圆内接四边形综合题

1、 例2:如图，正方形 ABCD的而积为5, E、F分别为CD、DA的中点， 例如5 I 5-C F,X图/-AP= 5 例3、如图，四边形 ABCD内接于00, CB=CD=4. AC与 BD相交于E, AE二6,线段BE和DE的长都 是正 AC与 例& &如圏 四边形ABCD内接于0d CB二CD PE BE、CF相交于P求AP的长 BE、CF相交于P, 4,长都是正整数，求ED的长 % / & :二 & & ? ? ZBDe二 ZPBC T ZBAOZBDC/. ZBAOZDBC XZACB 二 ZBC 为 /.AVBC8 俚 EC .? .AC BC=BC EC/. (AE+EC) BC

2、=BC:EC 即(- -Ee):4=4:EC. EC=2 ? .? AE-EOEB-ED即卩即卩 6X2=EB? ED /. EB? ED 二 12 I线段EB和ED的长是正整数，且三角殄两边之和大于第三边 ? ? ? ? ?只能是 EB 二 3, EDH 或 EB=ED=3 /. BD的长是7 铜4;如图，0Q丄AB, 0为ZSABC外僅圜的圆心，F为亘线0Q与AB的交点，BC与0Q交于 点，A. Cf Q三点共线，求证：0oP-QQ. /. XAOF 二 2 ZAOB又 ZACB二 2 ZAOB? -? ZAOF二 ZACB AA. 0、P. C 四点茯圆？ . . ？ / / C%=/C

3、FQ /ZCPQ 二 ZBP0, . ZOAQ=ZBjy ZAPCZBPO? .ZOAQ二 ZAPO 又 ZAOQ=ZPOA? A OAQoo A OP A V. OAi OP=OQi 0A, /. 例4:如图，0Q1AB, 0为厶ABC外莪圆內圆F为宜线0Q与AB的交点，BC与0Q交于F心. . 点，AS G 0三点共线，求证；OAOPOQ证明，延长0F交C)0于E连接AP、0B V0F1AB, AAf 二 EF APA 二 PByOA 二 OB, 0P 二 0P /. ZAOPAZ YBOP /. ZAPO=ZBPO OA2=CiP-OQ 例5:如图，P是C) 0外一点，PA与(D0切于点

4、A, PBC是C) 0的 割线，AD丄P0于D, 求证：PB: BD = Pe:CD VOFIABA % % 二 j% 例& &険険别分为别FC、6MTK- NEm求MPJ到BC的直线交BE/C周于C. D, 例壬如图，P是00外一点，FA与C)0切于点A, PBC张) )0的割线， ADIPo 于 D, 求证：FB: BD 二 PC: CD 交AB延长线与 M (MB AB, PE丄2nBC /. ? /. ZNCP /.PM 例7:在半00中，AB为直径, , 求证：ZMK0=90 一 .ZBDE 一 ZBCO P ME二 6X4 2PE 二 2 J0B=CC /. ZBCO=ZCBO /

5、. ZBDE=ZCBO 又? ? .*.* ZCBID=ZCDO, A ZBDE=ZCD0 ? ? BD=BE例6 :如图，直线 AB、AC与00分别 相切TBE/CD于B、C两点，P为圆上一点，P到AB、 二 Z1PLGS厶 PE1I 证明过目B作BEGeD交Po于E连接C) A、0B 0C TPA 是 G)0 的切线，APA1C I A XArlP0, . PA2=PD ? PO JPA是 00 的切线， ? ? ? ? ? ? M5=PB ? pg /. PD ? P0=PB? PC ? ? ? P、C、0、D四点共圆， AC 的距 ACvMD),设K是Z AOC与ADOB的外接圆除点0

6、 外的另一个交点 例人 在 liE 瓦逵 接Ba BK. CR. AD, 贝lj ZEMC ZACD 例 求：四边形ABCD的而枳（用“表示） . AOBC+oo 例&如图，在li内接四边形ABcD中,AB=AD,积(用ZBAD R表示) =60 解 TABCD是圆0的内接四边形 . AC ? BD二 AEi ? CD+AD? BC VABCD是圆0的內接四边形 ,ACP,求，四边形 AECD 的而 /. AC ? BD=AB ? CDMD ? BC P. P AB 二 AD, ZBAD=60 ? A3D是等边三角形 /. AB 二 AD 二 BD ZACB 二 ZAI)B 二 60, ZAe

7、D 二 ZABD 二 60。 ? ? ? SgBe=(IQ)AC ? BC? SinZACB二(1/2)AC ? BC ? sin60 SCADC= (VS) AC ? CD ? Sin ZAC二 (1 / 2)AC ? CD ? s i n60 ? S四奶 ABCD二 SBC+SctAjc=( 2)AC- BC? s i n60 (1( f2)AC ? CD? sin 60 二 (1 AeFn60 CBC+CD) 1( 2)AC? S rj60 - AC一、选择题 1、 设ABCD为圆內接四边形，现绘出四个关系式： (l)SinA=SinC; (2)SinA+sinC二0; (3)gB+co

