)t=T/4时，质点的位置、速度、加速度时，质点的位置、速度、加速度 (3)从初始时刻开始第一次通过平衡位置的时间从初始时刻开始第一次通过平衡位置的时间 解解:(1)取平衡位置为坐标原点取平衡位置为坐标原点设设)cos( tAx其中其中1s2 TA亦为已知，只需求亦为已知，只需求由由t=0s时，时，x0=0.06m，可得：，可得： cos0Ax 2/112. 0/06. 0/cos0 Ax 在在-到到之间取值：之间取值：3 取哪一个值要看初始条件，由于：取哪一个值要看初始条件，由于：)sin( tAv所以：所以

12、： sin0Av 由于由于t=0时，质点向正时，质点向正 x 方向运动，所以方向运动，所以 v00因此，应取：因此，应取：3 于是，此简谐振动的表达式：于是，此简谐振动的表达式：)SI()3cos(12. 0 tx利用旋转矢量法求解很直观，利用旋转矢量法求解很直观，根据初始条件就可画出如图所根据初始条件就可画出如图所示的振幅矢量的初始位置，从示的振幅矢量的初始位置，从而得到：而得到：O0 x0v x(2)sin( tAv)3sin(12. 0 t)cos(2 tAa)3cos(12. 02 t将将 t=T/4=0.5s 代入上两式，以及位移表达式，可求得：代入上两式，以及位移表达式，可求得：时

13、时s5 . 0 tm104. 0 xm/s189. 0 vm/s03. 1 a此时旋转矢量位置如图：此时旋转矢量位置如图： A (3)通过平衡位置时，通过平衡位置时，x=0，由位置表达式，可得：，由位置表达式，可得：)3cos(12. 00 t由此可得：由此可得：, 2 , 1,2)12(3 kkt / )6/( kt第一次通过，取第一次通过，取k=1，又由于，又由于=/s，所以：，所以：s83. 065 t从起始时刻到第一次质点通过原从起始时刻到第一次质点通过原点，振幅矢量转过的角度为：点，振幅矢量转过的角度为： A 6/52/3/2/ 故：故： /65 ts83. 0 有旋转矢量图可知：有

14、旋转矢量图可知：例题例题4 以余弦函数表示的简谐振动的位移时间曲线如图所以余弦函数表示的简谐振动的位移时间曲线如图所示，试写出其运动方程。示，试写出其运动方程。0121 2 )(st)(cmxs1解：设该简谐振动的运动方程为解：设该简谐振动的运动方程为)cos( tAx根据已知条件求出各量代入上式根据已知条件求出各量代入上式即可即可由图可知，由图可知，A=2cm，当，当t=0时时cm1cos20 x,21cos 32 所所以以因为：因为：v00, 32 所以所以0sin,sin0 故故Av画出矢量图：画出矢量图： 32, 0100 故故和和满足满足vx又知又知 t=1s 时，位移达到正的最大值

15、，时，位移达到正的最大值，即：即：AA )1cos( 故：故： 2 342 因而有：因而有：)(cm)3234cos(2 tx0121 2 )(st)(cmxs1x1 3232)(sin21212222 tmAmvEk 简谐振动的势能：简谐振动的势能： );(cos2121222 tkAkxEp 五五 、简谐振动的能量、简谐振动的能量以水平的弹簧振子为例以水平的弹簧振子为例)(sin2122 tkAkmoxX 简谐振动的动能：简谐振动的动能：)cos()( tAtxmk / 222221)(cos)(sin21kAttkA pkEEE 简谐振动的总能量：简谐振动的总能量：弹性力是保守力，总机械

16、能守恒，即总能量不随时间变化。弹性力是保守力，总机械能守恒，即总能量不随时间变化。AkEpE221kAE Ao 202241dcos2kAttTkAT 势能的时间平均值势能的时间平均值: TPttkATE022d)(cos211 动能的时间平均值动能的时间平均值: TkttkATE022d)(sin211 202241d)(sin2kAttTkAT 总能的时间平均值总能的时间平均值:* * 振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且还振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且还 反映了振动系统总能量的大小及振动的强度。反映了振动系统总能量的大小及振动的强度。* * 任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比任一

17、简谐振动总能量与振幅的平方成正比* * 弹簧振子的动能和势能的平均值相等，且弹簧振子的动能和势能的平均值相等，且 等于总机械能的一半。等于总机械能的一半。 结论：结论：EEEpK21 221kAEEEpk 022/Mv Mv vt3.用余弦函数描述一些振子的振动，若速用余弦函数描述一些振子的振动，若速度度-时间函数关系如图，则振动的初相位时间函数关系如图，则振动的初相位为为/6；/3；/2；5/6x2/Mv Mv 02/sin, 2/, 000MMvAvvvt ,65,6,21sin 6/0(cos, 0 ）这这时时tAxx4.无阻尼自由简谐振动的周期和频率由无阻尼自由简谐振动的周期和频率由 所所决定