8、sD二0; (4)COsB二CosD;苴屮忌能成立的关系式的个数是 (B) AX 一个：BS两个：CS三个：DS四个； 2、 下面的四边形有外接园的一定是 (C) AS平行四边形； BS梯形；C、等腹梯形； D、两个角互补的四边形； 3、四边形 ABCD內接于圆，ZA： ZB： ZC二7： 6 : 3,则ZD等于(E) A、36 B 72 ； C、144 D、54。： 4如图 1,在四边形 ABeD 屮，AB 二 BC二 AC 二 AD 八 AH1CD 于H, CP丄EC交AH于 P, AS=/3 AP=B 则 BD 等于(C) AS 2 近； DX 2； CX 3; DS V7 ； 5. .

9、对于命题：內角相等的圆內接五边理是正五边形； 瀚相等的圆内接四边形是正四边形。以下四个结论屮正 确的 是(B) A、，都对； BX对，错； C、错，对； D、，都错； 二、填空题 6s 如图 2, ABCH, ZBN50o , AC=3cm, U I JMBC的外接圆半経为空 CnU 7. .如图 3, 25ABC 中，ZACB=?5% ED 丄 AC 于 D, CE1ABT贝9 ZAEDV ,Z CED二 25 “ . 8x如甌&BC屮，AD是ZBAC的平分线，延长 AD交ABC的外接园于 E? ?己知AB二a , ED二/?, /?, BE 二C贝叮AE二些岭DE二比/ % % 9如圏5,

10、正方形 ABCD的屮心为6面积1989, P为正方形內一点 且 Z0PB=45 , PA PB 二 5: 14,贝 ij PB 二 42w 10、如图6,四边形ABCD內接于以AD为言径 的圆中，若AB和13C的长廃各 为1, CDJ 那么AD二4。( (此題计算过于复杂！ 三？解答题 IIS如图C在AABC中，AD为高线，DE丄AB于E, DF丄AC于F。 求证：B. C F、E四点共虱 W1 :在AABD44，由射影定理得 AD2=AE AB 同理在AACD屮，由射影逹理得 AD2=AF ? AC ? ? AE ? ABC AE ? AB ? B C F E四点共 三 证注2:连接EF V

11、DE 丄 AB, /. ZAED 二 90 VDF1AC ? ? ? ZAFD 9。 ? ? ? ZAED+ZAFD二 180 ? ? A. E、D、F四点共圆 ? ? ? /ADE 二 /AFE V ZEAD+ZB 二 90 , ZEAD+ZADE 二 9 ? ? ZB 二 ZADE 12s如图？四边形ABCD內接于圆，ADS BC的延长线交于F, AB, DC的延长线交于E, EG平分ZAED 交BC于交 AD于G, FH平分ZAFB交AB于IL交CD于 N。求证；EG丄FH 证法 V ZAGIZAD C4 ZAED, ZAHF-ZABC+| ZAFB A ZOKH-360 0 -ZA-Z

12、AGE-ZAHF A =360? -ZA-( ZADC-4 ZAED)-(ZABC+| ZAFB) =360 ? ZA.(ZADd-ZADC)-2 (ZAED+ ZAFB) =360c -ZA-180fr ? g (ZAED+ZAPB) ? ? ZB=ZAFE ? ? B CS FS凹点共圆 二 180 - ZA- | (180 -ZA-ZADC11SC0 ? ZXAZABC) 二 180 - ZA-J 360 -2ZA-(ZADC+ ZABC) 二 180 -ZA-1800 +ZA+ I X180o AEG1FH证注2: TA. B. CS D四点共圆 ? ? ? ZECM=ZBAD 又 Z

13、FGM二 ZBAD+ ZAEG二 ZBAD* | ZAED ZFMG. ZECM-? | /AED ? ? ZFGM 二 ZFMG FG=FM XZAFH=ZBFH /. EG1FH 13、如图9,肋为圆的直径， ADS求证: BE二AB:证明：过点E作EF丄AE于&则 ? ZEFB二9(T , ZC=90 EC为圆的两条弦，且ED与AC相交于E ? ? ZEFB? ZC二 180 -B CX EX F四点共圆 ?AE? AC 二 AF ? AB / ZEFA 二 9(T , ZD=90ft :? ZEFA4 ZD=90 A / A. DS EX F四点共圆 A BE ? BD 二 BF? AB (IW 得二 AE ? ACBE ? BD=AF ? AB4-BF ? AB AF+BF 二 AB 图 / AE ? AC4BE ? BD二 AB 14 x 女口图 10, AABC 内接丁 圆，P 为 BC土 一点，PD 丄 AB 丁 D PEdJBChE, PF1 AC于B。求证：D、ES F三点共线。证明：连接 BP、CPX DES EF